2010届高三数学一轮复习强化训练精品――立体几何中的向量问题（Ⅱ）——空间角与距离 doc--高中数学 .doc

http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网20102010 届高三数学一轮复习强化训练精品届高三数学一轮复习强化训练精品立体几何中的向量问题（立体几何中的向量问题（）空间角与距离空间角与距离1.已知两平面的法向量分别为 m m=（0，1，0），n n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为.答案答案45或 1352.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为.答案答案603.如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1所成角的余弦值等于.答案答案5154.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCOABCD，AC 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为.答案答案a225.（20082008福建理福建理，6 6）如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则 BC1与平面 BB1D1D所成角的正弦值为.答案答案510例例 1 1（20082008海南理，海南理，1818）如图所示，已知点 P 在正方体 ABCDABCD的对角线BD上,PDA=60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小;(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小.解解如图所示，以 D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系 Dxyz.则DA=（1，0，0），CC=(0,0,1).连接 BD,BD.在平面 BBDD 中,延长 DP 交 BD于 H.设DH=(m,m,1)(m0),由已知DH,DA=60,基础自测基础自测http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由DADH=|DA|DH|cosDH,DA,可得 2m=122m.解得 m=22,所以DH=（22,22,1）.(1)因为 cosDH,CC=2111022022=22,所以DH,CC=45,即 DP 与 CC所成的角为 45.(2)平面 AADD 的一个法向量是DC=(0,1,0).因为 cosDH,DC=2101122022=21,所以DH,DC=60,可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.例例 2 2在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=23，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如图所示.求点 B 到平面 CMN 的距离.解解取 AC 的中点 O，连接 OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABC=AC，SO平面 ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22），M（1，3，0），N（0，3，2）.CM=（3，3，0），MN=（-1，0，2），MB=（-1，3，0）.设 n n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量，则020z-x33xn nn nMNyCM，取 z=1，则 x=2,y=-6,n n=（2，-6，1）.点 B 到平面 CMN 的距离 d=324n nn n MB.例例 3 3（16 分）如图所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，PA=AB=1，AD=3，点 F 是 PB 的中点，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网点 E 在边 BC 上移动.（1）点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF；（3）当 BE 为何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45.（1）解解当点 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行.在PBC 中，E、F 分别为 BC、PB 的中点，EFPC.又 EF平面 PAC，而 PC平面 PAC，EF平面 PAC.4 分（2）证明证明以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则 P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，21，21），D（3，0，0）.设 BE=x，则 E（x，1，0），PEAF=（x，1，-1）（0，21，21）=0，PEAF.10 分（3）解解设平面 PDE 的法向量为 m m=(p,q,1),由（2）知PD=（3，0，-1），PE=（x，1，-1）由00PEPDm mm m，得 m m=1,31,31x.12 分而AP=（0，0，1），依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45,sin45=22=APAPm mm m，1313112x=21,14 分得 BE=x=3-2或 BE=x=3+23（舍去）.故 BE=3-2时，PA 与平面 PDE 所成角为 45.16 分1.如图所示，AF、DE 分别是O、O1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC 是O 的直径，AB=AC=6，OEAD.（1）求二面角 B-AD-F 的大小；（2）求直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值.解解（1）AD 与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网故BAF 是二面角 BADF 的平面角.依题意可知，ABFC 是正方形，BAF=45.即二面角 BADF 的大小为 45;（2）以 O 为原点，CB、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（0，0，0），A（0，-32，0），B（32，0，0），D（0，-32，8），E（0，0，8），F（0，32，0），BD=（-32，-32，8），EF=（0，32，-8）.cosBD,EF=EFBDEFBD=8210064180=-1082.设异面直线 BD 与 EF 所成角为，则cos=|cosBD,EF|=1082.即直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值为1082.2.已知：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 22，侧棱长为 4，E、F 分别为棱 AB、BC 的中点.（1）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1；（2）求点 D1到平面 B1EF 的距离.（1）证明证明建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），B（22，22，0），E（22，2，0），F（2，22，0），D1（0，0，4），B1（22，22，4）.EF=（-2，2，0），DB=（22，22，0），1DD=（0，0，4），EFBD=0，EF1DD=0.EFDB，EFDD1，DD1BD=D，EF平面 BDD1B1.又 EF平面 B1EF，平面 B1EF平面 BDD1B1.（2）解解由（1）知11BD=（22，22，0），EF=（-2，2，0），EB1=（0，-2，-4）.设平面 B1EF 的法向量为 n n,且 n n=(x,y,z)则 n nEF,n nEB1即 n nEF=（x，y，z）（-2，2，0）=-2x+2y=0，n nEB1=（x，y，z）（0，-2，-4）=-2y-4z=0，令 x=1,则 y=1,z=-42,n n=(1,1,-42)D1到平面 B1EF 的距离http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网d=n nn n11BD=22242112222=171716.3.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点.（1）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（2）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE平面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.解解方法一方法一（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A（0，0，0），B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，21，1)，从而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）.设AC与PB的夹角为，则 cos=PBACPBAC=723=1473，AC 与 PB 所成角的余弦值为1473.（2）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x,0,z）,则NE=（-x，21，1-z），由 NE平面 PAC 可得00ACNEAPNE，即 0)0,1,3(1,21,0)2,0,0(1,21,zzxx,化简得021301xz,163zx即 N 点的坐标为（63，0，1），从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1，63.方法二方法二（1）设 ACBD=O，连接 OE，AE，BD，则 OEPB，EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角.在AOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，由余弦定理得cosEOA=1473127245471,http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网即 AC 与 PB 所成角的余弦值为1473.(2)在平面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则ADF=6.连接 PF,则在 RtADF 中,DF=ADFADcos=332,AF=ADtanADF=33.设 N 为 PF 的中点，连接 NE，则 NEDF.DFAC，DFPA，DF平面 PAC，从而 NE平面 PAC.N 点到 AB 的距离为21AP=1，N 点到 AP 的距离为21AF=63.一、填空题一、填空题1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是 AB 的中点,则 sin1DB,CM的值等于.答案答案152102.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O 是 A1C1的中点，则点 O 到平面 ABC1D1的距离为.答案答案423.（20082008全国全国理，理，1111）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于.答案答案324.P 是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线 PM、PN，如果BPM=BPN=45，MPN=60，那么二面角AB的大小为.答案答案905.正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E、F 分别为 BB1、CD 的中点，则点 F 到平面 A1D1E 的距离为.答案答案10536.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，AB=BC=AA1，ABC=90，点 E、F 分别是棱 AB、BB1的中点，则直线 EF 和 BC1所成的角是.答案答案607.如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答案答案548.正四棱锥 SABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是.答案答案30二、解答题二、解答题9.如图所示，在几何体 ABCDE 中，ABC 是等腰直角三角形，ABC=90，BE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 BE=AB=2，CD=1，点 F 是 AE 的中点.求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值.解解以点 B 为原点，BA、BC、BE 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.BD=（0，2，1），DF=（1，-2，0）.设平面 BDF 的一个法向量为n n=（2，a，b），n nDF，n nBD，00BDDFn nn n即0)1,2,0(),2(0)0,2,1(),2(baba解得 a=1，b=-2.n n=（2，1，-2）.设 AB 与平面 BDF 所成的角为，则法向量 n n 与BA的夹角为2-，cos（2-）=n nn nBABA=322,1,20,0,2=32,即 sin=32,故 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为32.10.在五棱锥 PABCDE 中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，EAB=ABC=DEA=90.（1）求证：PA平面 ABCDE；（2）求二面角 APDE 的余弦值.（1）证明证明以 A 点为坐标原点，以 AB、AE、AP 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，则由已知得A（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0，2a，0）.AP=（0，0，2a），AB=（2a，0，0），AE=（0，2a，0），APAB=02a+00+2a0=0，APAB.同理APAE.又ABAE=A，PA平面 ABCDE.（2）解解设平面 PAD 的法向量为 m m=(1,y,z),则 m mAD=0，得 a+2ay=0，y=-21.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网又 m mAP=0，得 2az=0，z=0.m m=（1，-21，0）.再设平面 PDE 的法向量为 n n=(x,1,z),而ED=（a，0，0），PD=（a，2a，-2a），则 n nED=0，得 ax=0，x=0.又 n nPD=0，得 ax+2a-2az=0，z=1.n n=（0，1，1）.令二面角 APDE 的平面角为，则 cos=-n nm mn nm m=24521=1010，故二面角 APDE 的余弦值是1010.11.如图所示，在三棱锥 PABC 中，ABBC，AB=BC=kPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC.（1）若 k=1，试求异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小；（2）当 k 取何值时，二面角 OPCB 的大小为3？解解OP平面 ABC，又 OA=OC，AB=BC，从而 OAOB，OBOP，OAOP，以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz.（1）设 AB=a，则 PA=a，PO=22a，A（22a，0，0），B（0，22a，0），C（-22a，0，0），P（0，0，22a），则 D（-42a，0，42a）.PA=(22a，0，-22a)，BD=(-42a，-22a，42a)，cosPA,BD=BDPABDPA=222234141aaa=-33,则异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值的大小为33.（2）设 AB=a，OP=h，OB平面 POC，OB=(0，22a，0)为平面 POC 的一个法向量.不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n n=（x，y，z），http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A(22a，0，0)，B(0，22a，0)，C(-22a，0，0)，P(0，0，h)，BC=(-22a,-22a,0),PC=(-22a,0,-h),由00PCBCn nn n0220zhaxyx不妨令 x=1，则 y=-1，z=-ha22，即 n n=(1,-1,-ha22),则 cos3=n nn nOBOB=22222222haaa=212+222ha=4h=21a,PA=22POAO=24121aa=23a,而 AB=kPA,k=332.故当 k=332时,二面角 OPCB 的大小为3.12.(2008(2008湛江模拟湛江模拟)如图所示，已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱 CC1上的点，且 BEB1C.（1）求 CE 的长；（2）求证：A1C平面 BED；（3）求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.（1）解解如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz.D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设 E 点坐标为（0，2，t），则BE=（-2，0，t），CB1=（-2，0，-4）.BEB1C，BECB1=4+0-4t=0.t=1，故 CE=1.（2）证明证明由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），又CA1=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），CA1BE=4+0-4=0，且CA1DB=-4+4+0=0.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网CA1DB且CA1BE，即 A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面 BDE.即 A1C平面 BED.（3）解解由（2）知CA1=（-2，2，-4）是平面 BDE 的一个法向量.又BA1=（0，2，-4）,cosCA1,BA1=BACABACA1111=630.A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值为630.