2.4 《二次三项式的因式分解》例题精讲与同步练习（北师大版九年级上）doc--初中数学 .doc

http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解一.本周教学内容：二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用学习目标1.熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。2.学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。3.通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。4.通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。二.重点、难点：1.教学重点：应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。2.教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。【典型例题】【典型例题】例 1.分解因式xx26432 312xx24322xxyyxx2525()xx221分析分析：前四个均为二次三项式axbxc a20()或二元二次三项式AxBxyCy22的因式分解，直接用公式进行分解。axbxca xxxx212()()其中xx12，为方程axbxca200()的两根。AxBxyCyA xxxx2212()()，其 中xx12，为 关 于x的 方 程AxBxyCyA2200()的两根。http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。解：解：令xxxx2126403535，则，xxxx2643535()()解法 1：令32 3102xx，则xx123332 313333333322xxxxx()()()解法 2：32 3132331322xxxx()323333333222()()xxx解法 3：33 3131312xxxx()()333333332()()()xxx令243022xxyy，解这个关于 x 的方程得：xyxy1221022102 ，24322102210222xxyyxyxy ()()2210221022210102()()()()xy xyxyy xyy54125251007502()()xx2525不能因式分解，在实数范围。()()()xxxxxx2222111令xx210140，无实根。http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数xx21在实数范围内不能分解因式。令xxxx21210152152 ，则，xxxxxx21152152152152 ()()()()()()()()xxxxxx22211152152点拨点拨：中三种方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意结果写成幂的形式。二元时选其中一元为主元，另一元为已知数，即可。注意最终结果的简洁形式，中都要考虑二次三项式axbxc a20()可在实数范围内因式分解的条件是：bac240，要综合应用，并注意因式分解必须彻底。例 2.分解因式：xxyyxy22276分析分析：形如AxBxyCyDxEyF22的多项式，叫关于 x，y 的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：双十字相乘法，待定系数法，公式法。解：解：解法 1：xxyyxy22276()()xyxy223解法 2：设xxyyxyxyxyxy22276276()()()()()()xym xynxxyymn xmn ymn22222比较对应项系数mnmnmnmn 127623解得xxyyxyxyxy22276223()()解法 3：整理为关于 x 的二次三项式http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数xxyyxyxyxyy22222761276()令xyxyy2212760()，则xyyyyyyyyy()()()()114276219302521352222xyxy12223，xxyyxyxyxy22276223()()()()xyxy223例 3.黄岗百货商店服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利40 元，为迎接“六一”，商场决定降价，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价 4 元，那么每天平均可多售 8 件，要想每天平均在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？分析：分析：经济类问题应用。要切实理解减少库存是本题需要。解：设每件童装应降价 x 元，根据题意，()()402021200 xxxx2302000解得：xx121020，因要减少库存，x 20，答：每件童装应降价 20 元。例 4.某中学的校办工厂的年产值 1998 年是 50 万元，年年增加，到 2000 年达 60.5 万元。问（1）平均每年的年产值增长率是多少？（2）三年总产值多少？分析：分析：储蓄中复利计本利和与生产值增长率问题。假设年利率为 x，本金 a，则 n 年后本利和为axn()1，增长率亦如此。解解：（1）设每年平均增长率 x，则 1999 年产值50 1()x万元，2000 年产值50 12()x万元，由题意：50 16052().x().1121x解得：xx120121.，（不合题意，舍去）http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数答：平均每年增长率为 10%。（2）5050 110%)50 110%)16552(.()万元答：1998 至 2000 年这三年总产值为 165.5 万元。点拨：点拨：注意舍去不合题意的根，别忽略（2）的计算与做答。例 5.两个连续偶数积为 288，求这两个数。分析：分析：两个连续偶数差 2，可设 x，()()xx22或。解：解：设这两个偶数分别为 x，x+2，根据题意，x x()2288解得：xx121618，xx 216218218216或答：这两个连续偶数是 16，18 或18，16。点拨：点拨：如果两个连续奇数也可这样设，但更好的设法是：xx11与，就有()()xxx112882892，x 17更简单。例 6.一个矩形的硬纸片，它的长比宽的 2 倍少 4 厘米，在它的四个角上各剪去一个边长为 2 厘米的正方形，然后折成一个无底的小盒子，如果这个小盒的体积为 484 立方厘米，求原来矩形纸片的长和宽。分析分析：设原矩形宽为 x 厘米，那么长()24x 厘米，在四个角各剪去一个边长为 2 厘米的正方形折成无盖小盒，则小盒底面宽为()x 4厘米，长为()28x 厘米，高为 2 厘米。解：解：设原矩形纸片的宽为 x 厘米，则长为()24x 厘米，根据题意列方程，得：2 284484()()xx()x 41212x 411（负值舍去）x 15http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数24215426x 答：原矩形纸片的长为 26 厘米，宽为 15 厘米。点拨：列一元二次方程可解决体面积有关的应用题，注意舍根。例 7.一个直角三角形，斜边4 5cm，两条直角边长相差4cm，求这个直角三角形的两条直角边的长。分析：在 Rt中，三边 a，b，c 满足abcC22290()，这是构造方程的相等关系。解：解：设一条直角边长为 x cm，则另一条边长为()xcm 4。根据题意列方程xx22244 5()()解得xx1284，（不合题意，舍去）x 4844。答：两条直角边长分别是 8cm 和 4cm。点拨点拨：很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数化”。例 8.用 100cm 的金属丝，作成矩形的框子，使面积分别为（1）500cm2；（2）625cm2；（3）800cm2。是否办得到，求出它的长和宽（精确到 mm）。分析：分析：可列方程组解决面积问题。解：解：设矩形长为 x(cm)，宽为 y(cm)，则（1）22100500 xyxy由xyxyxy50500，知，为方程zz2505000的两根。50415005000505002255 52552242).zxzcmyzcm12362138.().()答：面积为 500cm2时，长约是 36.2cm，宽约是 13.8cm。（2）22100625xyxy易知 x，y 是方程zz2506250的两根，http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数()zzz25025212，xzyzxy12252525答：面积为 625cm2时，长是 25cm，宽也是 25cm，围成边长 25cm 的正方形。（3）22100800 xyxyx，y 为方程zz2508000的两根，()504180070002 无实根。答：面积 800cm2，周长 100cm 的矩形不存在。点拨点拨：解题后，思考三小题：用 100cm 长的铁丝围成 500cm2的矩形做成了；再围大点，面积 625cm2，围成了正方形；再大点，面积 800cm2，围不成。长度有限的铁丝怎能围出要多大，有多大的矩形呢！当正方形时面积达到最大值。总结扩展（1）用 公 式 法 将 二 次 三 项 式axbxc2因 式 分 解 的 步 骤 是 先 求 出 方 程axbxca200()的两个根，再将axbxca xxxx212写成()()形式。（2）二次三项式axbxc2因式分解的条件是：当bac240，二次三项式axbxc2在实数范围内可以分解；bac240时，二次三项式axbxc2在实数范围内不可以分解。（3）联系所学知识总结出遇见二次三项式因式分解的步骤：首先考虑能否提取公因式；其次考虑能否选用十字相乘法；最后考虑公式法。（4）通过二次三项式因式分解的学习，提高分析问题、解决问题的能力；通过结论探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。（5）注意：在进行类似28522xxyy分解因式时，千万不要漏掉字母 y；因式分解一定进行到不能再分解为止；分解时注意二次三项式axbxc2因式分解的条件。（6）“一元二次方程的应用”是“一元一次方程的应用”的继续和发展。由于用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的。所以，通过学习大家要认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性。（7）列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，判断根是否适合题意，作出正确的答案。列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数题存在。（8）善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程。由此培养学生用数学的意识，渗透转化与方程的思想方法。（9）进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。【模拟试题【模拟试题】（答题时间：30 分钟）一、选择题1.下列多项式不能在实数范围内分解的是A.x23B.xx21C.xx21D.xx2312.多项式23422xxyy实数范围内分解如下A.()()xyxy34143414B.234123414()()xyxy C.234143414()()xyxy D.()()xyxy 341434143.两个连续正整数的和的平方比它们的平方和大 112，则这两个正整数是A.5，6B.7，8C.8，9D.6，74.某印刷厂一月印 50 万册，二，三月共印 132 万册，问二、三月平均每月增长的百分数是A.20%B.165C.10%D.15%5.某工厂计划在长 24 米，宽 20 米的空地中间划出一块 32 平方米的长方形建一住房，并且四周剩余地一样宽，那么这宽度应是A.14 米B.8 米C.14 米或 8 米D.以上都不对二、填空题6.因式分解3222mmnn4452aahttp:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数xxyy222 23xxyyxy2222mnn222 227.一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大 3，则这个两位数是_。8.某药品经两次降价，从原来每箱 60 元降为每箱 48.6 元，平均每次降价率为_。9.有两个数不等，和 17，积比小点数的平方大 30，用方程求这两数，设_，根据题意，列方程得_。10.一矩形面积 132cm2，周长 46cm，则矩形长是_，宽是_。11.连续两个正奇数的平方和等于 202，这两个奇数中较小的是_。三、解答题：12.已知二次三项式9622xmxm()是一个完全平方式，求 m 的值。13.面积为 150m2的矩形鸡场，长边靠墙（墙长 18m），另三边用竹篱笆围成，若篱笆长35m，求鸡场的长和宽。14.一批上衣原来每件 500 元，第一次降价，销售甚慢，第二次大幅降价的百分率是第一次的 2 倍，结果以每件 240 元价格迅速售出，求每次降价的百分率。15.在长为 a 的线段 AB 上有一点 C，且 AC 是 AB、BC 的比例中项，求线段 AC 的长。http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数【试题答案】【试题答案】一、选择题1.C2.B3.B4.A5.B二、填空题6.()()mnmn32()()216 216aa ()()xyyxyy2525()()xyxy12()()mnmn227.25 或 368.10%9.小数为 x，()17302x xx10.12cm，11cm11.9三、解答题：12.解：，abmcm 962()()()mmmm64922410822 原二次三项式是完全平方式 mmmm212241080618，13.解：设篱笆长为 x cm，根据题意，xxxx12351503530002()解得：xmxm121520()()，检验：xx1215182018，符合要求；，鸡场长超过墙长是不可能的，x220舍去。又1235123515101()()()xmhttp:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数http:/http:/ 永久免费在线组卷永久免费在线组卷 课件教案下载课件教案下载 无需无需注册和点数注册和点数答：鸡场长为 15m，宽为 10m。14.设第一次降价的百分率为 x，则第二次降价的百分率为 2x，依题意500 112240()()xx即50751302xxxx121520%1310，（不合题意，舍去）又2220%40%x 答：第一次降价 20%，第二次降价 40%。15.解：由题意，ACABBCACxBCax2，设，则xaaxa20()()xaxa220 xaaaaaa224252152（舍负）xa512答：线段 AC 长为512a。【励志故事】【励志故事】骆驼的无奈骆驼的无奈在动物园里的小骆驼问妈妈：“妈妈妈妈，为什么我们的睫毛那么的长？”骆驼妈妈说：“当风沙来的时候，长长的睫毛可以让我们在风暴中都能看得到方向。”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的背那么驼，丑死了！”骆驼妈妈说：“这个叫驼峰，可以帮我们储存大量的水和养分，是我们能在沙漠里忍耐十几天的无水无食的条件。”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的脚掌那么厚？”骆驼妈妈说：“那可以让我们重重的身子不至于陷在软软的沙子里，便于长途跋涉啊。”小骆驼高兴坏了：“哗，原来我们这么有用啊！可是妈妈，为什么我们还在动物园里，不去沙漠远足呢？”天生我才必有用，可惜现在没人用。一个好的心态+一本成功的教材+一个无限的舞台=成功。每人的潜能是无限的，关键是要找到一个能充分发挥潜能的舞台。