二次函数的性质教案.docx

二次函数的性质教案二次函数的图象和性质 二次函数yax2+bx+c的图象 课时支配 2课时 从容说课 本节课在二次函数yax2和yax2+c的图象的基础上，进一步探讨ya(x-h)2和ya(x-h)2+k的图象，并探究它们之间的关系和各自的性质旨在全面驾驭全部二次函数的图象和性质的改变状况同时对二次函数的探讨，经验了从简洁到困难，从特别到一般的过程：先是从yx2起先，然后是yax2，yax2+c，最终是ya(x-h)2，ya(x-h)2+k，yax2+bx+c符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性 在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的视察、沟通、对比、概括和反思 等探究活动，使学生达到对抛物线自身特点的相识和对二次函数性质的理解并能利用它的性质解决问题 第1课时 课题 §241二次函数yax2+bx+c的图象(一) 教学目标 (一)教学学问点 1能够作出函数y=a(x-h)2和ya(x-h)2+k的图象，并能理解它与yax2的图象的关系理解a，h，k对二次函数图象的影响 2能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 (二)实力训练要求 1通过学生自己的探究活动，对二次函数性质的探讨，达到对抛物线自身特点的相识和对二次函数性质的理解 2经验探究二次函数的图象的作法和性质的过程，培育学生的探究实力 (三)情感与价值观要求 1经验视察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理实力和初步的演绎推理实力，能有条理地、清楚地阐述自己的观点 2让学生学会与人合作，并能与他人沟通思维的过程和结果 教学重点 1经验探究二次函数yax2+bx+c的图象的作法和性质的过程 2能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与yax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响 3能够正确说出ya(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 教学难点 能够作出ya(x-h)2和ya(x-h)2+k的图象，并能够理解它与yax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响 教学方法 探究比较总结法 教具打算 投影片四张 第一张：(记作§241A) 其次张：(记作§241B) 第三张：(记作§241C) 第四张：(记作§241D) 教学过程 创设问题情境、引入新课 我们已学习过两种类型的二次函数，即y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值顶点都是原点还知道yax2+c的图象是函数y=ax2的图象经过上下移动得到的，那么y=ax2的图象能否左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来探讨有关问题 新课讲解 一、比较函数y3x2与y3(X-1)2的图象的性质 投影片：(§24A) (1)完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值， 它们之间有什么关系? X-3-2-101234 3x2 3(x-1)2 (2)在下图中作出二次函数y3(x-1)2的图象你是怎样作的? (3)函数y3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (4)x取哪些值时，函数y3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y3(x-1)2的值随x值的增大而减小? 请大家先自己填表，画图象，思索每一个问题，然后相互探讨，总结 (1)其次行从左到右依次填：2712，3，0，3，12，27，48；第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3，12，27 (2)用描点法作出y3(x-1)2的图象，如上图 (3)二次函数)y3(x-1)2的图象与y=3x2的图象形态相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0) (4)当x1时，函数y3(x-1)2的值随x值的增大而增大，x1时，y3(x-1)2的值随x值的增大而减小 能否用移动的观点说明函数y=3x2与y=3(x-1)2的图象之间的关系呢? y=3(x-1)2的图象可以看成是函数)y3x2的图象整体向右平移得到的. 能像上节课那样比较它们图象的性质吗? 相同点： a.图象都中抛物线，且形态相同，开口方向相同 b.都是轴对称图形 c都有最小值，最小值都为0 d在对称轴左侧，y都随x的增大而减小在对称轴右侧，y都随x的增大而增大 不同点： a对称轴不同,y3x2的对称轴是y轴y3(x-1)2的对称轴是x1 b.它们的位置不问 c.它们的顶点坐标不同y3x2的顶点坐标为(0，0),y3(x-1)2的顶点坐标为(1，0)， 联系： 把函数y=3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数y3(x-1)2的图像 二、做一做 投影片：(§241B) 在同始终角坐标系中作出函数y3(x-1)2和y3(x-1)2+2的图象并比较它们图象的性质 图象如下 它们的图象的性质比较如下： 相同点： a图象都是抛物线，且形态相同，开口方向相同 b.都足轴对称图形，对称轴都为x1 c.在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大 不同点： a它们的顶点不同，最值也不同.y3(x-1)2的顶点坐标为(10)，最小值为0y3(x-1)2+2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2 b.它们的位置不同 联系： 把函数y=3(x-1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数y3(x-1)2+2的图象 三、总结函数y=3x2，y=3(x-1)2，y3(x-1)2+2的图象之间的关系 通过上画的探讨，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗? 可以 二次函数y3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线并且形态相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象 大家还记得y3x2与y3x2-1的图象之间的关系吗? 记得，把函数y=3x2向下平移1个平位，就得到函数y3x2-1的图象 你能系统总结一下吗? 将函数y3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数y=3x2-1的图象，向上移动1个单位，就得到函数y3x2+1的图象；将y3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数y3(x-1)2的图象：向左移动1个单位，就得到函数y=3(x+1)2的图象；由函数y3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数y3(x-1)2+2的图象 下面我们就一般形式来进行总结 投影片：(§241C) 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，ya(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象 (1)将yax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c0时，向上移动，当c0时，向下移动 (2)将函数yax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象，当h0时，向右移动，当h0时，向左移动 (3)将函数yax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数ya(x-h)2+k的图象 因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关 下面大家经过探讨之后，填写下表： y=a(x-h)2+k开口方向对称轴顶点坐标 a0 a0 四、议一议 投影片：(§2，41D) (1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (3)对于二次函数y3(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?二次函数y3(x+1)2+4呢? 在不画图象的状况下，你能回答上面的问题吗? (1)二次函数y3(x+1)2的图象与y3x2的图象形态相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0)只要将y3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到y=3(x+1)2的图象 (2)二次函数y-3(x-2)2+4的图象与y-3x2的图象形态相同，只是位置不同，将函数y-3x2的图象向右平移2个单位，就得到y=-3(x-2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到y=-3(x-2)2+4的图象y=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，4) (3)对于二次函数y=3(x+1)2和y3(x+1)2+4，它们的对称轴都是x-1，当x-1时，y的值随x值的增大而减小；当x-1时，y的值随x值的增大而增大 课堂练习 随堂练习 课时小结 本节课进一步探究了函数y=3x2与y3(x-1)2，y3(x-1)2+2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题并作了归纳总结还能利用这个结果对其他的函数图象进行探讨 课后作业 习题24 活动与探究 二次函数y=(x+2)2-1与y=(x-1)2+2的图象是由函数yx2的图象怎样移动得到的?它们之间是通过怎样移动得到的? 解：y(x+2)2-1的图象是由y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，y(x-1)2+2的图象是由y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的 y(x+2)2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到y=(x-1)2+2的图象 y(x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到y(x+2)2-1的图象 板书设计 §2.41二次函数yax2+bx+c的图象(一)一、1.比较函数y3x2与y3(x-1)2的 图象和性质(投影片§241A) 2做一做(投影片§241B) 3总结函数y3x2，y=3(x-1)2y=3(x-1)2+2的图象之间的关系(投影片§241C) 4议一议(投影片§241D) 二、课堂练习 1随堂练习 2补充练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习 在同始终角坐标系内作出函数y=-x2,y=-x2-1,y=-(x+1)2-1的图象，并探讨它们的性质与位置关系 解：图象略 它们都是抛物线，且开口方向都向下；对称轴分别为y轴y轴，直线x=-1；顶点坐标分别为(0，0)，(0，-1)，(-1，-1) y=-x2的图象向下移动1个单位得到y=-x2-1的图象；y=-x2的图象向左移动1个单位，向下移动1个单位，得到y-(x+1)2-1的图象 第2课时 课题 §242二次函数yax2+bx+c的图象(二) 教学目标 (一)教学学问点 1体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性 2能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 (二)实力训练要求 1通过解决实际问题，让学生训练把教学学问运用于实践的实力 2通过学生合作沟通来解决问题，培育学生的合作沟通实力 (三)情感与价值观要求 1经验将一些实际问题抽象为数学问题的过程，驾驭数学的基础学问和基本技能，并能解决简洁的问题 2初步相识数学与人类生活的亲密联系及对人类历史发展的作用 教学重点 运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题 教学难点 把数学问题与实际问题相联系的过程 教学方法 讲解法 教具打算 投影片三张 第一张：(记作§242A) 其次张：(记作§242B) 第三张：(记作§242C) 教学过程 创设问题情境，引入新课 上节课我们主要探讨了相关函数yax2，y=a(x-h)2，ya(x-h)+k的图象的有关性质，特殊练习了求函数的对称轴和顶点坐标我们知道学习的目的就是为了应用，那么原委有什么用处呢?本节课将学习有关二次函数的应用 新课讲解 一、1.例题 前几节课我们探讨了不同形式的二次函数的图象，形如y=ax2，yax2+c，ya(x-h)2，ya(x-h)2+k并对它们的性质进行了比较但对于二次函数的一般形式yax2+bx+c(a、b、c是常数，a0)，它是属于上面形式中的哪一种呢?还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢?下面我们一起来探讨这个问题 投影片：(§242A) 例：求二次函数yax2+bx+c的对称轴和顶点坐标 解：把yax2+bx+c的右边配方，得 yax2+bx+c =a(x2+) =a =a(x+)2+. 大家看配方以后的形式属于前面我们探讨过的哪一种形式呢? 属于ya(x-h)2+k的形式 在y=a(x-h)2+k的形式中，我们知道对称轴为xh顶点坐标为(h，k)对比一下，yax2+bx+c中的对称轴和顶点坐标是什么呢? 对称轴是x，顶点坐标是(,). 确定吗?大家再探讨一下 在ya(x-h)2+k中是x-h，而ya(x+)2+中是x+，它们的符号不同，应把ya（x+）2+.进行变形得y=a+.再比照y=a(x-h)2+k的形式得对称轴为x=-,顶点燃坐标为（-，） 这位同学回答得特别棒 至此，全部的二次函数的形式我们就都探讨过了 下面我们来探讨一些实际问题 二、有关桥梁问题 投影片：(§242B) 下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形态根据图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=00225x2+09x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称 (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少? (3)你是怎样计算的?与同伴进行沟通 分析：因为两条钢缆都是抛物线形态，且开口向上要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标肯定值之和或其中一条抛物线顶点横坐标肯定值的2倍已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为ya(x-h)2+k的形式，即顶点式 解：y=00225x2+09x+10 =00225(x2+40x+) 二00225(x2+40x+400-400+) 00225(x+20)2+1 对称轴为x=-20顶点坐标为(-20，1) (1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米 (2)两条钢缆最低点之间的距离是2×2040米 (3)是用配方法求得顶点坐标得到的，也可以干脆代入顶点坐标公式中求得 从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要仔细思索，把实际问题转化为数学问题，从而用数学学问解决实际问题 在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢?请相互沟通 解：因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是，全部的对应点的坐标满意横坐标是互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有的左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即把y不变，x换为-x代入y00225x2+09x+10中，得 y00225(-x)2+09(-x)+10 00225x2-09x+10 三、补充例题 投影片：(§242C) 如右图，一边靠校内院墙，另外三 边用50m长的篱笆，围起一个长 方形场地，设垂直院墙的边长为xm (1)写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式； (2)画出函数的图象； (3)求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少? 解：(1)垂直院墙的边长为xm，另一边长为(50-2x)m则 y=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-)2+. (2)图象略 (3)由(1)得，当x时，y最大=. 所以当边长为m时，长方形面积最大，最大面积为m2 课堂练习 1随堂练习 2补充练习 确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标 (1)y=-x2+； （2）y=x2- 解：（1）y=-x2+ =-(x2-) =-(x2-) =-(x-)2+. 开口方向向下，对称轴为x=,顶点坐标为(,). (2)y=x2- =(x2-x-30) =(x2-x+-30) =(x-)2-. 开口方向向上，对称轴是x=，顶点坐标为(,) 课时小节 本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能依据顶点式解决一些问题 课后作业 习题25 活动与探究 利用Z+Z智能教化平台(新世纪版)探讨二次函数的图象 利用Z+Z智能教化平台(新世纪版)可以探究二次函数y=ax2+bx+c的系数(a，b，c与图象改变之间的关系 先考察二次函数yax2的系数a对图象的影响 利用Z十Z智能教化平台(新世纪版)在计算机上作出二次函数yax2的图象其中系数a可以通过鼠标拖动y轴上标识为a的点而改变图1和图2是a取不同值时得到的两个图象： 板书设计 §242二次函数yax2+bx+c的图象(二) 一、1.例题(投影片§242A) 2有关桥梁问题(投影片§2.4.2B) 3补充例题(投影片§242C) 二、课堂练习 1随堂练习 2补充练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料(略) 二次函数的图象与性质 2.2二次函数的图象与性质 教学目标设计 学问目标： 1使学生驾驭用描点法画出函数yax2bxc的图象。 2使学生驾驭用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3让学生经验探究二次函数yax2bxc的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数yax2bxc的性质。 情感目标： 进一步培育数形结合方法探讨函数的性质 教学方法设计 让学生主动探究，并和同伴进行沟通，勇于发表自己的观点，从沟通中发觉新学问.沟通中发觉新学问. 教学过程 一、温故知新，导入新课 温故知新 1你能说出函数y4(x2)21图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y4(x2)21图象的开口向下，对称轴为直线x2，顶点坐标是(2，1)。 2函数y4(x2)21图象与函数y4x2的图象有什么关系? (函数y4(x2)21的图象可以看成是将函数y4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3函数y4(x2)21具有哪些性质? (当x2时，函数值y随x的增大而增大，当x2时，函数值y随x的增大而减小；当x2时，函数取得最大值，最大值y1) 提出问题，引入新课 4不画出图象，你能干脆说出函数y12x2x52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? （因为y12x2x5212(x1)22，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，2)。 5你能画出函数y12x2x52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、自主学习,合作探究 解决问题4：不画出图象，如何求出函数y12x2x52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？ （板演配方过程） 我们已经知道函数y12x2x52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 依据这些特点，可以采纳描点法作图的方法作出函数y12x2x52的图象，进而视察得到这个函数的性质。 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表； x2101234 y612 4212 2212 4612 (2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。 (3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y12x2x52的图象。 当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y随x的增大而减小； 当x1时，函数取得最大值，最大值y2 三、巩固练习 做一做 1请你根据上面的方法，画出函数y12x24x10的图象，由图象你能发觉这个函数具有哪些性质吗? 2通过配方变形，说出函数y2x28x8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 四、变式拓展 以上讲的，都是给出一个详细的二次函数，来探讨它的图象与性质。那么，对于随意一个二次函数yax2bxc(a0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? yax2bxca(x2bax)cacacb24aa(xb2a)24acb24a 当a0时，开口向上，当a0时，开口向下。 对称轴是xb2a，顶点坐标是(b2a，4acb24a) 五、课堂小结： 通过本节课的学习，你学到了什么学问？有何体会？ 六、课后作业： 1填空： (1)抛物线yx22x2的顶点坐标是_； (2)抛物线y2x22x52的开口_，对称轴是_； (3)抛物线y2x24x8的开口_，顶点坐标是_； (4)抛物线y12x22x4的对称轴是_； (5)二次函数yax24xa的最大值是3，则a_ 2画出函数y2x23x的图象，说明这个函数具有哪些性质。 3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y3x22x；(2)yx22x (3)y2x28x8(4)y12x24x3 板书设计 1、画函数yax2bxc(a0)的图象。 （列表时，应以对称轴为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。） 2、二次函数yax2bxc(a0)， 当a0时，开口向上，当a0时，开口向下。 对称轴是xb2a，顶点坐标是(b2a，4acb24a) （最值与抛物线的开口方向及顶点的纵坐标有关。） 课后反思 在本节教学中，教学仍从回顾上节人手，使学生驾驭二次函数是由如何平移得来，并娴熟驾驭二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标及有关性质。在此基础上，引导学生思索二次函数yax2bxc(a0)图像的开口方向、对称轴和顶点坐标？这样激起学生的求知欲望，能进行有目的探究活动，学生变被动为主动，学习方式发生了变更。这节课学生既动手又动脑，体验到学习学问的乐趣。 二次函数图像的性质听课反思预备铃响之前我到达了十二班，刘琼老师正在黑板上画直角坐标系，学生在预习，班里整体上处于上课的状态.首先出示了学习目标：1.知道二次函数y=x的图像是一条抛物线。2.会画二次函数y=x、y=-x的图像。3.知道y=x、y=-x的图像的性质。（看到学习目标，对自己启发颇多，虽然感觉目标不符合课程标准的要求，但这正是学生通过这节课学习所须要驾驭的）接下来让学生依据学习目标来说一说这节课重点在于哪里（这个是须要思索），尽管学生可能说的不一样，但是至少抓住了一个让学生思索的机会（现在太多学生不动脑）。接下来回顾旧知，回顾一次函数和反比例函数的图像及其性质，并对一次函数图像性质进行了动态演示，这个图很熟识，是之前学习反比例函数图像时用动态图演示了一次函数的图像性质，感觉刘老师很专心（把这张图翻出来了），因为本节也是探讨函数图像，应当重点对学过的函数图像进行回顾，（自己的复习部分还回顾了所学的函数，突然感觉是多余的，因为上节课已经回顾过了，并且本节重点在于探讨二次函数图像，应当对我们学过的函数图像性质进行重点回顾）.学生主动在黑板上演示怎样画二次函数y=-x的图像，下面大部分学生都在主动主动的画，宁静的进行着.投影了一个学生所画的图像，学生发觉了有一个错误之处，刘老师称该学生给大家做了一个示范.后面的议一议结束之后（通过议一议中的五个问题，让学生对二次函数y=x的图像有了肯定的了解，）让学生试着总结：分别从二次函数y=x的图像形态、顶点、最值、对称性、增减性几个方面进行总结。而不是干脆呈现这几个问题，这样的效果会更好。第25页 共25页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页第 25 页 共 25 页