高三数学《等差数列》知识点汇总.docx
高三数学等差数列知识点汇总高三数学教案：等差数列教学设计 本文题目： 高三数学教案：等差数列 一、预习问题： 1、等差数列的定义：一般地，假如一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母 表示。 2、等差中项：若三个数 组成等差数列，那么A叫做 与 的 ， 即 或 。 3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列; 时，数列为递减数列; 时，数列为常数列;等差数列不行能是 。 4、等差数列的通项公式： 。 5、推断正误： 1，2，3，4，5是等差数列; ( ) 1，1，2，3，4，5是等差数列; ( ) 数列6，4，2，0是公差为2的等差数列; ( ) 数列 是公差为 的等差数列; ( ) 数列 是等差数列; ( ) 若 ，则 成等差数列; ( ) 若 ，则数列 成等差数列; ( ) 等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列; ( ) 等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。 ( ) 6、思索：如何证明一个数列是等差数列。 二、实战操作： 例1、(1)求等差数列8,5,2,的第20项. (2) 是不是等差数列 中的项?假如是，是第几项? (3)已知数列 的公差 则 例2、已知数列 的通项公式为 ，其中 为常数，那么这个数列肯定是等差数列吗? 例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 求这5个数。 等差数列3.1等差数列（其次课时，等差数列的性质）教学目的：1.明确等差中项的概念.2.进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点：敏捷应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题一、复习引入1等差数列的定义；2等差数列的通项公式：（1），（2），（3）3有几种方法可以计算公差dd=d=d=二、讲解新课：问题：假如在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满意什么条件？由定义得A-=-A，即：反之，若，则A-=-A由此可可得：成等差数列。也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项。不难发觉，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。留意到，由此揣测：性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，即m+n=p+q(m,n,p,qN)（以上结论由学生证明）但通常由推不出m+n=p+q，特例：等差数列an中，与首尾“等距离”的随意两项和相等.即三、例题例1在等差数列中，若+=9,=7,求,.分析：要求一个数列的某项，通常状况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必需知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的随意两项（知道随意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式+=+=9入手（答案：=2,=32）例2等差数列中，+=12,且=80.求通项分析：要求通项，仍旧是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必需消元（项）或再构造一个等式出来。（答案：=10+3(n1)=3n13或=23(n1)=3n+5）例3在等差数列中,已知450,求及前9项和（）.提示：由双项关系式：2，2及450,得5450,易得2180.()()()()9810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列，那么，a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列。分析：将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b，再探究a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)，即a2(b+c)+b2(c+a)-c2(a+b)=0是否成立.例5已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11都有100项，问它们有多少公共项.分析：两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.（答案：25个公共项）四、练习：1.在等差数列中，已知，求首项与公差2.在等差数列中,若求3.在等差数列中若，求五、作业：课本：P114习题3.27.10，11.精析精练P117智能达标训练高三数学等差数列及其前n项和学问点总结 高三数学等差数列及其前n项和学问点总结 一、等差数列的有关概念1定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)2等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A(a+b)/2，其中A叫做a，b的等差中项二、等差数列的有关公式1通项公式：ana1(n1)d.2前n项和公式：Snna1n(n-1)/2d+d(a1+an)n/2.三、等差数列的性质1若m，n，p，qN*，且mnpq，an为等差数列，则amanapaq.2在等差数列an中，ak，a2k，a3k，a4k，仍为等差数列，公差为kd.3若an为等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍为等差数列，公差为n2d.4等差数列的增减性：d0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn有最小值d0时为递减数列，且当a10时前n项和Sn有最大值5等差数列an的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成SnAn2Bn，则Ad/2，Ba1d/2，当d0时它表示二次函数，数列an的前n项和SnAn2Bn是an成等差数列的充要条件四、解题方法1.与前n项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的随意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想(2)Snd/2*n2(a1-d/2)nAn2Bnd2A.(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不肯定是最大值，最低点的纵坐标不肯定是最小值2设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要擅长设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 高二数学下册等差数列学问点 高二数学下册等差数列学问点 数列定义： 假如一个数列从其次项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d(1) 前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 以上n均属于正整数。 说明说明： 从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0。 在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项，且为数列的平均数。 且随意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 推论公式： 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,n 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k或等差数列，等等。 基本公式： 和=(首项+末项)×项数÷2 项数=(末项-首项)÷公差+1 首项=2和÷项数-末项 末项=2和÷项数-首项 末项=首项+(项数-1)×公差 练习题： 1、数列an的通项公式是an=(nN*)，若前n项的和为10，则项数为（） A11B99C120D121 2若等差数列an的前三项为x1，x1，2x3，则这数列的通项公式为（） Aan=2n5Ban=2n3Can=2n1Dan=2n1 3、首项为24的等差数列，从第10项起起先为正数，则公差的取值范围是（） AdBd3Cd3Dd3 4、等差数列an的前n项和Sn=2n2n，那么它的通项公式是（） Aan=2n1Ban=2n1Can=4n1Dan=4n1 5、在等差数列an中，若a3a9a15a21=8，则a12等于（） A1B1C2D2 6、已知等差数列中，则前10项的和() （A）100(B)210(C)380(D)400 7、等差数列an中，已知（） A48B49C50D51 第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页
