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对数与对数函数题型归纳总结知识梳理1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(2)换底公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b0)利用换底公式推导下面的结论推广，特例：(3)对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN，logaMnnlogaM(nR)3函数，且叫做对数函数，是自量，函数定义域是注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：，且4对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.结论2.对数函数ylogax(a>0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.5.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：100_；(2)计算：_解析：(1)原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.(2)原式1.例题2： 设x、y、z为正数，且，则x、y、z之间的关系式为 .解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，所以，所以.变式1： （1）若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差数列，则x的值等于 (2)已知a>b>1，若logablogba，abba，则a_，b_解析： (1)由题意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)，2(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlog23.(2)设logb at，则t>1，因为t，t2，则ab2.又abba，b2bbb2，即2bb2，又a>b>1，得b2，a4.变式2： 已知若，则_，_分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的解析：设，所以，解得，所以，于是由，得，所以，解得题型二 对数函数的定义域例题3： 函数的定义域为_解析：要使有意义，则，即，即，即，即函数的定义域为变式3： 函数的定义域为（）ABCD分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数解析：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解得，即函数的定义域为，故应选题型三 对数函数的值域例题4： 求下列函数的值域：（1）；（2）解析：（1），函数的定义域为函数的值域为（2）或所以函数的定义域为因为，即能取遍一切正实数，所以所以函数的值域为题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数为奇函数，当时，则（）A B C0 D1解析：，选C变式4： 若函数为奇函数，则实数_解析：题型五 对数函数的对称性例题6： 若满足，满足，则 解析：，即，作出，的图象（如图）由图知与的图象关于对称，它们与的交点、的中点为与的交点，题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数的递减区间解析：先求函数的定义域，由，得，或令，对数的底数，函数减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数（，或）的递增区间即可，函数（，或）的递增区间，所以函数的递减区间为变式5： 函数（）的单调递增区间是（）A B C D分析：复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数解析：由函数得，得或，根据题意，设，则，图象开口向上，因函数为单调增函数，由得：也是增函数，又因在上是增函数，故的取值范围是，故选D变式6： 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性解析：令，则有函数在区间上是减函数，可得函数在区间上是增函数，且，所以，解得所以实数的取值范围是变式7： 若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_.解析：令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1，2).变式8： 已知函数 (a>0，且a1)，若在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_.解析：当时，在1，2上是减函数，由在区间1，2上恒成立，则，解之得。若时，在1，2上是增函数，由在区间1，2上恒成立，则，且.，且，故不存在.综上可知，实数a的取值范围是.例题8： 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_分析：题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全例题9： 已知函数，若，且，则（）A B C D随值变化解析：不妨设，则令，则或故故，故选A题型七 对数函数的零点问题例题10： 函数的零点个数为 分析：在函数与方程的关系中，如果求解与函数零点、方程的根、图象的交点等问题时，常常要利用数形结合的思想来解决解析：的零点，即为方程的根，亦即为函数与函数的交点横坐标，因此在同一坐标系中作出函数与的图象，由图象可知零点个数为2个例题11： 已知函数f(x)若方程f(x)a0恰有一个实根，则实数a的取值范围是_.解析：作出函数yf(x)的图象(如图所示).方程f(x)a0恰有一个实根，等价于函数yf(x)的图象与直线ya恰有一个公共点，故a0或a2，即a的取值范围是02，).变式9： 已知函数f(x)=kx+1,x0lnx,x>0，则函数y=f(f(x)+1的零点个数的判断正确的是（ ）A. 当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点B. 无论k为何值，均有2个零点C. 当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点D. 无论k为何值，均有4个零点故函数y=f(f(x)+1有四个零点.应选答案A.。变式10： 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）= f（x），且当x0，1时，f（x）=x，则函数y=f（x）log3|x|的零点个数是（）A多于4个B4个C3个D2个分析：根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）= f（x），且当x0，1时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y= f（x）-log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数数f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案解析：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x0，1时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）log3|x|的零点个数是4个，故选B题型八 对数函数值域例题12： 函数的最小值为_解析：，所以，当，即时，取得最小值例题13： 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是_分析：本题属于一道逆向型的问题，中档偏难题解题时一定要注意对底数进行分类解题过程中还运用了函数值域内中的一个重要性质，并以此为基点建立不等式求出了参数的取值范围解本题的关键是如何理解题设中“值域为”并能建立等价的不等式解析：当时，即函数的值域为；当且时，即函数的值域为，由，得，解得；若且时，与题设不符，所以实数的取值范围是，即例题14： 若函数且有最大值，则实数的取值范围是_分析：（1）注意真数对应的二次函数的开口方向；（2）注意函数为复合函数，解答时注意利用单调性的复合规律求解；（3）注意定义域要求变式11： 设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为_分析：本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想，属于难题函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质解析：变式12： 已知函数的最大值和最小值分别是，则的值为A1 B0 C-1 D-2分析：在处理求函数值域问题时，往往结合所给式子的几何意义进行处理可起到事半功倍的效果，常用的有：表示过点和点的直线的斜率，表示点和点的距离的平方解析：由题意，得表示单位圆上动点和单位圆外一点的连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，设切线方程为，即，则，即的两根分别为，则，即；故选B题型九 对数函数的定点问题例题15： 函数恒过定点解析：当时，故函数恒过定点变式13： 函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，均大于0，则的最小值为（）A2B4C8D16分析：因为指数函数恒过定点，则函数所过的定点可令求得横坐标，而纵坐标为，由此可得定点坐标解析：根据题意，有，所以有，所以，故选C题型十 利用对数函数性质判断图象例题16： 已知函数为常数，其中且）的图象如图，则下列结论成立的是（）ABCD解析：由图可知，的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选D例题17： 函数满足，那么函数的图象大致是（ ）A B C D例题18： 若函数f(x)axax(a>0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可以是()解析：(1)由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.又yloga(|x|1)是偶函数，定义域是(，1)(1，).当x>1时，yloga(x1)的图象由ylogax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.例题19： 当x(1，2)时，不等式(x1)2<logax恒成立，则a的取值范围是( )A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2 D.解析：由题意，易知a>1.在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图象.若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2.变式14： 函数y=lg|x|x的图象大致是（）ABCD分析：先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项解析：f（x）=f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C，故选D变式15： 若当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，则函数y=loga|1x|的图象大致为（）ABCD分析：由于当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1，利用指数函数的图象和性质可得0a1先画出函数y=loga|x|的图象，此函数是偶函数，当x0时，即为y=logax，而函数y=loga|1x|=loga|x|，即可得出图象解析：当xR时，函数f（x）=a|x|始终满足0|f（x）|1因此，必有0a1先画出函数y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数y=loga|1x|=loga|x|，其图象如红颜色的图象故选B变式16： 函数y=1ln|ex-e-x|的部分图象大致为（）ABCD分析：判断奇偶性排除B，C，再利用特殊函数值判断即可得出答案解析：y=f（x）=1ln|ex-e-x|，f（x）=1ln|e-x-ex|=1ln|ex-e-x|=f（x），f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，Cf（2）=1ln|e2-e-2|0，（2，f（2）在x轴上方，所以排除A，故选：D题型十一 对数方程的解法例题20： 方程的解为_分析：对数方程的最基本的法则是首先统一底数，然后根据方程的特征利用对数的运算性质，结合对数相等，真数相等去掉对数符号，或通过换元去掉对数符号，转化为代数方程后，利用代数的方法求求解，最后回代验证即可解析：设，则，题型十二 比较大小或解不等式例题21： 不等式的解集是_分析：求对数不等式的解集主要就是利用其单调性，因此必须考察对数的底数，同时易忽视真数的限制条件解析：由得，即变式17： 若loga(a21)<loga2a<0，则a的取值范围是()解析：由题意得a>0且a1，故必有a21>2a，又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，a>.综上，a.例题22： 已知alog2e，bln 2，clog，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b法一因为alog2e>1，bln 2(0，1)，cloglog23>log2ea>1，所以c>a>b.法二loglog23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，yln x的图象，由图知c>a>b.变式18： 已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcabCacbDcba分析：根据函数奇偶性得f（x）=2|x|1=&2x-1，x0&2-x-1，x0，利用单调性求解即可解析：定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，f（x）=f（x），m=0，f（x）=2|x|1=&2x-1，x0&2-x-1，x0，f（x）在（0，+）单调递增，a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0log23log25，cab，故选：B题型十三 综合运用例题23： 已知函数f(x)ln xln(2x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.yf(x)的图象关于直线x1对称D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称解析：由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，C正确，D错误.答案C例题24： 已知函数.若且，则的范围是()A B C D解析：函数的图象如图所示，由图象知，一个大于1，一个小于1，不妨设,.因为，所以，即，所以例题25： 函数g（x）=log22xx+1（x0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为（）A（，427）（4+27，+）B（427，4+27）C（34，23）D（32，43分析：先确定0g（x）2，作出y=|g（x）|大致图象，设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在1，+）上，由此可得结论解析：2xx+1=2(x+1)-2x+1=22x+1，当x0时，022x+12，即g（x）1，则y=|g（x）|大致图象如图所示，设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在1，+）上，当t=0时，2m+3=0，得m=32，此时方程为t232t=0，解得t=0或t=32，当t=0时，g（x）=0有一个根x=1，当t=32时，由|g（x）|=32，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足设h（t）=t2+mt+2m+3，当有一个根为1时，h（1）=12+m+2m+3=0，解得m=43，此时另一根为13，满足根不是1时，则&h(0)0&h(1)0，&2m+30&1+m+2m+3032m-43综上32m43，即实数m的取值范围为（32，43，故选：D例题26： 已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=1，若a，b1，1，且a+b0，有f(a)+f(b)a+b0恒成立（1）判断f（x）在1，1上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式f（log2x）f（log43x）的解集；（3）若f（x）m22am+1对所有的x1，1，a1，1恒成立，求实数m的取值范围分析：（1）直接根据单调性的定义判断和证明该函数为增函数；（2）根据对数函数的图象和性质列出不等式组解出即可；（3）问题转化为m22am+1f（x）max，再构造函数并通过分类讨论求范围解析：（1）f（x）在1，1上为增函数，证明如下：任取x1，x2满足1x1x21，由f（x）为奇函数，f(x2)-f(x1)x2-x1=f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)，又因为a，b1，1，且a+b0，都有f(a)+f(b)a+b0，f(x2)-f(x1)x2-x1=f(x2)+f(-x1)x2+(-x1)0，x2x10，f（x2）f（x1）0，所以f（x）在1，1上为增函数；（2）原不等式等价于：-1log2x112x2，-1log43x1112x43，log2xlog43xlog2xlog23x0x综合以上三式得，原不等式解集为：x|12x43；（3）f（x）在1，1递增，则f（x）max=f（1），m22am+1f（x）max，即m22am0对a1，1恒成立，记关于a的函数g（a）=2ma+m2，1a1，问题等价为：g（a）min0在a1，1上恒成立，当m=0时，g（a）=0满足，当m0时，g（a）递增，令g（a）min=g（1）0m2；当m0时，g（a）递减，令g（a）min=g（1）0m2，综合以上讨论得，实数m的取值范围为：（，202，+）变式19： 对于下列结论：函数y=ax+2（xR）的图象可以由函数y=ax（a0且a1）的图象平移得到；函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称；方程log5（2x+1）=log5（x22）的解集为1，3；函数y=ln（1+x）ln（1x）为奇函数其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）分析：利用图象的平移关系判断利用对称的性质判断解对数方程可得利用函数的奇偶性判断解析：y=ax+2的图象可由y=ax的图象向左平移2个单位得到，正确；y=2x与y=log2x互为反函数，所以的图象关于直线y=x对称，错误；由log5（2x+1）=log5（x22）得&2x+10&x2-20&2x+1=x2-2，即&x-12&x2或x-2&x=-1或x=3，解得x=3所以错误；设f（x）=ln（1+x）ln（1x），定义域为（1，1），关于原点对称，f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x）所以f（x）是奇函数，正确，故正确的结论是答案为：变式20： 已知f（x）=&3|log3x|，0x3&(x-4)(x-6)，x3，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d），且abcd，则abcd的取值范围是（）A（23，24）B（24，27）C（21，24）D（24，25）分析：图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围解析：先画出f（x）=&3|log3x|，0x3&(x-4)(x-6)，x3的图象，如图：a，b，c，d互不相同，不妨设abcd且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3c4，d6log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10c）=c2+10c，由图象可知：3c4，由二次函数的知识可知：32+103c2+10c42+104，即21c2+12c24，abcd的范围为（21，24）故选：C变式21： 已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx（）若f（x）是偶函数，求实数m的值；（）当m0时，关于x的方程f（8（log4x）2+2log21x+4m4）=1在区间1，22上恰有两个不同的实数解，求m的范围分析：（）根据f（x）是偶函数，建立方程关系即可求实数m的值；（）利用对数函数性质，利用换元法，转化为两个函数交点问题即可得到结论解析：（） 若f（x）是偶函数，则有f（x）=f（x）恒成立，即：log2（4x+1）mx=log2（4x+1）+mx于是2mx=log2（4x+1）log2（4x+1）=log2（4x+14x）log2（4x+1）=2x，即是2mx=2x对xR恒成立，故m=1（）当m0时，y=log2（4x+1），在R上单增，y=mx在R上也单增所以f（x）=log2（4x+1）+mx在R上单增，且f（0）=1，则f（8（log4x）2+2log21x+4m4）=1可化为f（8（log4x）2+2log21x+4m4）=f（0），又f（x）单增，得8（log4x）2+2log21x+4m4=0，换底得8（log2xlog24）22log2x+4m4=0，即2（log2x）22log2x+4m4=0，令t=log2x，则t0，32，转换化为2t22t+4m4=0在t0，32，有两解，即4m=2t2+2t+4，令y=2t2+2t+4，则y=2t2+2t+4=2（t12）2+92，当t=12时，函数取得最大值92，当t=0时，函数y=4，当t=32时，函数取得最小值52，若方程f（8（log4x）2+2log21x+4m4）=1在区间1，22上恰有两个不同实数解，则等价为44m92，解得89m1，故求m的范围为89m1