高一数学《集合的概念》学案.docx

高一数学集合的概念学案高一数学集合的概念46课题：1.1集合集合的概念（2）教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简洁的集合授课类型：新授课课时支配：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内解除0的集记作N*或N+，（3）整数集：全体整数的集合记作Z,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,（5）实数集：全体实数的集合记作R，3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：假如a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于：假如a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、集合中元素的特性（1）确定性：根据明确的推断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有肯定的依次（通常用正常的依次写出）5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q（2）“”的开口方向，不能把aA颠倒过来写二、讲解新课：（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程的全部解组成的集合，可以表示为-1，1注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的全部整数组成的集合：51，52，53，100全部正奇数组成的集合：1，3，5，7，（2）a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：xA|P（x）含义：在集合A中满意条件P（x）的x的集合例如，不等式的解集可以表示为：或全部直角三角形的集合可以表示为：注：（1）在不致混淆的状况下，可以省去竖线及左边部分如：直角三角形；大于104的实数（2）错误表示法：实数集；全体实数3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不须要一一列举出来，常用描述法如：集合；集合1000以内的质数例集合与集合是同一个集合吗？答：不是因为集合是抛物线上全部的点构成的集合，集合=是函数的全部函数值构成的数集（三）有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、无限集：含有无限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合记作，如：三、练习题：1、用描述法表示下列集合1，4，7，10，13-2，-4，-6，-8，-102、用列举法表示下列集合xN|x是15的约数1，3，5，15（x，y）|x1，2，y1，2（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）注：防止把（1，2）写成1，2或x=1，y=2-1，1（0，8）（2，5），（4，2）（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）3、关于x的方程axb=0，当a,b满意条件_时，解集是有限集；当a,b满意条件_时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1)1,5,25,125,625=;(2)0,±,±,±,±,=四、小结：本节课学习了以下内容：1集合的有关概念：有限集、无限集、空集2集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：高一数学集合的概念教学设计课题：1.1集合集合的概念 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示 一些简洁的集合 授课类型：新授课 课时支配：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析：1集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从起先学习数学就离不开对逻辑学问的驾驭和运用，基本的逻辑学问在日常生活、学习、工作中，也是相识问题、探讨问题不行缺少的工具这些可以帮助学生相识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步学问与简易逻辑学问支配在中学数学的最起先，是因为在中学数学中，这些学问与其他内容有着亲密联系，它们是学习、驾驭和运用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习爱好，使学生相识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在起先接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步相识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明 教学过程： 一、复习引入： 1简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数； 2教材中的章头引言； 3集合论的创始人康托尔（德国数学家）（见附录）； 4“物以类聚”，“人以群分”； 5教材中例子（P4） 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N， （2）正整数集：非负整数集内解除0的集记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合记作Z, （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q, （5）实数集：全体实数的集合记作R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括 数0 （2）非负整数集内解除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它 数集内解除0的集，也是这样表示，例如，整数集内解除0 的集，表示成Z* 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：假如a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）不属于：假如a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、集合中元素的特性 （1）确定性：根据明确的推断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有肯定的依次（通常用正常的依次写出） 5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q “”的开口方向，不能把aA颠倒过来写 三、练习题： 1、教材P5练习1、2 2、下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）全部很大的实数（不确定） （2）好心的人（不确定） （3）1，2，2，3，4，5（有重复） 3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2_ 4、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（A） （A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素 5、设集合G中的元素是全部形如ab（aZ,bZ）的数，求证： (1)当xN时,xG; (2)若xG，yG，则xyG，而不肯定属于集合G 证明(1)：在ab（aZ,bZ）中，令a=xN,b=0, 则x=x0*=abG,即xG 证明(2)：xG，yG， x=ab（aZ,bZ）,y=cd（cZ,dZ） x+y=(ab)+(cd)=(a+c)+(b+d) aZ,bZ,cZ,dZ (a+c)Z,(b+d)Z x+y=(a+c)+(b+d)G， 又 且不肯定都是整数， 不肯定属于集合G 四、小结：本节课学习了以下内容： 1集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于） 2集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 3常用数集的定义及记法 五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记： 八、附录：康托尔简介 发疯了的数学家康托尔（GeorgCantor，18451918）是德国数学家，集合论的创始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷 康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世高校，翌年入柏林高校，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期1867年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈雷高校通过讲师资格考试，后在该高校任讲师，1872年任副教授，1879年任教授 由于探讨无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，很多大数学家生怕陷进去而实行退避三舍的看法在18741876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神奇的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，胜利地证明白一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了很多惊人的结论 康托尔的创建性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力最终摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院 真金不怕火炼，康托尔的思想最终大放光彩1897年实行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，宏大的哲学家、数学家罗素赞扬康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍旧神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到劝慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世 集合论是现代数学的基础，康托尔在探讨函数论时产生了探究无穷集和超穷数的爱好康托尔确定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的探讨，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础 康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而解决17世纪牛顿（I.Newton，16421727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，16461716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪起先，柯西（A.L.Cauchy，17891857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，18151897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，18231891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连绵不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林高校的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，18541912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个好玩的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中复原过来了 德国数学家魏尔（C.H.Her-mannWey1，18851955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯克莱因（F.Klein，18491925）不赞成集合论的思想数学家HA施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严峻的愁闷症，极度懊丧，神态担心，精神病时时发作，不得不常常住到精神病院的疗养所去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否牢靠他恳求哈勒高校当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况渐渐恶化，1918年，他在哈勒高校附属精神病院去世 流星埃伽罗华（E.Galois，18111832），法国数学家伽罗华17岁时，就着手探讨数学中最困难的问题之一一般次方程求解问题很多数学家为之耗去很多精力，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的探讨才算迈出重要的一步伽罗华在前人探讨成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔探讨的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支群论，数学发展史上作出了重大贡献1829年，他把关于群论探讨所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院托付当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾安排对伽罗华的探讨成果在科学院实行一次全面的看法听取会然而，其次周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的探讨成果比较具体地写成论文交上去了以参与科学院的数学大奖评比，论文寄给当时科学院终身秘书JB傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发觉伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家SK泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最终他还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，托付他的挚友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类1832年5月31日离开了人间死因参与无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的数学杂志上高一数学集合有关概念学问点总结 高一数学集合有关概念学问点总结 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 u留意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 1）列举法：a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-32 3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 留意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2“相等”关系：A=B(55，且55，则5=5) 实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同则两集合相等” 即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:假如AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 假如AB,BC,那么AC 假如AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 u有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集定义由全部属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB=x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中全部不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） SA记作，即CSA=韦 恩 图 示 SA性 质AA=A A= AB=BA ABA ABBAA=A A=A AB=BA AB ABB(CuA)(CuB) =Cu(AB) (CuA)(CuB) =Cu(AB) A(CuA)=U A(CuA)= 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是（） A某班全部高个子的学生B闻名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c的真子集共有个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是. 4.设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40人，化学试验做得正确得有31人， 两种试验都做错得有4人，则这两种试验都做对的有人。 6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=. 7.已知集合A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2-mx+m2-19=0,若BC，AC=，求m的值 高一数学下册集合与函数概念学问点汇总 高一数学下册集合与函数概念学问点汇总 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性.第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是同等的，没有先后依次，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列依次是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋大西洋印度洋北冰洋 1.用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员B=12345 2.集合的表示方法：列举法与描述法。 留意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是x?R|x-32或x|x-32 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 留意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA 2.“相等”关系(55，且55，则5=5) 实例：设A=x|x2-1=0B=-11“元素相同” 结论：对于两个集合A与B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A 真子集:假如A?B且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 假如A?BB?C那么A?C 假如A?B同时B?A那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义：一般地，由全部属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集. 记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB. 2、并集的定义：一般地，由全部属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做AB的并集。记作：AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB. 3、交集与并集的性质：AA=AA=AB=BA，AA=A A=AAB=BA. 4、全集与补集 (1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中全部不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集) 记作：CSA即CSA=x?x?S且x?A (2)全集：假如集合S含有我们所要探讨的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 (3)性质：CU(CUA)=A(CUA)A=(CUA)A=U 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页