2020-2020学年江苏省无锡市高二上学期期末考试数学试题—附答案.docx
2020-2020学年江苏省无锡市高二上学期期末考试数学试题附答案2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设，则下列各不等式肯定成立的是 ( ) A B C D 2已知向量(0，1，1)，(1，2，1)若向量+与向量(m，2，n)平行，则实数n的值是（ ） A6 B6 C4 D4 3.已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行安排（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差安排，在本题中表示等差安排）”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ） A一鹿、三分鹿之一 B一鹿 C三分鹿之二 D三分鹿之一 5.已知等比数列为单调递增数列，设其前n项和为，若，则的值为 （ ） A16 B32 C8 D 6.下列不等式或命题肯定成立的是( ) lg(x2+)lg x(x>0); sin x+2(xk,kZ)； x2+12|x|(xR); (xR)最小值为2. A. B. C. D. 7 已知关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 设为数列的前项和,满意，则 （） A192 B96 C93 D189 9.若正数a、b满意，设，则y的最大值是（ ） A.12 B. -12 C. 16 D. -16 10 正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则的值为（ ） A-2 B4 C2 D1 11已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得，则该离心率e的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12当n为正整数时，定义函数表示n的最大奇因数。如， ，则 （ ） A. 342 B. 345 C. 341 D. 346 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13命题p：“，都有”的否定： . 14不等式的解集是_ 15.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么 双曲线的渐近线方程为 16已知，那么的最小值为_ _ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 已知等差数列的前n项和为，且， . （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和Tn. 18.（本题满分12分） 已知，函数. （1）若对恒成立，求实数a的取值范围。（2）当a=1时，解不等式. 19.（本题满分12分） 在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补. 20.（本题满分12分） 某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的修理费为：第一年0.2万元，其次年0.4万元，第三年0.6万元，依等差数列逐年递增 设运用年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式； 求这种汽车运用多少年报废最合算(即该车运用多少年平均费用最少) 21.（本题满分12分） 如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O. 如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQOB. (1)证明：OD平面PAQ； (2)若BE=2AE，求二面角CBQA的余弦值。 22. （本小题满分12分） 已知椭圆C1：，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若 ，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F (1)求C1的标准方程； (2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得SOPQ=SOMN？假如存在，求出直线的方程；假如不存在，请说明理由 2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题 一、 选择题 B D A B A C C D A D A A 二、 填空题 13.使得 14. 15. 16. 10 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分） 已知等差数列的前n项和为，且， . （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和Tn. 17.（1）在等差数列中， ， 解得,.3分 综上所述，数列的通项公式是.5分 （2）由(1)知：，又因为 ，.7分 .10分 综上所述，数列的前n项和是.10分 18.（本题满分12分） 已知，函数. （1）若对恒成立，求实数a的取值范围。 （2）当a=1时，解不等式. 18.(1)f(x)2x对x(0,2)恒成立， a+2x对x(0,2)恒成立，.2分 x>0+2x2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，.4分 a2.6分 (2)当a=1时，f(x)=1，f(x)2x，12x， 若x>0，则12x可化为：2x2x+10，所以x；.8分 若x<0，则12x可化为：2x2x10，解得：x1或x， x<0，x，.10分 由可得12x的解集为：(, .12分 19.（本题满分12分） 在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点到点的距离减去M到直线的距离等于1. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补. 19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x>0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=1的距离等于1， 所以动点M到直线x=2的距离与它到点F(2,0)的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x. .4分 (2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2). 联立,得k2x2+(4k28)x+4k2=0,(k0). 6分 >0，, x1x2=48分 直线FA与直线FB的斜率之和= = = 因为x1x2=4直线FA与直线FB的斜率之和为0， 11分 直线FA与直线FB的倾斜角互补。12分 20.（本题满分12分） 依题意f(n)144(02040602n)09n2分 14401n(n1)09n 01n2n144，nN*5分(没有定义域扣1分) 设该车的年平均费用为S万元，则有 Sf(n)(01n2n144)n14417分 n是正整数，故n144124134，10分 当且仅当n(144)，即n12时，等号成立11分 故汽车运用12年报废为宜12分 21.（本题满分12分） (1)解法一(几何法) 证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF; PFOB， AQOB,PFAQ， P、F. A. Q四点共面， 又由图1可知OBOO1， 平面ADO1O平面BCO1O， 且平面ADO1O平面BCO1O=OO1， OB平面ADO1O， PF平面ADO1O， 又OD平面ADO1O， PFOD. . 2分 在直角梯形ADO1O中,.,OF=O1D,AOF=OO1D,AOFOO1D,FAO=DOO1， FAO+AOD=DOO1+AOD=90， AFOD. . 4分 AFPF=F，且AF平面PAQ，PF平面PAQ， OD平面PAQ. . 6分 解法二(向量法) 由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m， 则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0). 点P为BC中点,P(0,3)， =(3,0,6), =(0,m,0) =(6,m,3)，. 2分 ·=0, ·=0 , 且与不共线， .4分 OD平面PAQ. . 6分 (2)BE=2AE,AQOB,AQ=OB=3， 则Q(6,3,0), =(6,3,0), =(0,3,6). 设平面CBQ的法向量为 =(x,y,z)， 令z=1,则y=2,x=1,则=(1,2,1)，. 8分 又明显,平面ABQ的法向量为=(0,0,1)，. 10分 设二面角CBQA的平面角为，由图可知，为锐角， 则cos=. 12分 22（本题满分12分） (1) 依题意可知，即 由右顶点为B(2,0)，得a=2，解得b2=3， 所以C1的标准方程为. 3分 (2) 依题意可知C2的方程为y2=4x，.4分 假设存在符合题意的直线， 设直线方程为x=ky1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)， 联立方程组得(3k2+4)y26ky9=0， 由韦达定理得y1+y2=，y1y2=， 则|y1y2|=，.6分 （写出PQ长度也可以） 联立方程组，得y2+4ky4=0， 由韦达定理得y3+y4=4k，y3y4=4， 所以|y3y4|=，. 8分 （写出MN长度也可以） 若SOPQ=SOMN，则PQ=2MN，. 10分 则|y1y2|=|y3y4|，即=，解得k=， 所以存在符合题意的直线方程为x+y+1=0或xy+1=0. 12分
