高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第13讲导数与函数的极值最值及实际应用知能训练轻松闯关理北师大版.doc

第13讲 导数与函数的极值、最值及实际应用1(2016·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3Byln(x)Cyxex Dyx解析：选D.由题可知，B、C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数yx3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值故选D.2(2016·济宁模拟)函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析：选A.f(x)x，且x>0.令f(x)>0，得x>1；令f(x)<0，得0<x<1.所以f(x)在x1处取得最小值，且f(1)ln 1.3(2016·长治调研)已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为()Ac< BcCc Dc>解析：选A.由题意得f(x)x2xc，若函数f(x)有极值，则14c>0，解得c<.4已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件解析：选C.因为yx281，所以当x>9时，y<0；当0<x<9时，y>0.所以函数yx381x234在(9，)上递减，在(0，9)上递增，所以x9是该函数的极大值点，又该函数在(0，)上只有一个极大值点，所以该函数在x9处取得最大值5(2016·江西省八所重点中学联考)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0，1) D(0，)解析：选B.因为f(x)x(ln xax)，所以f(x)ln x2ax1，由题可知f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，令g(x)，则g(x)，所以g(x)在(0，1)上递增，在(1，)上递减，又因为当x从右边趋近于0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，所以只需0<2a<10<a<.6已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值为()A13 B15C10 D15解析：选A.f(x)3x22ax，因为函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，所以124a0，解得a3，所以f(x)3x26x，f(x)x33x24.易知f(n)3n26n，f(m)m33m24，又m，n1，1，所以当n1时，f(n)最小，为9；又f(m)3m26m，令f(m)0得m0或m2，所以当m0时，f(m)最小，为4.故f(m)f(n)的最小值为4(9)13，故选A.7函数y2x的极大值是_解析：y2，令y0，得x1.当x1时，y0；当1<x<0时，y0.所以当x1时，y取极大值3.答案：38(2016·新乡一模)设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是_解析：由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f(2)128aa2<0，解得2<a<6.答案：(2，6)9(2016·新余一中一模)函数f(x)xsin xcos x在上的最大值为_解析：因为f(x)sin xxcos xsin xxcos x，所以f(x)0在x上的解为x.又f，f，f()1，所以函数f(x)xsin xcos x在上的最大值为.答案：10设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为_解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，则f(1)0，得b1a.所以f(x)axa1.若a0，当0<x<1时，f(x)>0，f(x)递增；当x>1时，f(x)<0，f(x)递减，所以x1是f(x)的极大值点若a<0，由f(x)0，得x1或x，因为x1是f(x)的极大值点，所以>1，解得1<a<0.综合得a的取值范围是a>1.答案：(1，)11(2015·高考全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上是递增的若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上是递增的，在上是递减的(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上是递增的，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)12已知函数f(x)x3ax1.(1)当x1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在0，1上的最小值；(3)若对任意mR，直线yxm都不是曲线yf(x)的切线，求a的取值范围解：(1)因为f(x)x2a，当x1时，f(x)取得极值，所以f(1)1a0，a1，又x(1，1)时，f(x)<0，x(1，)时，f(x)>0，所以f(x)在x1处取得极小值，即a1时符合题意(2)当a0时，f(x)>0对x(0，1)恒成立，所以f(x)在(0，1)上递增，所以f(x)在x0处取得最小值f(0)1.当a>0时，令f(x)x2a0，解得x1，x2，当0<a<1时，<1，当x(0，)时，f(x)<0，f(x)是递减的；当x(，1)时，f(x)>0，f(x)是递增的，所以f(x)在x处取得最小值f()1.当a1时，1.x(0，1)时，f(x)<0，f(x)是递减的，所以f(x)在x1处取得最小值f(1)a.综上所述，当a0时，f(x)在x0处取得最小值f(0)1；当0<a<1时，f(x)在x处取得最小值f()1；当a1时，f(x)在x1处取得最小值f(1)a.(3)因为mR，直线yxm都不是曲线yf(x)的切线，所以f(x)x2a1对xR恒成立，只要f(x)x2a的最小值大于1即可而f(x)x2a的最小值为a，所以a>1，即a<1.1一列电力机车每小时电的消耗费用与机车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的电价值40元，其他费用每小时需400元，机车的最高速度为100 km/h，机车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设机车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k·203，所以k，则总费用f(x)(kx3400)·aa(0<x100)由f(x)0，得x20.当0<x<20时，f(x)<0；当20<x100时，f(x)>0.所以当x20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少2(2016·河南省八校联考)已知函数f(x)，其中aR.(1)当a0时，求函数f(x)的定义域和极值；(2)当a1时，试确定函数g(x)f(x)1的零点个数，并证明解：(1)当a0时，函数f(x)，其定义域为x|xR，且x1，f(x).令f(x)0，得x0.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下：x(，1)(1，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的递减区间为(，1)，(1，0)；递增区间为(0，)故当x0时，函数f(x)有极小值f(0)1.(2)结论：函数g(x)存在两个零点证明过程如下：由题意得函数g(x)1.因为x2x1>0，所以函数g(x)的定义域为R.又g(x)，令g(x)0，得x10，x21，当x变化时，g(x)和g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)极大值极小值故函数g(x)的递减区间为(0，1)；递增区间为(，0)，(1，)当x0时，函数g(x)有极大值g(0)0；当x1时，函数g(x)有极小值g(1)1.因为函数g(x)在(，0)上是递增的，且g(0)0，所以对于任意x(，0)，g(x)0.因为函数g(x)在(0，1)上是递减的，且g(0)0，所以对于任意x(0，1)，g(x)0.因为函数g(x)在(1，)上是递增的，且g(1)1<0，g(2)1>0，所以函数g(x)在(1，)上存在唯一x0，使得g(x0)0，故函数g(x)存在两个零点，即0和x0.5