高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）导学案.docx

高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）导学案中学数学必修四3.1.1两角差的余弦公式导学案 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切3.1.1两角差的余弦公式 【学习目标】1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.2.驾驭两角差的余弦公式及其应用.【新知自学】学问回顾1、三角函数线的有关定义？2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？新知梳理1、设为两个随意角,你能推断恒成立吗?2、我们设想的值与的三角函数值有肯定关系，视察下表中的数据，你有什么发觉？cos(60°30°)cos60°cos30°sin60°sin30° cos(120°60°)cos120°cos60°sin120°sin60° 猜想：=3、试推导上述公式（利用三角函数线）思索感悟1、公式中的角适用于随意角吗？2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？对点练习cos17等于（）A.cos20cos3-sin20sin3B.cos20cos3+sin20sin3C.sin20sin3-cos20cos3D.cos20sin20+sin3cos3 【合作探究】典例精析：例1、利用差角余弦公式求的值. 变式练习：1、利用差角余弦公式求的值. 变式练习：2、= 例2、利用两角差的余弦公式证明等式. 变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式. 例3、已知，是第三象限角，求的值. 变式练习：4、，则=（）A.B.C.D. 【课堂小结】 【当堂达标】1.=（）A.B.C.D. 【课时作业】1.计算的结果是（）A.1B.C.D. 2.已知，则=（）A.B.C.D.*3.化简=（）A.B.C.D.*4已知则 *5.已知，求的值. 6.已知sin，是第三象限角，求的值. *7.已知都是锐角，求的值. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学反思 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学反思 1、本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦和正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系改变的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的实力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。 2、本节课中，自主学习的内容主要有两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共8个，二倍角公式及其变形；合作探究三角函数公式的基本应用与逆用,三角函数公式的变形应用,角的变换三类问题。 3、通过学生课前预习，达到对基本公式的驾驭；通过课堂探究，培育学生自主解决问题的实力。 4、自主学习的内容主要是通过展示，在这个过程中，提出公式的证明与公式的推导等问题，达到对公式的驾驭；合作探究的三个问题通过分组探究，各组探讨，推选代表进行展示，在这个过程中，下面学生提出自己的看法见解，学习探究热情，气氛深厚。 5、本节课美中不足的地方，自主学习展示中，用了较多的时间，在探究后面的三类问题时，时间略现惊慌。 中学数学必修四3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；2.会应用二倍角公式进行简洁的求值、化简与证明；3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.【新知自学】学问回顾：cos()= cos()= sin()= sin= tan= tan=新知梳理由上述公式能否得到的公式呢？ 留意：思索感悟公式cos()、cos()、sin()、sin、tan、tan、间的区分与联系？ 对点练习：（1）已知=,且，则的值等于（）AB13CD13 （2）若，则的值为（）A、B、C、D、 （3）已知,则 【合作探究】典例精析：例1、已知求的值 变式练习：1、已知，求的值.例2、在ABC中， 变式练习：2、已知，则=（）A.B.C.D. *例3、已知 【课堂小结】 【当堂达标】1.若x=12，则的值为（）ABCD2.= 3.已知：，求：的值 【课时作业】1.（）A、B、C、D、 2.若，则的值等于（）A、B、C、D、3.的值等于（）A、B、C、2D、4 4已知sin（x4）=35,则sin2x=（）A825B725C1625D1625 *5.求函数的最大值.*6.已知：，求：的值 *7.已知：=22，求：的值【延长探究】已知向量，设函数，（1）求的最小正周期。（2）求在上的最大值和最小值。 高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案 学案21两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟识公式的正用、逆用、变形应用自主梳理1(1)两角和与差的余弦cos()_，cos()_.(2)两角和与差的正弦sin()_，sin()_.(3)两角和与差的正切tan()_，tan()_.(，均不等于k2，kZ)其变形为：tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)2协助角公式asinbcosa2b2sin()，其中cos，sin，tanba，角称为协助角自我检测1(2022福建)计算sin43°cos13°cos43°sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.322已知cos6sin435，则sin76的值是()A235B.235C45D.453函数f(x)sin2xcos2x的最小正周期是()A.2BC2D44(2022台州月考)设02，若sin3cos，则的取值范围是()A.3，2B.3，C.3，43D.3，325(2022广州模拟)已知向量a(sinx，cosx)，向量b(1，3)，则|ab|的最大值为()A1B.3C3D9探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1求值：(1)2sin50°sin10°(13tan10°)2sin280°；(2)sin(75°)cos(45°)3cos(15°) 变式迁移1求值：(1)2cos10°sin20°sin70°；(2)tan(6)tan(6)3tan(6)tan(6) 探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2已知0434，cos435，sin34513，求sin()的值 变式迁移2(2022广州模拟)已知tan42，tan12.(1)求tan的值；(2)求sin2sincos2sinsincos的值 探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3已知02，tan212，cos()210.(1)求sin的值；(2)求的值 变式迁移3(2022岳阳模拟)若sinA55，sinB1010，且A、B均为钝角，求AB的值 转化与化归思想的应用例(12分)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|255.(1)求cos()的值；(2)若202，且sin513，求sin的值【答题模板】解(1)|ab|255，a22abb245.2分又a(cos，sin)，b(cos，sin)，a2b21，abcoscossinsincos()，4分故cos()a2b2452245235.6分(2)202，0.cos()35，sin()45.8分又sin513，20，cos1213.9分故sinsin()sin()coscos()sin45×121335×5133365.12分【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|ab|255，必需从这个等式动身，利用向量学问化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中须要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将变为().【易错点剖析】|ab|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点1转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等2变换则必需熟识公式分清和驾驭哪些公式会实现哪种变换，也要驾驭各个公式的相互联系和适用条件3恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化4基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量削减名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2022佛山模拟)已知sin3sin435，则cos23等于()A45B35C.35D.452已知cos6sin233，则sin76的值是()A233B.233C23D.233(2022宁波月考)已知向量asin6，1，b(4,4cos3)，若ab，则sin43等于()A34B14C.34D.144函数ysinxcosx图象的一条对称轴方程是()Ax54Bx34Cx4Dx25在ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则C的大小为()A.6B.56C.6或56D.3或23题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6(2022重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等设第i段弧所对的圆心角为i(i1,2,3)，则cos13cos233sin13sin233_.7设sin352，tan()12，则tan()_.8(2022惠州月考)已知tan、tan是方程x233x40的两根，且、2，2，则tan()_，的值为_三、解答题(共38分)9(12分)(1)已知0，2，2，且sin()3365，cos513.求sin；(2)已知，(0，)，且tan()12，tan17，求2的值 10(12分)(2022四川)(1)证明两角和的余弦公式C()：cos()coscossinsin；由C()推导两角和的正弦公式S()：sin()sincoscossin.（2）已知ABC的面积S=，ABAC3，且cosB35，求cosC. 11(14分)(2022济南模拟)设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，3sin2x)，xR.(1)若函数f(x)13，且x3，3，求x；(2)求函数yf(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出yf(x)在区间0，上的图象 答案自主梳理1(1)coscossinsincoscossinsin(2)sincoscossinsincoscossin(3)tantan1tantantantan1tantan2.aa2b2ba2b2自我检测1A2.C3.B4.C5.C课堂活动区例1解题导引在三角函数求值的问题中，要留意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特别角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把全部的切都转化为弦，或把全部的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满意三角函数的公式假如满意则干脆运用，假如不满意需转化一下角或转换一下名称，就可以运用解(1)原式2sin50°sin10°13sin10°cos10°2sin80°2sin50°sin10°cos10°3sin10°cos10°2sin80°2sin50°2sin10°12cos10°32sin10°cos10°2cos10°2sin50°2sin10°sin40°cos10°2cos10°2sin60°cos10°2cos10°22sin60°22×326.(2)原式sin(45°)30°cos(45°)3cos(45°)30°32sin(45°)12cos(45°)cos(45°)32cos(45°)32sin(45°)0.变式迁移1解(1)原式2cos30°20°sin20°sin70°3cos20°sin20°sin20°sin70°3cos20°sin70°3.(2)原式tan(6)(6)1tan(6)tan(6)3tan(6)tan(6)3.例2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类探讨应留意公式的敏捷运用，驾驭其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧解cos4sin435，0434，24，3434.cos41sin2445，cos341sin2341213.sin()sin434sin4cos34cos4sin3435×121345×5135665.sin()5665.变式迁移2解(1)由tan42，得1tan1tan2，即1tan22tan，tan13.(2)sin2sincos2sinsincossincoscossin2sincos2sinsincoscossinsinsincoscossincoscossinsinsincostan()tantan1tantan1312113×1217.例3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好(2)解这类问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；依据角的范围写出所求的角解(1)tan212，sinsin222sin2cos22sin2cos2sin22cos222tan21tan222×12112245.(2)02，sin45，cos35.又02，0.由cos()210，得sin()7210.sinsin()sin()coscos()sin7210×35210×452525022.由2得34.(或求cos22，得34)变式迁移3解A、B均为钝角且sinA55，sinB1010，cosA1sin2A25255，cosB1sin2B31031010.cos(AB)cosAcosBsinAsinB255×3101055×101022.又2A，2B，AB2.由，知AB74.课后练习区1D2.D3.B4.A5.A6127.2118.3239解(1)2，cos513，sin1213.(2分)又02，2，232，又sin()3365，cos()1sin21336525665，(4分)sinsin()sin()coscos()sin33655135665121335.(6分)(2)tantan()tantan1tantan1217112×1713，(8分)tan(2)tan()tantan1tantan1312113×121.(10分)，(0，)，tan131，tan170，04，2，20，234.(12分)10(1)证明如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角、与，使角的始边为Ox，交O于点P1，终边交O于点P2；角的始边为OP2，终边交O于点P3；角的始边为OP1，终边交O于点P4.则P1(1,0)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin()，(2分)由|P1P3|P2P4|及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2，绽开并整理得：22cos()22(coscossinsin)，cos()coscossinsin.(4分)解由易得，cos2sin，sin2cos.sin()cos2cos2cos2cos()sin2sin()sincoscossin.sin()sincoscossin.(7分)(2)解由题意，设ABC的角B、C的对边分别为b、c.则S12bcsinA12，ABACbccosA30，A0，2，cosA3sinA，(9分)又sin2Acos2A1，sinA1010，cosA31010，由cosB35，得sinB45.cos(AB)cosAcosBsinAsinB1010.(11分)故cosCcos(AB)cos(AB)1010.(12分)11解(1)依题设得f(x)2cos2x3sin2x1cos2x3sin2x2sin2x61.由2sin2x6113，得sin2x632.(3分)3x3，22x656.2x63，即x4.(6分)(2)22k2x622k(kZ)，即3kx6k(kZ)，得函数单调增区间为3k，6k(kZ)(10分)列表：x06322356y2320102描点连线，得函数图象如图所示：(14分) 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