2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科).doc

2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数z=1+2i，则=（）A5B5+4iC3D34i2（5分）已知集合A=x|x22x30，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0x3Dx|1x0或1x33（5分）设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A2BCD5（5分）已知数列an满意an+1an=2，a1=5，则|a1|+|a2|+|a6|=（）A9B15C18D306（5分）在平面内的动点（x，y）满意不等式，则z=2x+y的最大值是（）A6B4C2D07（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BCD8（5分）将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面对上的概率不小于，则n的最小值为（）A4B5C6D79（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）ABCD10（5分）若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）ABCD11（5分）已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，则的取值范围是（）ABCD12（5分）已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2m（m0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A（，0）BCD（1，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有 种不同的分法（用数字作答）14（5分）函数f（x）=exsinx在点（0，f（0）处的切线方程是 15（5分）我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”假如此物数量在100至200之间，那么这个数 16（5分）过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周长的最大值18（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算详细值，给出结论即可）；（2）依据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）若F为AB中点，试确定的值，使二面角PFMB的余弦值为20（12分）已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值21（12分）已知函数f（x）=（x2）ex+a（x+2）2（x0）（1）若f（x）是（0，+）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的一般方程；（2）若曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值为1（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求实数t的最大值2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知复数z=1+2i，则=（）A5B5+4iC3D34i【解答】解：z=1+2i，=|z|2=故选：A2（5分）已知集合A=x|x22x30，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x3Cx|1x0或0x3Dx|1x0或1x3【解答】解：集合A=x|x22x30=x|1x3，=x|x0或x1，AB=x|1x0或1x3故选：D3（5分）设a，b均为实数，则“a|b|”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由a|b|”能推出“a3b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=2，不是必要条件，故选：A4（5分）若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A2BCD【解答】解：点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为：故选：D5（5分）已知数列an满意an+1an=2，a1=5，则|a1|+|a2|+|a6|=（）A9B15C18D30【解答】解：an+1an=2，a1=5，数列an是公差为2的等差数列an=5+2（n1）=2n7数列an的前n项和Sn=n26n令an=2n70，解得n3时，|an|=ann4时，|an|=an则|a1|+|a2|+|a6|=a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=626×62（326×3）=18故选：C6（5分）在平面内的动点（x，y）满意不等式，则z=2x+y的最大值是（）A6B4C2D0【解答】解：依据不等式，画出可行域，由，可得x=3，y=0平移直线2x+y=0，当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6故选：A7（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BCD【解答】解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积故选D8（5分）将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面对上的概率不小于，则n的最小值为（）A4B5C6D7【解答】解：由题意，1，n4，n的最小值为4，故选A9（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）ABCD【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x22在区间1，2上的零点，且精确到0.3；模拟如下；m=时，f（1）f（）=（1）×0，b=，|ab|=d；m=时，f（1）f（）=（1）×（）0，a=，|ab|=d；程序运行终止，输出m=故选：B10（5分）若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）ABCD【解答】解：x0，2x+，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，=，则x1+x2=，故选：C11（5分）已知向量，（m0，n0），若m+n1，2，则的取值范围是（）ABCD【解答】解：依据题意，向量，=（3m+n，m3n），则=，令t=，则=t，而m+n1，2，即1m+n2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：t2，又由=t，故2；故选：B12（5分）已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2m（m0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A（，0）BCD（1，+）【解答】解：不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，不等式f（x1）f（x2）f（1）f（0）恒成立，又x1+x2=1，不等式f（x1）f（1x1）f（1）f（11）恒成立，设g（x）=f（x）f（1x），f（x）=ex+mx2m（m0），g（x）=exe1x+m（2x1），则g（x）=ex+e1x+2m0，g（x）在R上单调递增，不等式g（x1）g（1）恒成立，x11，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种状况，其余3人，有=6种状况，共有8×6=48种不同的分法故答案为4814（5分）函数f（x）=exsinx在点（0，f（0）处的切线方程是y=x【解答】解：f（x）=exsinx，f（x）=ex（sinx+cosx），（2分）f（0）=1，f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y0=1×（x0），即y=x（4分）故答案为：y=x15（5分）我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”假如此物数量在100至200之间，那么这个数128【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；其次个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233最终，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233105×2=23或105k+23（k为正整数）由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：12816（5分）过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），与y=x垂直的直线为y=（xc），由可得A（，）；由可得B（，），再由，可得0（）=2（0），化为a2=3b2=3（c2a2），即为3c2=4a2，则e=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求ABC的周长的最大值【解答】解：（1），当时，f（x）取得最小值2（2）f（A）=4，又BC=3，9=（b+c）2bc，当且仅当b=c取等号，三角形周长最大值为18（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算详细值，给出结论即可）；（2）依据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望【解答】解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，所以X的分布列为X123P或19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）若F为AB中点，试确定的值，使二面角PFMB的余弦值为【解答】解：（I）证明：PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB，又底面ABCD为矩形，ABAD，PAAD=A，PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD，AD=AP，E为PD中点，AEPD，AEAB=A，AE平面ABE，AB平面ABE，PD平面ABE（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系ABDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），M（2，2，22）设平面PFM的法向量，即，设平面BFM的法向量，即，解得20（12分）已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值【解答】解：（1）椭圆Q的长轴长为，设P（x0，y0），直线PA与OM的斜率之积恒为，b=1，故椭圆的方程为（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），CD的垂直平分线方程为，令y=0，得，=，21（12分）已知函数f（x）=（x2）ex+a（x+2）2（x0）（1）若f（x）是（0，+）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围【解答】解：（1）f'（x）=ex+（x2）ex+2ax+4a，函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，f'（x）0在（0，+）上恒成立ex+（x2）ex+2ax+4a0，令，（2）f'（x）=xex+2a0，y=f'（x）在（0，+）上单调递增又f'（0）=4a10，f'（1）=6a0，存在t（0，1）使f'（t）=0x（0，t）时，f'（x）0，x（t，+）时，f'（x）0，当x=t时，且有f'（t）=et（t1）+2a（t+2）=0，由（1）知在t（0，+）上单调递减，且，t（0，1），f（1）f（t）f（0），ef（t）1，f（x）的最小值的取值范围是（e，1）选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的一般方程；（2）若曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为=4cos，即2=4cos，可得直角坐标方程：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得一般方程：x+2y3=0（2），直角坐标为（2，2），M到l的距离，从而最大值为选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值为1（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求实数t的最大值【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2xb|=|x+a|+|x|+|x|，|x+a|+|x|（x+a）（x）|=a+且|x|0，f（x）a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，a+=1，2a+b=2；法二：a，f（x）=|x+a|+|2xb|=，明显f（x）在（，上单调递减，f（x）在，+）上单调递增，f（x）的最小值为f（）=a+，a+=1，2a+b=2（2）方法一：a+2btab恒成立，t恒成立，=+=（+）（2a+b ）=（1+4+），当a=b=时，取得最小值，t，即实数t的最大值为；方法二：a+2btab恒成立，t恒成立，t=+恒成立，+=+=，t，即实数t的最大值为；方法三：a+2btab恒成立，a+2（2a）ta（2a）恒成立，2ta2（3+2t）a+40恒成立，（3+2t）23260，t，实数t的最大值为第21页（共21页）