判断抽象函数单调性的四种策略.docx
编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页 共2页判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生思维能力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断策略做一小结，供大家解题时参考。1 凑差策略紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f(x1)-f(x2)”，然后判断符号。例1 已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性。解：由f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y) 令x+y=x2，x=x1，且x1<x2， 则有f(x2)-f(x1)=f(y) y=x2-x1>0，f(y)=f(x2-x1)>0， 即f(x1)<f(x2)，因此f(x)为增函数。例2 设函数f(x)的定义域为（0，+），对任意正实数x、y均有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时f(x)>0，判断函数f(x)的单调性并说明理由。解：由f(xy)=f(x)+f(y)得，f(xy)-f(x)=f(y) 令x+y=x1，x=x2，且x1>x2>0， 则有f(x1)-f(x2)=f(y)， ， 即f(x1)>f(x2)，因此f(x)为增函数。 2 添项策略 瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“f(x1)-f(x2)”的符号的目的。例3（题同例1）解：设x1<x2，则x2-x1>0， 当x>0时，f(x)>0，f(x2-x1)>0 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0 即f(x1)<f(x2)，因此f(x)为增函数。例4（题同例2）解：设0<x1<x2<+，则 当x>1时f(x)>0，即f(x2)>f(x1)，因此f(x)为增函数。3 增量策略由单调性的定义出发，假设x1<x2，设x2=x1+（>0）,从而与题设联系起来。例5（题同例1）解：对任意的x1、x2，设x1<x2，且x2=x1+（>0），由题设f(x+y)=f(x)+f(y)得 f(x2)-f(x1)=f（x1+）-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f() >0,f()>0， 即f(x2)>f(x1)，因此f(x)为增函数。例6 设函数f(x)的定义域为R，当x>0时，f(x)>1，且对任意的x、y，均有f(x+y)=f(x)f(y)成立。试判断函数f(x)的单调性并说明理由。解：对任意的x1、x2，设x1<x2，且x2=x1+（>0）， 则f(x2)-f(x1)=f（x1+）-f(x1)=f(x1)f()-f(x1)=f()-1f(x1) 当x>0时，f(x)>1，f()-1>0 下面判断f(x1)的符号： 若存在使f(x0)=0,则对任意的x，f(x)=f(x-x0)+x0=f(x-x0)f(x0)=0，这与题设条件矛盾。因此，即 这样，f(x2)-f(x1) >0，所以f(x)为增函数。4 放缩策略结合添项策略，利用放缩法，判断f(x1)与f(x2)的大小关系，从而得f(x)的单调性。例7（题同例6）解：设x1<x2，则x2-x1>0， 当x>0时，f(x)>1，f(x2-x1)>0，f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)f(x1)>f(x1)（由上题知f(x1)>0） 即f(x)为增函数。例8 已知函数f(x)的定义域为（0，+），对任意正实数x、y均有f(xy)=f(x)f(y)，且当x>1时0<f(x)<1，判断函数f(x)的单调性并说明理由。解：设0<x1<x2，则 当x>1时0<f(x)<1， 又由f(xy)=f(x)f(y)中令x>1，y=1得f(1)=1 当0<x<1时，由易知此时f(x)>1，这样，f(x)>0恒成立。即f(x)在（0，+）上单调递减函数。第 2 页 共 2 页
