2013届北京海淀区高三数学理科一模试题及答案.doc

1/11北京市北京市海淀区海淀区 2013 届届高三第一学期期末高三第一学期期末考试数学（理）试考试数学（理）试题题2012013 3.1 1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 4040 分分.在每小题列出的四个选项在每小题列出的四个选项中中,选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项.1.复数21i化简的结果为A.1 iB.1i C.1 iD.1i 2.已知直线2,:2xtlyt （t为参数）与圆2cos1,:2sinxCy（为参数），则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是A.,(1,0)4B.,(1,0)4C.3,(1,0)4D.3,(1,0)43.向量(3,4),(,2)xab,若|a ba,则实数x的值为A.1B.12C.13D.14.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的p为24，则输出的,n S的值分别为A.4,30nSB.5,30nSC.4,45nSD.5,45nS5.如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于,A B两点，弦CD垂直AB于E.则下面结论中，错误的结论是.BECDEAB.ACEACP C.2DEOE EPD.2PCPA AB6.数列 na满足111,nnaar ar（*,nrNR且0r），则“1r”是“数列 na成等差数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A.144B.120C.108D.722/118.椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，若椭圆C上恰好有 6 个不同的点P，使得12F F P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是A.1 2(,)3 3B.1(,1)2C.2(,1)3D.1 11(,)(,1)3 22二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 6 6 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 3030 分分.9.以yx 为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为_.10.数列na满足12,a 且对任意的*,Nm n，都有n mnmaaa，则3_;a na的前n项和nS _.11.在261(3)xx的展开式中，常数项为_.(用数字作答)12.三棱锥DABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为_.13.点(,)P x y在不等式组0,3,1xxyyx表示的平面区域内，若点(,)P x y到直线1ykx的最大距离为2 2，则_.k 14.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为1，动点P在正方体1111ABCDABC D表面上运动，且PAr（03r），记点P的轨迹的长度为()f r，则1()2f_;关于r的方程()f rk的解的个数可以为_.（填上所有可能的值）.三三、解答题解答题:本大题共本大题共 6 6 小题小题,共共 8080 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明,演算步骤或证明演算步骤或证明过程过程.15.（本小题满分 13 分）已知函数21()3sincoscos2222xxxf x，ABC三个内角,A B C的对边分别为,a b c.（I）求()f x的单调递增区间；（）若()1,f BC3,1ab，求角C的大小.3/1116.（本小题满分 13 分）汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车出租天数1234567车辆数51030351532B 型车出租天数1234567车辆数1420201615105（I）从出租天数为 3 天的汽车（仅限 A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率；（）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率；（）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17.（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，90BAC，12,ABACAAE是BC中点.（I）求证：1/AB平面1AEC；（II）若棱1AA上存在一点M，满足11B MC E，求AM的长；（）求平面1AEC与平面11ABB A所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分 13 分）已知函数e().1axf xx（I）当1a 时,求曲线()f x在(0,(0)f处的切线方程；（）求函数()f x的单调区间.4/1119.（本小题满分 14 分）已知2,2E是抛物线2:2Cypx上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于,A B两点（不同于点E），直线,EA EB分别交直线2x 于点,M N.（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）已知O为原点，求证：MON为定值.20.（本小题满分 13 分）已知函数()f x的定义域为(0,)，若()f xyx在(0,)上为增函数，则称()f x为“一阶比增函数”；若2()f xyx在(0,)上为增函数，则称()f x为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2.()已知函数32()2f xxhxhx，若1(),f x 且2()f x，求实数h的取值范围；()已知0abc，1()f x 且()f x的部分函数值由下表给出，xabcabc()f xddt4求证：(24)0ddt；()定义集合2()|(),(0,)(),f xf xkxf xk 且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M，使得()f x，(0,)x，有()f xM成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由.5/11海淀区高三年级第一学期期末练习数数学学（理）（理）参考答案及评分标准参考答案及评分标准2012013 31 1说明：说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）题号12345YJY.COM/678答案ACABDACD二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 6 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,有两空的小题有两空的小题，第一空第一空 3 3 分分，第二空第二空 2 2 分分，共共3030 分）分）三三、解答解答题题(本大本大题共题共 6 6 小题小题,共共 8080 分分)15（本小题满分 13 分）解：（I）因为21()3sincoscos2222xxxf x 3cos1sin2223sincos2121xxxxsin()6x6 分又sinyx的单调递增区间为2,2 22kk（），()Zk所以令2 2 262kxk解得22 2 33kxk所以函数()f x的单调增区间为2(2,2)33kk，()Zk8 分9224xy1018;22n11.135124 2131143;0,2,3,446/11()因为()1,f BC所以sin()16BC，又(0,)BC，7(,)666BC所以,623BCBC，所以23A 10 分由正弦定理sinsinBAba把3,1ab代入，得到1sin2B 12 分又,baBA，所以6B，所以6C 13 分16.（本小题满分 13 分）解：（I）这辆汽车是 A 型车的概率约为3A3A,B出租天数为 天的 型车辆数出租天数为 天的型车辆数总和300.63020这辆汽车是A型车的概率为0.63分（II）设“事件iA表示一辆型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件jB表示一辆型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中,1,2,3,.,7i j 则该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为132231132231()()()()P ABA BA BP ABP A BP A B5 分132231()()()()()()P A P BP A P BP A P B7 分52010203014100 100100 100100 10091257/11该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为91259 分（）设X为 A 型车出租的天数，则X的分布列为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为 B 型车出租的天数，则Y的分布列为Y1234567Y.COM/P0.140.200.200.160.150.100.05()1 0.0520.103 0.3040.3550.1560.0370.02 =3.62E X ()1 0.1420.203 0.2040.165 0.156 0.1070.05E Y =3.4812 分一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 3.48 天.从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差,综合分析，选择 A 类型的出租车更加合理.13 分17.（本小题满分 14 分）(I)连接AC1交AC1于点O，连接EO因为1ACC A1为正方形，所以O为AC1中点，又E为CB中点，所以EO为1ABC的中位线，所以1/EOAB2 分又EO 平面1AEC，1AB 平面1AEC所以1/AB平面1AEC4 分（）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，1AA为z轴建立空间直角坐标系所以111(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,2,2),(1,1,0),AABBCCE设(0,0,)(02)Mmm，所以11(2,0,2),(1,1,2)B MmC E ，8/11因 为11B MC E，所 以110B M C E ，解 得1m，所 以1AM 8 分（）因为1(1,1,0),(0,2,2)AEAC ，设平面1AEC的法向量为(,)nx y z，则有100AE nACn ，得00 xyyz，令1,y 则1,1xz，所以可以取(1,1,1)n，10 分因为AC 平面1ABB A1,取平面1ABB A1的法向量为(0,2,0)AC 11 分所以3cos,3|AC nAC nAC n 13 分平面1AEC与平面1ABB A1所成锐二面角的余弦值为3314 分18.（本小题满分 13 分）解：当1a 时，e()1axf xx，2e(2)()(1)xxfxx2 分又(0)1f，(0)2f，所以()f x在(0,(0)f处的切线方程为21yx 4 分（II）2e(1)()(1)axaxafxx当0a 时，21()0(1)fxx9/11又函数的定义域为|1x x 所以()f x的单调递减区间为(,1),(1,)6 分当0a 时，令()0fx，即(1)0axa，解得1axa7分当0a 时，11axa，所以()fx，()f x随x的变化情况如下表x(,1)11(1,)aa1aa1(,)aa()fx无定义0()f x极小值所以()f x的单调递减区间为(,1)，1(1,)aa，单调递增区间为1(,)aa10 分当0a 时，11axa所以()fx，()f x随x的变化情况如下表：x1(,)aa1aa1(,1)aa11(,)aa()fx0无定义()f x极大值所以()f x的单调递增区间为1(,)aa，10/11单调递减区间为1(,1)aa，(1,)13 分19.（本小题满分 14 分）解：（）将2,2E代入22ypx，得1p 所以抛物线方程为22yx，焦点坐标为1(,0)23 分（）设211(,)2yAy，222(,)2yBy，(,),(,)MMNNM xyN xy，法一：法一：因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率设直线l方程为(2)yk x与抛物线方程联立得到2(2)2yk xyx，消去x，得：2240kyyk则由韦达定理得：121224,y yyyk 6 分直线AE的方程为：12122222yyxy，即12222yxy，令2x ，得11242Myyy9 分同理可得：22242Nyyy10 分又4(2,),(2,)mmOMyONy ，11/11所以121224 244422MNyyOM ONy yyy 1212121242()442()4y yyyy yyy44(44)444(44)kk 013 分所以OMON，即MON为定值214 分法二：法二：设直线l方程为2xmy与抛物线方程联立得到222xmyyx，消去x，得：2240ymy则由韦达定理得：12124,2y yyym 6 分直线AE的方程为：12122222yyxy，即12222yxy，令2x ，得11242Myyy9 分同理可得：22242Nyyy10 分又4(2,),(2,)mmOMyONy ，12/1112124(2)(2)44(2)(2)MNyyOM ONy yyy 1212121242()442()4y yyyy yyy4(424)44(424)mm 012 分所以OMON，即MON为定值213 分20.（本小题满分 14 分）解：（I）因为1(),f x 且2()f x，即2()()2f xg xxhxhx在(0,)是增函数，所以0h 1 分而2()()2f xhh xxhxx在(0,)不是增函数，而2()1hh xx 当()h x是增函数时，有0h，所以当()h x不是增函数时，0h 综上，得0h 4 分()因为1()f x，且0abcabc所以()()4=f af abcaabcabc，所以4()af adabc，同理可证4()bf bdabc，4()cf ctabc 三式相加得4()()()()24,abcf af bf cdtabc 13/11所以240dt 6 分因为,ddab所以()0,badab而0ab，所以0d 所以(24)0ddt 8 分()因为集合2()|(),(0,)(),f xf xkxf xk 且存在常数使得任取,所以()f x，存在常数k，使得()f xk对(0,)x成立我们先证明()0f x 对(0,)x成立假设0(0,),x使得0()0f x，记020()0f xmx因为()f x是二阶比增函数，即2()f xx是增函数.所以当0 xx时，0220()()f xf xmxx，所以2()f xmx所以一定可以找到一个10 xx，使得211()f xmxk这与()f xk对(0,)x成立矛盾11 分()0f x 对(0,)x成立所以()f x，()0f x 对(0,)x成立下面我们证明()0f x 在(0,)上无解假设存在20 x，使得2()0f x，则因为()f x是二阶增函数，即2()f xx是增函数一定存在320 xx，322232()()0f xf xxx，这与上面证明的结果矛盾所以()0f x 在(0,)上无解综上，我们得到()f x，()0f x 对(0,)x成立14/11所以存在常数0M，使得()f x，(0,)x，有()f xM成立又令1()(0)f xxx，则()0f x 对(0,)x成立，又有23()1f xxx在(0,)上是增函数，所以()f x，而任取常数0k，总可以找到一个00 x，使得0 xx时，有()f xk所以M的最小值为013 分