高一数学教案：《幂函数》教学设计.docx

高一数学教案：幂函数教学设计高一数学幂函数48 其次十七课时幂函数（1）【学习导航】学问网络学习要求1了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，依据上述幂函数的图象，了解幂函数的改变状况和性质；2了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3进一步体会数形结合的思想自学评价1幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；留意：幂函数与指数函数的区分2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；（2）当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减；（3）当时，幂函数是偶函数；当时，幂函数是奇函数【精典范例】例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；【解】（1）此函数的定义域为R，此函数为奇函数（2）此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（3）此函数的定义域为此函数为偶函数（4）此函数的定义域为此函数为偶函数（5）此函数的定义域为此函数的定义域不关于原点对称此函数为非奇非偶函数（6）此函数的定义域为此函数既是奇函数又是偶函数点评:娴熟进行分数指数幂与根式的互化，是探讨幂函数性质的基础例2：比较大小：（1）（2）（3）（4）分析：抓住各数的形式特点，联想相应函数的性质，是比较大小的基本思路【解】（1）在上是增函数，（2）在上是增函数，（3）在上是减函数，；是增函数，；综上，（4），点评:若两个数是同一个函数的两个函数值，则可用函数的单调性比较大小；若两个数不是同一个函数的函数值，则可利用0，1等数架设桥梁来比较大小 追踪训练一1在函数（1）（2）（3），（4）中，是幂函数序号为（1）2.已知幂函数的图象过，试求出这个函数的解析式；答案：3求函数的定义域答案：【选修延长】一、幂函数图象的运用例3：已知，求的取值范围【解】在同一坐标系中作出幂函数和的图象，可得的取值范围为点评:数形结合的运用是解决问题的关键二、幂函数单调性的证明例4:证明幂函数在上是增函数分析：干脆依据函数单调性的定义来证明【解】证：设，则即此函数在上是增函数 追踪训练二1下列函数中，在区间上是单调增函数的是（B）ABCD2函数的值域是（D）ABCD3若，则的取值范围是（C）ABCD4证明：函数在上是减函数证：略 高一数学幂函数49 其次十八课时幂函数（2）【学习导航】学问网络学习要求1了解幂函数的概念，能画出一些简洁幂函数图象并了解它们的图形特征；2驾驭推断某些简洁函数奇偶性的方法；3培育学生推断推理的实力，加强数形结合思想，化归转化实力的培育自学评价1幂函数的性质：（1）都过点；（2）任何幂函数都不过第四象限；（3）当时，幂函数的图象过原点2幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、其次象限关于轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于原点对称【精典范例】例1：探讨下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）（2）（3）（4）（5）分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式【解】（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增（2）定义域，值域，偶函数，在上单调递增，在上单调递减（3）定义域，值域，偶函数，非奇非偶函数，在上单调递增（4）定义域，值域，奇函数，在上单调递减，在上单调递减（5）定义域，值域，非奇非偶函数，在上单调递减点评:娴熟进行分数指数幂与根式的互化，是探讨幂函数性质的基础例2：将下列各组数用小于号从小到大排列：（1）（2）（3）分析：（1）底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，依据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了（2）视察发觉，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数的单调性比较大小【解】（1）（2）（3）点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找寻一个恰当的数作为桥梁来比较大小例3：已知的图象如图所示：则，的大小关系是：分析：对于幂函数在第一象限的图象的大致状况可以用口诀来记忆：正抛物负双曲，大竖直小横铺即【解】有幂函数的性质，当自变量时，幂指数大的函数值比较大，故有点评:幂函数在第一象限内的图象均过点，在区间上，值越小，图象越靠近轴 追踪训练一1.图中曲线是幂函数在第一相限的图象，已知取，四个值，则相应与曲线、的值依次为（B），2.给出下列四个函数：；，其中定义域和值域相同的是（2）（3）（写出全部满意条件的函数的序号）3.比较下列几组数大小（1），；（2），解：（1）幂函数在上单调递增，且，；（2），幂函数在上单调递减，且，即【选修延长】一、幂函数性质的运用例4:已知，求的取值范围分析：数形给合思想的运用由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解【解】因为在和上为减函数，时，；时，原不等式可以化为（1）（2）（3）（1）无解；（2），（3）所以所求的取值范围为点评:利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式二、幂函数图象的性质特征例5：已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值分析：幂函数图象与轴、轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数结合，便可逐步确定的值【解】幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，；，又函数图象关于原点对称，是奇数，或点评:驾驭幂函数图象的特征，是顺当解题的关键 思维点拔：（1）比较同指数幂的大小，利用幂函数的单调性；（2）依据幂函数的图象，推断指数的大小，或依据幂函数的指数的大小，描述其图象的特征；（3）推断幂函数的奇偶性，宜先将分数指数化为根式的形式追踪训练二1设满意，下列不等式中正确的是（C）ABCD2函数在其次象限内单调递增，则的最大负整数是3求函数的值域答案： 高一数学教案：函数教学设计 高一数学教案：函数教学设计 教学目标 1理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域 （1）了解函数是特别的映射，是非空数集A到非空数集B的映射能理解函数是由定义域，值域，对应法则三要素构成的整体 （2）能正确相识和运用函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法了解每种方法的优点 （3）能正确运用“区间”及相关符号，能正确求解各类函数的定义域 2通过函数概念的学习，使学生在符号表示，运算等方面的实力有所提高 学过什么函数? (要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子) 学生举出如 等，待学生说完定义后老师打出投影片，给出定义之后老师也举一个例子，问学生 提问1 是函数吗? (由学生探讨， 发表各自的看法，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做 ) 老师由此指出我们争辩的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今日探讨函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违反的基础上从更高的观点，将它完善与深化 二、新课 现在请同学们打开书翻到第50 页，从这起先阅读有关的内容，再回答我的问题(约2-3分钟或起先提问) 提问2新的函数的定义是什么?能否用最简洁的语言来概括一下 学生的回答往往是把书上的定义念一遍，老师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发觉定义的本质 (板书)22函数 一、函数的概念 高一数学反函数、幂函数学问点 高一数学反函数、幂函数学问点 1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=(y)假如对于y在C中的任何一个值，通过式子x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)留意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)的定义域是-1，+，值域是0，+），它的反函数定义域为0，+），值域是-1，+)。2反函数存在的条件根据函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，假如值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数例如：函数y=x2,xR，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数而y=x2,x1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数3函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上4反函数的几个简洁命题（1）一个奇函数y=f(x)假如存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)肯定是奇函数（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数 定义：形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数；假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数；假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性：首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数；解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数；解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数；假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数；假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的随意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自状况.可以看到：(1)全部的图形都通过(1，1)这点。(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。(6)明显幂函数无界。 1幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。2幂函数的图像和性质比较困难，高考只要求驾驭指数为1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。3了解其它幂函数的图像和性质，主要有：当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在x=1的右侧指数越大越远离x轴。幂函数的定义域可以依据幂的意义去求出：要么是x0，要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像；后者肯定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。留意第四象限肯定不会有图像。定义域关于原点对称的幂函数肯定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。4幂函数奇偶性的一般规律：指数是偶数的幂函数是偶函数。指数是奇数的幂函数是奇函数。指数是分母为偶数的分数时，定义域x0或x0，没有奇偶性。指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页