等差数列求和公式的.docx

第 1 1页共 7575页等差数列求和公式的等差数列求和公式的等差数列学案2 等差数列?第 1 课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读 1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念推断一个数列是否为等差数列.2.探究并驾驭等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.驾驭等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的学问解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导 1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键留意以下几个方面：假如一个数列，不是从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.一个数列从第 2 项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不肯定是等差数列，因为这些常数不肯定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.求公差时，要留意相邻两项相减的依次.d=an+1-an(nN+)或者 d=an-an-1(nN+且 n2).（2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，依据等差数列的定义，只需证明第 2 2页共 7575页对随意正整数 n,an+1-an 是同一个常数(或 an-an-1(n1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与 n 无关的常数.留意:推断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d 为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明 an+1-an或 an-an-1(n1)不是常数，而是一个与 n 有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：an是等差数列，an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：an是等差数列，an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：an是等差数列，则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.留意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应留意体会并应用.（2）通项公式的变形公式在等差数列an中，若 m，nN+，则 an=am+(n-m)d.推导如下：对随意的 m,nN+，在等差数列中，有 am=a1+(m-1)dan=a1+(n-1)d由-得 an-am=(n-m)d,an=am+(n-m)d.留意：将等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 变形整理可得 an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d0 时)或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差 d第 3 3页共 7575页是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=(nm).（3）通项公式的应用利用通项公式可以求出首项与公差;可以由首项与公差求出等差数列中的随意一项;若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度探讨等差数列的性质与图像由 an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线 y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差 d 是该直线的斜率，即自变量每增加 1，函数值增加 d.当 d0 时，an为递增数列，如图（甲）所示.当 d0时，an为递减数列，如图(乙)所示.当 d=0 时，an为常数列，如图(丙)所示.4.等差中项假如在数 a 与 b 之间插入一个数 A，使a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做数 a 与 b 的等差中项.留意:(1)等差中项 A=a,A,b 成等差数列；(2)若 a,b,c 成等差数列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c 都是等价的；(3)用递推关系an+1=(an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1 是它的前一项 an与后一项 an+2 的等差中项.知能自主梳理 1.等差数列一般地，假如一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的是，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项假如在 a 与 b 中间插入一个数 A，使a,A,b 成等差数列，那么 A 叫做.3.等差数列的推断方法（1）要证明数列an是等差数列，只要证明：当 n2 时，.（2）假如an+1=对随意的正整数 n 都成立，那么数列an是.（3）若 a,A,b成等差数列，则 A.4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式第 4 4页共 7575页为，它的推广通项公式为.5.等差数列的单调性当 d0 时，an是数列；当 d=0 时，an是数列；当 d0 时，an是数列.答案1.差同一个常数 2.a 与 b 的等差中项 3.（1）an-an-1=d(常数)(2)等差数列（3）4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d5.递增常递减思路方法技巧命题方向等差数列的定义及应用例 1推断下列数列是否为等差数列.（1）an=3n+2；（2）an=n2+n.分析利用等差数列 定 义，看 an+1-an 是 否 为 常 数 即 可.解 析(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN+).由 n 的随意性知，这个数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.说明利用定义法推断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它究竟是一个什么样的数列，这些不再是我们探讨的范畴.1n=1 变式应用 1试推断数列cn，cn=是否为等差数列.?2n-5n2解析c2-c1=-1-1=-2,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2).cn+1-cn(n1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.cn不是等差数列.命题方向等差数列通项公式的应用例 2已知数列an为等差数列，且 a5=11,a8=5,求 a11.分析利用通项公式先求出a1 和 d，再求 a11，也可以利用通项公式的变形形式 an=am+(n-m)d求解.解析解法一：设数列an的首项为 a1,公差为 d，由等差 数 列 的 通 项 公 式 及 已 知，得 a1+4d=11a1=19 解第 5 5页共 7575页得.a1+7d=5d=-2a11=19+(11-1)(-2)=-1.解法二：a8=a5+(8-5)d,d=-2.a11=a8+(11-8)d=5+3(-2)=-1.说明(1)对于解法一，依据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出 a1 和 d，确定通项，此法也称为基本量法.(2)对于解法二，依据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,nN+，进一步变形为 d=，应留意驾驭对它的敏捷应用.变式应用 2 已知等差数列an中，a10=29,a21=62,试推断 91 是否为此数列中的项.a10=a1+9d=29解析设等差数列的公差为 d,则有，a21=a1+20d=62 解得 a1=2,d=3.an=2+(n-1)33n-1.令 an3n-1=91,得 n=N+.91 不是此数列中的项.命题方向等差中项的应用 例3 已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？分析已知 a,b,c 成等差数列，由等差中项的 定 义，可 知a+c=2b,然 后 要 证 其 他 三 项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件 a+c=2b.解析因为 a,b,c 成等差数列，所以a+c=2b,又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以 a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.说明本题主要考查等差中项的应用，假如 a,b,c 成等差数列，则有 a+c=2b;反之，若a+c=2b,则 a,b,c 成等差数列.变式应用 3 已知数列xn的首项第 6 6页共 7575页x1=3,通项 xn=2np+nq(nN,p,q 为常数)，且 x1、x4、x5 成等差数列.求：p,q 的值.分析由 x1、x4、x5 成等差数列得出一个关于 p,q 的等式，结合 x1=3 推出 2p+q=3,从而得到 p,q.解析由 x1=3,得 2p+q=3,又 x4=24p+4q,x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4,得325p+5q=25p+8q,由得 q=1,p=1.说明若三数 a,b,c成等差数列，则 a+c=2b,即 b 为 a,c 的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中常常用到.探究延拓创新命题方向等差数列的实际应用例 4某公司经销一种数码产品，第 1 年获利 200 万元，从第 2 年起由于市场竞争等方面的缘由，利润每年比上一年削减 20 万元，根据这一规律假如公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析由题 意 可 知，设 第 1 年 获 利 为 a1，第 n 年 获 利 为 an,则an-an-1=-20,(n2,nN),每年获利构成等差数列an,且首项a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)(-20)=-20n+220.若 an0,则该公司经销这一产品将亏损，由an-20n2200,解得n11,即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.说明关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用 42022 年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有许多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有 150 个座位，从其次排起每一排都比前一排多 20第 7 7页共 7575页个座位，你能用 an 表示第 n 排的座位数吗？第 10排可坐多少人？分析分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.解析 由题意知，每排的座位数组成了一个首项为 a1=150,公差为d=20的等差数列，an=a1+(n-1)d=150+(n-1)20=20n+130,则 a10=330,即第 10 排可 坐 330 人.名 师 辨 误 做 答 例 5 已 知 数 列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).（1）推断数列an是否为等差数列？说明理由；（2）求an的通项公式.误会（1）an=an-1+2,an-an-1=2(为常数)，an是等差数列.（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.辨析忽视首项与全部项之间的整体关系，而推断特别数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列an从第 2 项起，以后各项组成等差数列，而an不是等差数列，an=f(n)应当表示为“分段函数”型.正解（1）当n3 时，an=an-1+2,即 an-an-1=2.当 n=2 时，a2-a1=0 不满意上式.an不是等差数列.（2）a2=1,an=an-1+2(n3)，a3=a2+2=3.a3-a2=2.当n3时，an-an-1=2.an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,又 a1=1 不 满 意 此式.1(n=1)an=.2n-3(n2)课堂巩固训练一、选择题 1.（2022重 庆 文，1）在 等 差 数 列 an 中,a2=2,a3=4,则 a10=（）A.12B.14C.16D.18答案D?解析该题考查等差数列的通项公 式，由 其 两 项 求 公 差d.由a2=2,a3=4知第 8 8页共 7575页d=2.?a10=a2+8d=2+82=18.2.已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.2D.3?答案C?解析an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),公 差 为 2，故 选 C.3.方 程x2-6x+1=0 的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4?答案C解析设方程 x2-6x+1=0 的两根为 x1、x2,则 x1+x2=6.其等差中项为=3.二、填空题 4.在等差数列an中，a2=3,a4=a2+8,则 a6=.?答 案 19?解 析 a2=3,a4=a2+8,?a1+d=3a1=-1,解得.a1+3d=a1+d+8d=4a6=a1+5d=-1+20=19.5.已知 a、b、c 成等差数列，那么二次函数 y=ax2+2bx+c(a0)的图像与 x 轴的交点有个.答案1 或 2?解析a、b、c 成等差数列，2b=a+c,?又=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20.三、解答题 6.在等差数列an中，已知 a5=10,a12=31,求通项公式 an.?a1+4d=10a1=2解析 由题意得,解得.a1+11d=31d=3an=-2+(n-1)33n-5.课后强化作业一、选择题 1.等差数列 1，-1，-3，-5，-89，它的项数为（）A.92B.47C.46D.45?答案C解析a1=1，d=-1-1=-2,an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,由-89=-2n+3，得 n=46.2.假如数列an是等差数列，则（）A.a1+a8a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5?答案B?解析设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,a1+a8=a4+a5.3.已 知数列 3,9,15,3(2n-1),那么 81 是它的第（）?A.12 项 B.13第 9 9页共 7575页项 C.14 项 D.15 项 答案 C?解析 由 3(2n-1)=81,解得 n=14.4.在 等 差 数 列 an 中，a2=-5,a6=a4+6,则 a1 等 于（）A.-9B.-8C.-7D.-4答案Ba1+d=-5解析由题意，得，a1+5d=a1+3d+6 解得 a1=-8.5.数列an中，a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值是（）A.49B.50C.51D.52答案D解析由2an+1=2an+1 得 an+1-an=，an是等差数列,首项 a1=2,公差d=,an=2+(n-1)=,?a101=52.6.已知 a=,b=,则 a,b 的等差中项为（）A.B.C.D.答案A解析=.7.设数列an是递增等差数列，前三项和为 12，前三项积为 48，则它的首项为（）?A.1B.2C.4D.3答案Ba1+a2+a3=12a1+a3=8解析由题设，,a2=4,a1a2a3=48a1a3=12a1,a3 是 一 元 二 次 方 程x2-8x+12=0 的两根，又 a3a1,a1=2.8.an是首项为 a1=4,公差 d=2 的 等 差 数 列，假 如 an=2022,则 序 号 n 等 于（）A.1003B.1004C.1005D.1006答案C解析a1=4,d=2,an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,?2n+2=2022,?n=1005.二、填空题 9.三个数 lg(-),x,lg(+)成等差数列，则 x=.答案0解析由等差中项的运算式得 x=0.10.一个等差数 列 的 第 5 项 a2=10,且 a1+a2+a3=3,则 a1=,d=.答 案-2,3a5=a1+4d=10a1+4d=10a1=-2 解 析 由 题 意 得,即，.a1+a1+d+a1+2d=3a1+d=1d=311.等差数列an的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则 它 的 第 5 项 为.答 案 4 解 析 第 1010页共 7575页2(2x+1)=x+(4x+2),x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,a5=a1+4d=4.12.在数列an中，a1=3，且对于随意大于 1 的正整数 n，点（,）在直线 x-y-=0 上，则 an=.?答案3n2解析由题意得-=,?数列是首项为，公差为的等差数列，=n,an=3n2.三、解答题 13.在等差数列an中：(1)已 知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d;(2)已 知 a1+a6=12,a4=7,求a9.?a1+(5-1)d=-1a1=-5 解 析 (1)由 题 意 知，解得.a1+(8-1)d=2d=1a1+a1+(6-1)d=12a1=1（2）由题意知，解得，a1+(4-1)d=7，d=2a9=a1+(9-1)d=1+82=17.14.已知函数 f(x)=，数列xn的通项由 xn=f(xn-1)(n2,且 nN+)确定.(1)求证：是等差数列；(2)当 x1=时，求 x100.解析(1)xn=f(xn-1)=(n2,nN+)，所以=+，-=(n2,nN+).所以是等差数列；(2)由(1)知的公差为.又因为 x1=,即2.所以=2+(n-1)，=2+(100-1)=35.所以 x100=.15.已知等差数列an中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求数列an的通项公式.分析明显 a6 是 a5 和 a7 的等差中项，可利用等差中项的定义求解 a5 和 a7，进而求 an.解析设a5=a6-d,a7=a6+d,?则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,a6=5.a5+a7=10a5=1a5 9 由 已 知 可 得，解 得 或a5a7=9a7=9a7=1当a5=1时，d=4,?从而a1=-15,?an=-15+(n-1)4=4n-19.?当 a5=9 时，d=-4,从 而第 1111页共 7575页a1=25.an=25+(n-1)（-4）4n+29.所以数列an的通项公式为 an=4n19 或 an=-4n+29.16.第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典实行，此后每 4 年实行一次，奥运会如因故不能实行，届数照算.?(1)试写出由实行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2022 年北京奥运会是第几届？2050 年实行奥运会吗？解析(1)由题意知，实行奥运会的年份构成的数列是一个以 1896为首项，4 为公差的 等差数列，这 个数列的通项 公式为an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN+).（2）假 设 an=2022，由2022=1892+4n,得 n=29.?假设 an=2050,2050=1892+4n 无正整数解.所以 2022 年北京奥运会是第 29 届，2050 年不实行奥运会.第 2课时等差数列的性质知能目标解读 1.驾驭等差数列的项与序号的性质.2.理解等差数列的项的对称性.3.能够娴熟应用等差数列的性质解决有关实际问题.重点难点点拨重点：等差数列的性质.难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题.学习方法指导 1.等差数列的公差与斜率的关系（1）一次函数 f(x)=kx+b(k0)的图像是一条直线，斜率k=(x1x2).当k=0时，对于常数函数f(x)=b,上式仍旧成立.（2）等差数列an的公差本质上是相应直线的斜率.特殊地，假如已知等差数列an的随意两项 an,am,由an=am+(n-m)d,类比直线方程的斜率公式得 d=(mn).2.等差数列的“子数列”的性质若数列an是公差为 d 的等差数列，则（1）an去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列；（2）第 1212页共 7575页奇数项数列a2n-1是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列a2n是公差为 2d 的等差数列；（3）若kn是等差数列，则akn也是等差数列.知能自主梳理 1.等差数列的项与序号的性质（1）两项关系通项公式的推广：an=am+(m、nN+).(2)多项关系项的运算性质：若 m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则=ap+aq.特殊地，若m+n=2p(m、n、pN+)，则 am+an=.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的 2 倍），即 a1+an=a2+=ak+=2a(其中 n 为奇数且 n3).3.等差数列的性质（1）若an是公差为 d的等差数列，则下列数列：c+an(c 为任一常数)是公差为的等差数列；can(c 为任一常数)是公差为的等差数列；ank(kN+)是公差为的等差数列.(2)若an、bn分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则数列pan+qbn(p、q 是常数)是公差为的等差数列.答案1.(n-m)dam+an2ap2.an-1an-k+13.dcdkdpd1+qd2 思路方法技巧命题方向运用等差数列性质 an=am+(n-m)d(m、nN+)解题例 1若数列an为等差数列，ap=q,aq=p(pq)，则 ap+q 为（）A.p+qB.0C.-(p+q)D.分析本题可用通项公式求解.利用关系式an=am+(n-m)d 求解.利用一次函数图像求解.答案B解析解法一：ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,a1+(p-1)d=q?a1+(q-1)d=p第 1313页共 7575页-，得（p-q）d=q-p.pq,d=-1.代 入 ，有a1+(p-1)(-1)=q,a1=p+q-1.故ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.应 选 B.解 法 二：ap=aq+(p-q)d,q=p+(p-q)d,即 q-p=(p-q)d.pq,d=-1.故 ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.应选 B.解法三：不妨设pq，由于等差数列中，an 关于 n 的图像是一条直线上匀称排开的一群孤立的点，故三点（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共线.设 ap+q=m，由已知，得三点（p,q）,(q,p),(p+q,m)共线（如图）.由ABEBCF，得=.=.1=.得 m=0，即 ap+q=0.应选 B.说明本题采纳了三种方法，第一种方法运用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项 a1 和公差 d 的等式，通过解方程组，达到解 题 目 的.其 次 种 方 法 运 用 的 是 通 项 公 式 的 推 广 形 式an=am+(n-m)d.第 三 种 方 法 运 用 的 是 函 数 的 思 想，通 过 点（p,ap）,(q,aq),(p+q,ap+q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.变式应用 1 已知 an 为等差数列，a15=8,a60=20,求 a75.解析 解法一：a15=a1+14d,a60=a1+59d,a1+14d=8?，a1+59d=20a1=解 得 d=a75=a1+74d=+74 24.解 法 二：a60=a15+45d,45d=a60-a15=20-8=12,d=.a75=a60+15d=20+1524.命题方向运用等差数列性质 am+an=ap+aq(m、n、p、qN+，且 m+n=p+q)解题例 2在等差数列an中，已知a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21，求数列的通项公式.分析要求通项第 1414页共 7575页公式，须要求出首项 a1 及公差 d，由 a2+a5+a8=9 和 a3a5a7=-21干脆求解很困难，这样促使我们转换思路.假如考虑到等差数列的性质，留意到 a2+a8=2a5=a3+a7，问题就好解了.解析a2+a5+a8=9，a3a5a7=-21,又a2+a8=a3+a7=2a5，a3+a7=2a5=6，即 a5=3.a3a7=-7，由 、解 得a3=-1,a7=7,或 a3=7,a7=-1,a3=-1，d=2 或 a3=7,d=-2.由an=a3+(n-3)d,得 an=2n-7 或 an=-2n+13.说明本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简洁，达到了事半功倍的效果.变式应用 2 在等差数列an中，若 a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13 的 值为（）A.20B.30C.40D.50 答案 C 解析 a3+a5+a7+a9+a11=100,又a3+a11=a5+a9=2a7,5a7=100,a7=20,3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)=3a7+6d-a7-6d=2a7=40.探究延拓创新命题方向等差数列性质的应用例 3已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为 2，首末两项的积为-8，求这四个数.分析此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数.其实,因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样求解更为便利，但必需留意这时的公差应为 2d.解析解法一：设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意，2a=2,且（a-3d）(a+3d)=-8,a=1,a2-9d2=-8,d2=1,d=1 或 d=-1.又知四个数第 1515页共 7575页成递增等差数列，d0,d=1,故所求的四个数为-2，0，2，4.解法二：若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差为 d)，依题意，2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8,把 a=1-d 代入 a(a+3d)=-8,得（1-d）(1+d)=-8,即 1-d2=-8,化简得 d2=4,d=2 或-2.又知四个数成递增等差数列，d0,d=2,a=-2.故所求的四个数为-2，0，2，4.说明此题设法很重要，一般地有如下规律：（1）若所给等差数列为2n(nN+)项，则可设为：a-(2n-1)d,a-3d,a-d,a+d,a+3d,a+(2n-1)d,此数列的公差为 2d.(2)若所给等差数列的项数为 2n-1(nN+)项,则这个数列可设为：a-(n-1)d,a-d,a,a+d,a+(n-1)d,这个数列的公差为 d.变式应用 3 已知 5 个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为，求这 5 个数.解析 设这五个数依次为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意，得 5a=5(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=a=1 解得?d2=a=1?d=故这五个数为-，1，或，1，-.名师辨误做答例 4在等差数列an中，已知 a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=.误会39a2+a3=13,a5=a2+a3=13,a4+a5+a6=3a5=39.辨析误会过程中，a2+a3=a5 是错误的，在运用等数列的性质“若 m+n=p+q(m、n、p、qN+)，则 am+an=ap+aq”的过程中，肯定要明确条件“m+n=p+q(m、n、p、qN+)”的内在含义.正解42 设公差为d,a2+a3=13,2a1+3d=13,又第 1616页共 7575页a1=2,d=3.a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.课堂巩固训练一、选择题 1.已知an为等差数列，a2+a8=12，则 a5 等于（）A.4B.5C.6D.7?答 案 C?解 析 an 为 等 差 数 列，a2+a8=2a5,2a5=12,a5=6.2.假 如 等 差 数 列 an 中，a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+a7=（）A.14B.21C.28D.35答案C?解析a3+a4+a5=12，3a4=12,a4=4.a1+a2+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.3.等 差 数 列 an 中，a4+a5=15,a7=12,则 a2=（）?A.3B.-3C.D.-答案 A 解析 a4+a5=15,a2+a7=a4+a5=15,又 a7=12.a2=3.二、填空题 4.在等差数列an中，a3=7,a5=a2+6，则a6=.?答 案 13?解 析 设 公 差 为d,a5=a2+6,a5-a2=3d=6,a6=a3+3d=7+6=13.5.等 差 数 列an 中，若 a2+a4022=4,则 a2022.?答案 2?解析 an为等差数列，2a2022=a2+a4022,a2022=2.课后强化作业一、选 择 题 1.已 知 等 差 数 列 an 中，a3=5,a5=9,则 a7=（）A.11B.12C.13D.14?答 案 C?解 析 设 公 差 为d,a5-a3=2d,2d=4,又 a7=a5+2d=9+4=13.2.在等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则 a2+a8=（）A.45B.75C.180D.300答案C解析由a3+a7=a4+a6=2a5，得a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,a5=90.a2+a8=2a5=180.3.下 列 命题中正确的是（）A.若 a,b,c 成等差数列，则 a2,b2,c2 成等差数第 1717页共 7575页列 B.若 a,b,c 成等差数列，则 log2a,log2b,log2c 成等差数列 C.若 a,b,c 成等差数列，则 a+2，b+2,c+2 成等差数列?D.若 a,b,c成等差数列，则 2a，2b,2c 成等差数列?答案 C?解析 a,b,c成 等 差 数 列，?2b=a+c,?2b+4=a+c+4,?即 2（b+2）=(a+2)+(c+2),a+2,b+2,c+2 成等差数列.4.已知等差数列an中，a7+a916,a4=1，则 a12 等于（）A.15B.30C.31D.64答案A 解析 a7+a9=2a8=16,故 a8=8.?在等差数列an中，a4,a8,a12成等差数列，所以 a12=2a8-a4=16-1=15.5.已知等差数列an满意a1+a2+a3+a101=0,则有（）?A.a1+a1010B.a2+a1000?C.a3+a1000D.a51=0答案D?解析由题设 a1+a2+a3+a101=101a51=0,a51=0.6.等差数列an中,a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则 a3+a6+a9 的值为（）A.30B.27C.24D.21 答案 B?解析 解法一：设 b1=a1+a4+a7=39，b2=a2+a5+a8=33，b3=a3+a6+a9，an成等差数列，b1,b2,b3成等差数列,a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27.解法二：设等差数列an的公差为d,则a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,33=39+3d,?3d=-6,a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=33-6=27.7.设 数 列 an,bn 都 是 等 差 数 列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37 等于（）A.0B.37C.100D.-37?答案 C?解析 a1+b1=100,a2+b2=100,(a2-a1)+(b2-b1)=0,设 等 差 数 列 an,bn 的 公 差 分 别 为d1,d2,则第 1818页共 7575页d1+d2=0.a37+b37=a1+36d1+b1+36d2=a1+b1+36(d1+d2)=a1+b1=100.8.在等差数列an中，若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9-a11的值为（）A.14B.15C.16D.17?答案C?解析由题意，得5a8=120,a8=24,a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.二、填空题9.在数列an中，a3,a10 是方程 x2-3x-5=0 的两根，若an是等差 数 列，则 a5+a8=.答 案 3?解 析 由 题 意，得a3+a10=3,a5+a8=a3+a10=3.10.等 差 数 列 an 中，a2+a3+a10+a11=36,则 a6+a7=.答案18解析an为等差数列，a2+a11=a3+a10=a6+a7,a2+a3+a10+a11=2(a6+a7)=36,a6+a7=18.11.(2022 洛 阳 模 拟)已 知 an 为 等 差 数 列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20=.答 案 1 解 析 a1+a3+a5=105,即3a3=105a3=35,同理a4=33,?d=a4-a3=-2a20=a4+(20-4)d=1.12.等差数列an中，公差为，且 a1+a3+a5+a99=60，则 a2+a4+a6+a100=.答案85解析由等差数列的定义知a2+a4+a6+a100?=a1+a3+a5+a99+50d=60+25=85.三、解答题 13.已知数列an中，a2+a6+a10=1,求 a3+a9.?解析a2+a10=2a6,?3a6=1,a6=.?a3+a9=2a6=.14.已知等差数列an的公差是正数，且 a3a7=-12,a4+a6=-4,求an的通项公式.解析a3+a7=a4+a6=-4,又 a3a7=-12a3、a7 是方程第 1919页共 7575页x2+4x-12=0 的两根而 d0,a3=-6,a7=2.a1+2d=-6a1+6d=2 故a1=-10,d=2,an=2n-12.15.已知数列an,an=2n-1,bn=a2n-1.(1)求 bn 的通项公式；（2）数列 bn是 否 为 等 差 数 列？说 明 理 由.?解 析 an=2n-1,bn=a2n-1,b1=a1=1,b2=a3=5,b3a5=9，bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.(2)由bn=4n-3知bn-1=4(n-1)-3=4n-7.?bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4,?bn 是首项 b1=1,公差为 4 的等差数列.16.有一批影碟机原销售价为每台 800 元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销；买一台单价为 780 元，买两台单价都为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再削减 20 元，但每台最低价不能低于 440 元；乙商场一律都按原价的 75%销售.某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少.解析设单位需购买影碟机n 台，在甲商场购买每台售价不低于 440 元，售价依台数 n 成等差数列.设该数列为an.?an=780+(n-1)(-20)=800-20n,?解不等式 an440即 800-20n440，得 n18.?当购买台数小于 18台时，每台售价为 800-20n，在台数大于等于 18 台时，每台售价为 440元.到乙商场购买，每台售价为 80075%=600 元.?作差：（800-20n）n-600n=20n（10-n），?当 n10 时，600n(800-20n)n，?当 n=10 时，600n=(800-20n)n，?当 10n18 时（800-20n）n600n，?当 n18 时，440n660n.?答：当购买少于 10 台时到乙商场花费较少，当购买第 2020页共 7575页10 台时到两商场购买花费相同，当购买多于 10 台时到甲商场购买花费较少.第 3 课时等差数列的前 n 项和知能目标解读 1.理解并驾驭等差数列的前 n 项和公式及其推导过程，能够应用等差数列的前 n 项和公式解决有关等差数列的实际问题.2.体会等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系，能用二次函数的相关学问解决有关的数列问题.3.娴熟驾驭等差数列的五个基本量a1,d,n,an,Sn 之间的联系，能够由其中的随意三个求出其余的两个.4.进一步熟识由数列的前n项和Sn求通项的方法.重点难点点拨重点：探究等差数列前 n 项和公式的推导方法，驾驭前 n 项和公式，会用公式解决一些实际问题.体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系.难点：等差数列前 n 项和公式的推导和应用公式解题时公式的选取.学习方法指导 1.等差数列前 n 项和公式中涉及五个量 a1,d,n,an,Sn,已知其中随意三个就可以列方程组求另外两个（简称“知三求二”），它是方程思想在数列中的体现.2.等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要留意体会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题.留意公式 Sn=,Sn