正弦函数和余弦函数的图像与性质.docx

正弦函数和余弦函数的图像与性质4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）（一）教学具打算直尺、投影仪（二）教学目标1理解 ， 的周期性概念，会求周期2初步驾驭用定义证明 的周期为 的一般格式（三）教学过程1设置情境自然界里存在着很多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角 的终边每转一周又会与原来的位置重合，故 ， 的值也具有周而复始的改变规律为定量描述这种周而复始的改变规律，今日，我们来学习一个新的数学概念函数的周期性（板书课题）2探究探讨（1）周期函数的定义引导学生视察下列图表及正弦曲线 0 010101010 正弦函数值当自变量增加或削减肯定的值时，函数值就重复出现联想诱导公式 ，若令 则 ，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数 ，假如存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期如 ， ，及 ， 都是正弦函数的周期留意：周期函数定义中 有两点须重视，一是 是常数且不为零；二是等式必需对定义域中的每一个值时都成立师：请同学们思索下列问题：对于函数 ， 有 能否说 是正弦函数 的周期生：不能说 是正弦函数 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式 成立，所以不符合周期函数的定义 是周期函数吗？为什么生：若是周期函数，则有非零常数 ，使 ，即 ，化简得 ， （不非零），或 （不是常数），故满意非零常数 不存在，因而 不是周期函数思索题：若 为 的周期，则对于非零整数 ， 也是 的周期（课外思索）（2）最小正周期的定义师：我们知道， ， ， ， 都是正弦函数的周期，可以证明 （ 且 ）是 的周期，其中 是 的最小正周期一般地，对于一个周期函数 ，假如在它全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期今后若涉及的周期，假如不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期依据定义， 和 的最小正周期为 （3）例题分析求下列函数的周期：（1） ， ；（2） ， ；（3） ， 分析：由周期函数的定义，即找非零常数 ，使 解：（1）因为余弦函数的周期是 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，余弦函数的值才能重复取得，函数 ， 的值也才能重复取得，从而函数 ， 的周期是 即 ，（2）令 ，那么 必需并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，就是说，变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复取得，而 所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值就能重复取得，从而函数 ， 的周期是 即（3）令 ，那么 必需并且只需 ，且函数 ， 的周期是 ，由于 ，所以自变量 只要并且至少要增加到 ，函数值才能重复取得，即 是能使等式 成立的最小正数，从而函数 ， 的周期是 而师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量 的系数有关，其规律如何？你能否求出函数 ， 及函数 ， （其中 ， ， 为常数，且 ， ）的周期？生： 同理可求得 的周期 求证：（1） 的周期为 ；（2） 的周期为 ；（3） 的周期为 分析：依据周期函数定义 证明证明：（1） 的周期为 （2） 的周期为 （3） 的周期为 3演练反馈（投影）（1）函数 的最小正周期为（ ）ABCD（2） 的周期是_（3）求 的最小正周期参考答案：（1）C；（2） （3）欲求 的周期，一般是把三角函数 化成易求周期的函数 或 的形式，然后用公式 求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数由4总结提炼（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，探讨三角函数的周期时，如未特殊声明，一般是指它的最小正周期（2）设 ， 若 为 的周期，则必有： 为无限集， ； 在 上恒成立（3）只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用如 ，就不能说它的周期为 （四）板书设计课题1周期函数定义两点留意：思索问题2最小正周期定义例1例2 的周期 的周期 练习反馈总结提炼思索题：设 是定义在 上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当 时， ，求 上的表达式参考答案：