高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明自主练习苏教版选修1_2.doc
2.2.2 间接证明自主广场我夯基 我达标1.实数a、b、c不全为0的条件为（ ）A.a、b、c均不为0 B.a、b、c中至多有一个为0C.a、b、c中至少有一个为0 D.a、b、c中至少有一个不为0思路解析:实数a、b、c不全为0的条件是a、b、c至少有一个不为0.答案:D2.x、yR，且x2+y2=1，则（1-xy）（1+xy）有（ ）A.最小值，无最大值. B.最小值1，无最大值.C.最小值，最大值1 D.最大值1，最小值思路解析:设x=cos,y=sin,则(1-xy)(1+xy)=(1-sincos)(1+sincos)=1-sin2cos2=1-sin22.sin220,1,(1-xy)(1+xy)，1.答案:D3.设a、b、c都是正数，则三个数a+，b+，c+（ ）A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2思路解析:a+c+b+=a+b+c+2+2+2=6.所以a、b、c中至少有一个大于2.答案:B4.已知a、b、c都是正数，S=，则有（ ）A.0S1 B.1S2 C.2S3 D.3S4思路解析:S=1,且S=2.1S2.答案:B5.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.证明：假设ABC的三个内角A，B，C都小于60°,即A60°,B60°,C60°.相加得A+B+C180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以A,B,C都小于60°的假设不能成立,从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.6.求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，bc0.证明：假设bc=0,则有三种情况出现：（1）若b=0,c=0方程变为x2=0,x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知方程有两个不相等的实根相矛盾.（2）若b=0,c0,方程变为x2+c2=0,但当c0时，x2+c2=0;但c0时，x2+c20与x2+c2=0矛盾,（3）若b0,c=0,方程变为x2+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b.这与已知条件方程有两个非零实根相矛盾.综上所述，bc0.7.证明：1，2不能为同一等差数列的三项.证明：假设1，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d,则1=3-md，2=+nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两式消去d,得n+2m=(m+n)，因为n+2m为有理数，而（m+n)为无理数，所以2m+n(m+n)，因此，假设不成立，即1，2不能为同一等差数列的三项.8.平面上有四个点，设有三点共线.证明：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑点D在ABC之内或之外有两种情况：（1）如果点D在ABC之内，（如图（1），根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾.（2）如果点D在ABC之外（如图（2），根据A、B、C、D都大于90°， 这和四边形ABCD的内角和为360°相矛盾.综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立.9.已知a0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.证明：由于a0，因此方程至少有一个根x=,如果方程不是一个根，不妨设x1、x2是它的两个不同根，即ax1=b，ax2=b，-得a(x1-x2)=0.因为x1x2，所以x1-x20，所以应有a=0，这与已知相矛盾，故假设不成立.所以当a0时，方程ax=b有且只有一个根.10.（精典回放）设y=f(x)是定义在区间-1，1上的函数，且满足条件：f(-1)=f(1)=0;对任意的、v-1,1,都有f(u)-f(v)-v(1)证明：对任意的x-1,1,都有x-1f(x)1-x;(2)证明：对任意的、v-1,1,都有f(u)-f(v)1;(3)在区间-1，1上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得：f()-f(v)-v，当、v0, .f()-f(v)-v,当、v,1.若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.（1）证明：由题设条件可知，当x-1,1时，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|x-1|=1-x.即：x-1f(x)1-x.（2）证明：对任意的u、v-1，1.当|u-v|1时，有|f(u)-f(v)|u-v|1.当|u-v|1时，有u·v0，不妨设u0，则v0,且v-u1,所以|f(u)-f(v)|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)1.综上可知：对任意的u、v-1,1，都有|f(u)-f(v)|1.(3)解：满足所述条件的函数不存在，理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由|f(u)-f(v)|=|u-v|,u、v,1,得|f(）-f(1)|=|-1|=.又f(1)=0,所以|f()|=又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0.由条件|f(u)-f(v)|u-v|,u,v0,得|f()|=|f()-f(0)| .这与|f()|=矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.我综合 我发展11.在ABC中，若C是直角，求证：B一定是锐角.证明：假设B不是锐角，则B为直角或钝角，在ABC中，A+B+C90°+90°+A180°.这与三角形的内角和为180°相矛盾.从而B一定为锐角.12.求证：、不可能成等差数列.证明：假设、成等差数列，则有-=-，即2=+，两边平方得：12=7+，5=，两边再平方得：25=40显然不成立，从而假设不成立.、不可能成等差数列.13.如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.证明：不妨设直线a,b,l中，ab,l与a是异面直线，且l与b不相交.假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交，也可能平行.若l与b相交，这与已知矛盾.若l与b平行，即lb,又ab,得la,这与l与a异面相矛盾.综上可知，l与b是异面直线.14.已知函数f(x)对其定义域内的任意两个实数a、b，当ab时，都有f(a)f(b),证明f(x)=0至多有一个实根.证明：假设f(x)=0至少有两个不同的实根x1、x2，不妨设x1x2，由方程的定义，f(x1)=0,f(x2)=0,则f(x1)=f(x2) 但已知x1x2时，有f(x1)f(x2)，这与式相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立.15.已知an是由非负整数组成的数列，满足a1=0,a2=3,an+1·an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,用反证法证明a3=2.证明：由题设得a3a4=10，且a3,a4均为非负整数，a3的可能值为1，2，5，10.若a3=1,则a4=10,a5=与题设矛盾.若a3=5,则a4=2,a5=，与题设矛盾.若a3=10,则a4=1，a5=60,a6=,与题设矛盾.a3=2.16.求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)最多有两个不相等的实根.证明：假设方程有三个不相等的实根x1,x2,x3,则由-得：a(x1+x2)+b=0 由-得：a(x1+x3)+b=0 由-得：a(x2-x3)=0a0 x2-x3=0即x2=x3，这与假设x1x2x3相矛盾，原方程最多只有两个不相等的实根.4
