2010高考数学考点预测14解三角形doc--高中数学 .doc
http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 高考数学考点预测：解三角形一、考点介绍解三角形是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度1正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2正弦定理和余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题二、高考真题1（20082008 年高考山东卷年高考山东卷 1515）已知abc，为ABC的三个内角ABC，的对边，向量(31)，m，(cossin)AA，n若mn，且coscossinaBbAcC，则角B 解析解析mn3cossin0AA3A，由正弦定理得：sincossincossinsinABBACC，2sincossincossin()sinsinABBAABCC2C6B答案答案62（2007 年年天津文天津文 17）在ABC中，已知2AC，3BC，4cos5A （）求sinB的值；（）求sin 26B的值解析解析（）在ABC中，2243sin1 cos155AA，由正弦定理，sinsinBCACAB 所以232sinsin355ACBABC（）解：因为4cos5A ，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是22221cos1 sin155BB，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22117cos22cos121525BB ，2214 21sin22sincos25515BBBsin 2sin2coscos2 sin666BBB4 21317125225212 717503（2008 年高考重庆卷年高考重庆卷 17）设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为,a b c，且60A，3cb，求：（）ac的值；（）cotB+cot C 的值.解析解析（）由余弦定理得2222 cosabcbA2221117()23329ccc cc 故73ac（）解法一：cotcotBCcossincossinsinsinBCCBBCsin()sin,sinsinsinsinBCABCBC由正弦定理和（）的结论得227sin121414 391sinsinsin933 33cAaBCA bcc c，故14 3cotcot9BC解法二：由余弦定理及（）的结论有22222271()93cos2723cccacbBacc c52 7故2253sin1 cos1282 7BB同理可得http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22222271199cos2712 7233cccabcCabcc 213 3sin1 cos1282 7CC从而coscos5114 3cotcot33sinsin399BCBCBC4（2008 年高考辽宁卷年高考辽宁卷 17）在ABC中，内角ABC，对边的边长分别是abc，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC的面积解析解析（）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab 联立方程组2244ababab，解得2a，2b（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，当cos0A时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得2 33a，4 33b 所以ABC的面积12 3sin23SabC5（2008 年高考全国一年高考全国一 17）设ABC的内角ABC，所对的边长分别为abc，且3coscos5aBbAc（）求tancotAB的值；（）求tan()AB的最大值http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解析解析（）在ABC中，由正弦定理及3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB即sincos4cossinABAB，则tancot4AB；（）由tancot4AB 得tan4tan0AB2tantan3tan3tan()1tantan14tancot4tanABBABABBBB34当且仅当14tancot,tan,tan22BBBA时，等号成立，故当1tan2,tan2AB时，tan()AB的最大值为34三、名校试题三、名校试题1（福建福建 2008 年高考样卷年高考样卷 文文）.ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 sinA=31，b=3sinB，则 a 等于（）A.33B.3C.23D.33解析解析由sinsinabAB得33a 答案答案D2（山东省济南市（山东省济南市 2009 届高三模考理届高三模考理 10）在ABC 中,A=120，b=1，面积为3，则sinsinsinabcABC=（）A2 393B393C27D47解析解析在ABC 中，13sin1202c，4c；又222142 1 4cos12021a ，212 7sinsinsinsin120abcABC答案答案C C3（2008-2009 厦门质检二厦门质检二）在ABC 中，tanA12，cosB3 1010若最长边为 1，则最短边的长为（）A4 55B3 55C2 55D55http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解析解析由条件知 A、B 都是小于4，所以角 C 最大，又10tan10B，B 最小，由sinsincbCB得，1sin1351010b，所以最短边长为55答案答案D4（浙江省浙江省 09 年高考省教研室第一次抽样测试年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理）数学试题（理）16）如图，海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西030，与 O 相距 10 海里的 C 处，现甲船以 30 海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心 O 正东方向 20 海里的 B 处的乙船，甲船需要小时到达 B处.解析解析由题意，对于 CB 的长度可用余弦定理求解，得22202cos120100400200700CBCOOBCO OB，因此10 7CB，因此甲船需要的时间为10 77303（小时）.答案答案735(江苏省南京市江苏省南京市 2009 届高三第一次质量检测数学试题届高三第一次质量检测数学试题 11)在ABC中，角CBA,所对的边分别为,cba12sin,5cosAbBa，则a解析解析由sin12bA 及正弦定理得：sin12aB，又cos5aB，两式平方相加得：13a 答案答案136(浙江浙江 2008 学年第一学期十校高三期末联考数学试题（理）学年第一学期十校高三期末联考数学试题（理）)在ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若222bcabc，且4AC AB ，则ABC 的面积等于 解 析 解 析 由222bcabc及 余 弦 定 理 得：1cos2A，由4AC AB 得cos4AB ACA，所以1sin2 32SAB ACA答案答案2 3 7(和平区和平区 2008 年高考数学年高考数学(理理)三模三模 13).在ABC 中，设角 A、B、C 的对边分别为cba,，且bcaBC2coscos，则角 B=度OCB北http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解析解析由bcaBC2coscos及正弦定理得：cos2sinsincossinCACBB，sincos2sincossincosBCABCB，所 以sin()2sincosBCAB，所 以1cos2B，又0180B，60B 答案答案608（广东省四校联考广东省四校联考 2009 届高三上学期期末考试数学理届高三上学期期末考试数学理 15）.如图在ABC中,2 5,2 5,cos45BACC(1)求sin A；(2)记BC的中点为D,求中线AD的长解析解析(1)由2 5cos5C,C是三角形内角，得555521cos1sin22CCCCCBCBAsin4coscos4sin)sin()(sinsin2 2253 105252510(2)在ABC 中,由正弦定理，sinsinBCACAB，2 5 3 10sinsin1022ACBCAB6 CD=12BC=3,又在ADC 中,AC=2 5,cosC=2 55,由余弦定理得,222cosADACCDAC CDC=2 52092 2 5355 9（2009 年滨海新区五所重点学校联考理年滨海新区五所重点学校联考理 17）在ABC中，cba,分别是角CBA,的对边,且2sin2)2cos(12CBA()求角A的大小；（）当 a=6 时,求其面积的最大值,并判断此时ABC的形状解析解析()由已知得：2cos22cos12AA，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2cos2cos2sin4222AAA，0A，022A02cosA，02sinA212sinA，3A（）Abccbacos2222，2236bcbc，36bc故三角形的面积3943sin21bcAbcS当且仅当 b=c 时等号成立；又3A，故此时ABC为等边三角形10（汉沽一中汉沽一中 2009 届高三月考文届高三月考文 18）如图，隔河看两目标 A、B，但不能到达，在岸边选取相距3km 的 C、D 两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45（A、B、C、D 在同一平面内），求两目标 A、B 之间的距离解析解析 在ACD 中，ADC=30，ACD=120，CAD=30，AC=CD=3.在BDC 中，CBD=180（45+75）=60，由正弦定理，得 BC=sin60sin753=226，由余弦定理，得 AB2=AC2+BC22ACBCcosBCA=23+262223226 cos75=5.AB=5两目标 A、B 之间的距离为5km四、考点预测四、考点预测（一）文字介绍在解三角形中要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题 在具体解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意解三角形是高考必考内容，重点为正、余弦定理及三角形面积公式可以以小题形式主要考查考题正、余弦定理及三角形面积公式；也可以是简单的解答题，主要与三角函数的有关知识一起综合考查；随着课改的深入，联系实际，注重数学在实际问题中的应用将是一个热点，所以不排除考查解三角形与三角函数、函数等知识一起的综合应用题，主要考查学生的基本运算能力、应用意识和解决实际问题的能力（二）考点预测题http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1（辽宁省部分重点中学协作体辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟年高考模拟）在ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a,b,c，若3a，2b，45B，则角 A=（）A30B30或 105C60D60或 120解析解析32sinsin45A，即3sin2A，又ab，所以60A 或120A 答案答案D2（2008 年高考全国二年高考全国二 17）在ABC中，5cos13B ，4cos5C（）求sin A的值；（）设ABC的面积332ABCS，求BC的长解析解析（）由5cos13B ，得12sin13B，由4cos5C，得3sin5C 所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC（）由332ABCS得133sin22ABACA，由（）知33sin65A，故65ABAC，又sin20sin13ABBACABC，故2206513AB，132AB 所以sin11sin2ABABCC3(启东市启东市 2009 届高三第一学期第一次调研考试届高三第一学期第一次调研考试 19）（2008 年湖南理高考年湖南理高考 19）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东45且与点 A 相距 402海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45+(其中 sin=2626，090)且与点 A 相距 1013海里的位置 C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解析解析（1）如图，AB=402，AC=1013，26,sin26BAC.由于090,所以 cos=2265 261()2626.东北http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由余弦定理得 BC=510cos222ACABACAB所以船的行驶速度为10 515 523（海里/小时）.（2）解法一如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、C 的坐标分别是 B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有，x1=y1=22AB=40,x2=ACcos10 13cos(45)30CAD,y2=ACsin10 13sin(45)20CAD.所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=20210,直线 l 的方程为y=2x-40又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d=|05540|3 571 4.所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q在ABC 中，由余弦定理得：222cos2ABBCACABCAB BC=222402105 1013240 210 5=3 1010.从而2910sin1 cos11010ABCABC.在ABQ中，由正弦定理得，AQ=1040 2sin1040sin(45)22 10210ABABCABC.由于 AE=5540=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 RtQPE中，sinsinPEQEPQEQEAQChttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网sin(45)QEABC=5153 575.所以船会进入警戒水域
