高中数学第4章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程教材梳理素材新人教A版必修2.doc
4.1.2 圆的一般方程疱丁巧解牛知识·巧学 圆的一般方程 对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时，此方程表示以()为圆心，为半径的圆；当D2+E2-4F=0时，方程仅表示一点()；当D2+E2-4F<0时，不表示任何图形. 注意：1.从对方程的研究过程我们可以看到两种方程的内在联系，即一般式方程通过配方便可化为标准式方程，将圆的标准式方程展开，便可得到一般式方程.要掌握两种形式方程的互化，特别是由一般式配方时要仔细计算.2.把圆的一般式方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0相比较，它突出了形式上的特点：x2与y2的系数均相同，均不为0；无xy这样的二次项，圆的一般方程中含有三个参数D、E、F.因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆.确定D、E、F通常也是利用待定系数法.3.待定系数法是数学中常用的一种方法.例如，由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程或其他问题中有广泛的应用.要求熟练掌握用待定系数法解有关问题.误区警示 并非形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程就表示圆的一般方程，只有在D2+E2-4F>0时，它才表示圆.若D2+E2-4F0时，它表示一个点.而当D2+E2-4F0时，它不表示任何图形.所以给出一个含参的二元二次方程如果表示圆，则参数的取值必须使得这个不等式成立.并且对于给定的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0时，其圆心坐标为（），半径为.问题·探究问题1 给出一个二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，如何判断它是否表示一个圆？探究:如果此方程表示一个圆，易知B=0，A=C0，而圆的一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时需D2+E2-4F>0,所以原二元二次方程可变形为：x2+y2+，所以当二元二次方程中B=0，A=C0,()2+()2-4·，即D2+E2-4AF>0时，这个二元二次方程表示圆.问题2 圆的一般方程与圆的标准方程有怎样的关系？它们各自的优点是什么？如何根据题意选择合适的方程形式来表示圆？探究:圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).配方后可化为圆的标准方程，即()2+()2=，而圆的标准方程展开化简就可得圆的一般方程.标准方程的优点是通过方程可直接得出圆心坐标和圆的半径，而一般式方程更好地突出了方程形式上的特点：x2和y2的系数相同，且不等于0,无xy项.在选择方程形式时，如果题目与圆的相关性质有关时，一般选择标准方程，如果与方程的思想相关时，如解圆的有关方程组的问题时，则选用一般式方程.典题·热题例1 从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A. B.2 C.4 D.6思路解析：求解本题有多种思路，一是由题意求得两条切线的斜率，由此解得劣弧所对的圆心角，进一步求得弧长.另一种思路是利用数形结合，通过圆的相关性质直接求解.解法一：设过原点的切线方程为y=kx，则(k2+1)x2-12kx+27=0. 所以=(-12k)2-4×27(k2+1)=0，解得k=±. 由此知两切线夹角为，又设D、E为切点，即CDOD,CEOE.DCE=.所以劣弧长为DCE·R=. 解法二：由圆的方程x2+y2-12y+27=0,得x2+(y-6)2=9，知圆以C(0,6)为圆心，以3为半径.设D、E为切点，则CE=R=3，OC=6，知cosOCE=. 所以OCE=,故DCE=.所以劣弧长为DCE·R=.答案：B深化升华 本题考查了圆的基本知识，有关圆的相关问题，在求解时，一定要注意圆的相关性质，如圆中的弦长问题，圆的切线，圆当中的直角三角形运用以及圆当中的对称性的应用等.同时要熟练掌握应用转化思想来解决有关曲线问题的方法.例2 求经过点P(-2,4)、Q(3，-1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.思路解析：根据待定系数法求相应的量即可.当圆上的多个点已知时，可以设圆的一般式方程.解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将P、Q点的坐标分别代入,得 又令y=0，得x2+Dx+F=0，设其两根分别为x1、x2， 由|x1-x2|=6,有D2-4F=36.由上综合, 可得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.方法归纳 本题应用待定系数法求圆的方程时，设了圆的一般式方程.那么何时选择用标准方程，何时用一般方程呢？通常的，如果问题中给出了圆心与坐标之间的关系或圆心的特殊位置关系时，一般用标准方程；如果给出圆上三个点的坐标用圆的一般方程.很多题目用标准方程或一般方程都适合条件，要善于从解题中发现条件，更好地选择方程，以使问题简单.例3 已知定点A(2,0)，圆x2+y2=1上有一个动点Q，AOQ的角平分线交AQ于点P，求动点P的轨迹.思路解析：求解有关两个或两个以上动点的轨迹问题，且有一个动点所在的曲线方程已知，一般采用“代入法”解决.解：设动点P的坐标为(x,y),Q(x1,y1)， 由角平分线性质，得,即.利用定比分点坐标公式有, 即x12+y12=1,()2+()2=1.动点P的轨迹方程为()2+()2=1.点P的轨迹为以(,0)为圆心，以为半径的圆.深化升华 本题应用了求轨迹方程的一种方法：代入法.它适用于处理一个主动点与一个被动点问题，如本题中由于Q点在已知圆上运动，从而引起了AOQ及线段AQ的变化，那么点Q是主动点，点P是被动点，这时我们只需找出这两点坐标之间的关系(用被动点坐标表示主动点坐标)，然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，也即得到了我们所要求的轨迹方程. 做这类题目时还应注意看清题目是要求轨迹方程还是求轨迹，注意轨迹与轨迹方程的区别：轨迹是方程所表示的曲线(图形).如果是求轨迹，那么在求出轨迹方程后，还应点明此方程表示怎样的一条曲线.3
