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一本概率统计练习题一本概率统计练习一 一、单项选择题 1 、设 ) , ( ), , ( 22 221 1s m s m N Y N X ，且 Y X, 相互独立，则（）. (A) ) , ( 2221 2 1s s m m N XY (B) ) , ( 2221 2 1s s m m - - - N Y X(C) ) , ( 2221 2 1s s m m + + + N Y X (D) ) / , / ( /2221 2 1s s m m N Y X2 、下列函数中可作为随机变量分布函数是（ ）. (A) ççèæ³ +<=-0 , ) 1 (0 , 0) (1 2x xxx F(B) ççèæ- < +- ³=-1 , ) 1 (1 , 1) (1 2x xxx F(C) ççèæ<³=-0 , 00 ,) (xx ex Fx (D) ççèæ- < + -³=1 ), 1 ln(0 , 1) (2x xxx F3 、设15 2 1, , , X X X L 是来自总体 ) 1 , 0 ( N X 为 的一个容量为 15 的简洁随机样本，记) ( 22152122112102221X X XX X XY+ + + + +=LL，则（ ）. (A) ) 5 , 10 ( F Y(B) ) 10 , 5 ( F Y(C) ) 15 ( 2c Y(D) ) 15 ( t Y4 、设 A, B 是两个随机事务，且 ), | ( ) | ( , 0 ) ( , 1 ) ( 0 A B P A B P B P A P = > < <则必有（ ）. (A) ) | ( ) | ( B A P B A P = (B) ) | ( ) | ( B A P B A P ¹ (C) ) ( ) ( ) ( B P A P AB P = (D) ) ( ) ( ) ( B P A P AB P ¹5 、设 ) 9 , 108 ( N X ，则 = < < 6 . 117 1 . 101 X P （ （ ）. (A) 1 ) 2 . 3 ( 2 - F (B) 1 ) 3 . 2 ( 2 - F (C) ) 3 . 2 ( ) 2 . 3 ( 2 F - F -(D) 1 ) 3 . 2 ( ) 2 . 3 ( - F + F二、填空题 6 、已知 , 50 . 4 ) 5 , 30 (05 . 0= F 则 = ) 30 , 5 (95 . 0F （ （ ）.7 、设 0 ) ( , 0 ) ( > > B P A P ，则 ) ( ), ( ), ( B A P AB P A P U 和 ) ( ) ( B P A P + 四个数中最大的是（ ) ( ) ( B P A P +），最小的是（）. 8 、设 Y X, 相互独立, 且均听从 ) , 0 ( q 上的匀称分布, 则 则 ) , min( Y X E = （）. 9 、设随机变量 Y X, 相互独立，且 , 6 . 0 1 = = X P , 4 . 0 0 = = X P, 5 . 0 1 = = Y P , 5 . 0 0 = = Y P 则 = = + 1 Y X P （ （）10 、对某一目标进行射击，直到击中为止。假如每次击中的概率均为 p ，则射击次数 X 的概率分布为（ ）. 三、解答题 11 、设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为 = ) , ( y x fîíì < < 2 < < 0 - -其它 , 04 , 2 ), 6 ( y x y x k(1) 确定常数 k ； ；(2) 求边缘密度函数 ) ( ) ( y f x fY X和 ； ；(3) 推断 X 与 Y 是否相互独立，并证明你 的结论； (4) 求 求 5 0 , 5 . 1 < < < Y X P 。解 解: (1)(2)(3)(4) 12为 、两台车床加工同样的零件，第一台出次品的概率为 0.02 ，其次台出废品的概为 率为 0.03 。加工出来的零件放在一起，已知其次台加工的零件数是第一台的 3 倍。求 求: (1) 从加工出来的零件中任取一件，是合格品的概率； (2) 若任取一件是次品，求它是由第一台车床加工的概率。解 解: 设事务iA 表示 零件由第 i 台 车床加工, 2 , 1 = i , 事务 B 表示 任取一个零件是次品 。依题意有 03 . 0 ) | ( , 02 . 0 ) | ( ,43) ( ,41) (2 1 2 1= = = = A B P A B P A P A P 。(1) (2)13 、设总体 X 的概率密度为îíì£>=-0 , 00 ,) (2xx xex fx ll，其中 0 > l 是未知参数。nX X X , , ,2 1L 是来自总体的一个简洁随机样本，求参数 l 的极大似然估计。解： 14查 、从某厂生产的滚珠中随机抽查 9 这 个，测得这 9 个滚珠直径的平均值为mm x 9 . 14 = 。若滚珠直径听从正态分布，且已知标准差为 mm 15 . 0 。求该厂生产为 的滚珠直径均值的置信水平为 0.95 的置信区间。附 ：306 . 2 ) 8 ( , 833 . 1 ) 9 ( , 96 . 1 , 645 . 1025 . 0 05 . 0 025 . 0 05 . 0= = = = t t u u 解 解:15为 、食品加工厂用自动装罐机装食品罐头，规定标准重量为 500 克。现随机抽取25 罐，测得其平均重量为 502 克，样本标准差为 8 克。假定罐头重量听从正态分布，问机器工作是否正常？ ) 05 . 0 ( = a附：71 . 1 ) 24 ( , 06 . 2 ) 24 ( , 65 . 37 ) 25 ( , 42 . 36 ) 24 (05 . 0 025 . 0205 . 0205 . 0= = = = t t c c 解 解: 一本概率统计练习二 一、单项选择题 1 1 、 设 , , A B C 为随机事务，下列命题中正确的是（）. (A) ABC ABC ABC + + 表示 , , A B C 至少两个发生(B), A B 相互独立，则 , A B 必互不相容(C) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B + < + (D)( ) ( ) ( ) ( ) P A B P AB P A P AB - = = - 2 2 、已知 ( ) 0.4 P A = ， ( ) 0.7 P A B = ，当 , A B 互不相容时，设 ( ) P B p = ；当 , A B相互独立时，设 ( ) P B q = ，则 （）. .(A) 0.3 p q = = (B)0.5 p q = = (C) 0.3, 0.5 p q = = (D) 0.3, 0.6 p q = = 3 3 、已知2 (3, ) X N s ， 3 6 0.34 P X < < = ，则 0 P X < = （）. .(A) 0.16 (B)0.34 (C) 0.56 (D)0.28 4 4 、 设1 2( , , , )nX X X 是来自正态总体（2( , ) X N m s ）的样本，下列各式不正确的是（）. .( ) A2( , ) X N n m s ( ) B221( )niiXnmcs=- æ öç ÷è øå( ) C 222( 1)( 1)n Sn cs- ( ) D (0,1)XNms-5 5 、 在如下关于常用分布的数学期望或方差的结论中，正确的是（）. .(A) ( , ), X B n p 则 ; DX np = (B) ( ), X P l 则2, ; EX DX l l = = (C) ( , ) X U a b ，则2( )12b aDX-= (D) ( ) X e l ，则1. EX DXl= = 二、填空题 6 6 、 已知 3, 4, EX DX = = 则 ( 1)(2 1) E X X - + = . .7 7 、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 (2,3), ( 3,4) X N Y N - ，则2 4 Z X Y = - - . .8 8 、已知 F 分布的上侧分位数0.051(10,5) ,3F = 则0.95 (5,10)F = . .9 9 、 设总体 X 的数学期望和方差皆存在，对于其简洁随机样本，比较 两个 无偏估计量1 2 3124X X Xm+ += 和1 2 323X X Xm+ += ，则较有效。10 、设某微生物存活能到 0 30 小时的概率是 0.8 ，能到 0 50 小时的概率是 0.6 ，已知该微生物已存活至 0 30 小时，则还能到 0 50 小时的概率为. .三、解答题 11 、一袋中装有 7 7 枚正品硬币和 3 3 枚次品硬币（次品硬币的两面都是国徽图案 ）。从袋中任取一枚硬币，并将它投掷 3 3 次。（1 1 ）求所掷三次皆为国徽图案的概率；（2 2 ）若已知三次皆掷出国徽图案，求所取出的这枚硬币是正品的概率。解：设1B 表示所取硬币为正品，2B 表示所取硬币为次品，A A 表示所掷三次皆为国徽图案。12 、（1 1 ）甲、乙二人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为12，乙的命中率为23，以 X Y 和 分别表示甲和乙的命中次数，求 X Y 和 ； 的联合分布率；（2 2 ）设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为= ) , ( y x f4.8(2 ) , 1, 00,x y x y x - 0£ £ £ £ ìí î 其它求边缘概率密度 ( )Xf x 。13 、已知随机变量 X 的分布函数是21, 1( )1, 12xF xxx³ - ìï= í< -ï+ î，（1 1 ）计算概率 3 2 P X - < £ - ， 2 3 P X < £ 和 1 P X = - ；（2 2 ）回答 X 是否为连续型随机变量，并说明理由。解：（1 1 ）（2 2 ）14 、设总体 X 的分布率为0 1 21 1 13 3 3Xl lé ùê ú+ -ê úë û， 其中 ( 1 1) l l - < < 是未知参数。若已知来自总体 X 的样本视察值为 2,0,0, 2,1,1, 2, 求（1 1 ）参数 l 的矩估计值；（2 2 ）参数 l 的极大似然估计值。解：（1 1 ）（2 2 ）15 、从自动线上被分装成小袋包装的某种产品，其重量2( , ) X N m s ，现从一批产品 抽取 9 9 包，测得这 9 9 包重量的平均值为 15.06 x g = ，（1 1 ）若已知20.04 s = ，求该产品重量均值 m 的置信度为 5 0.95 的置信区间；（2 2 ）若2s 未知，而求得样本标准差 0.23 s g = ，试检验：可否认为这批产品的重量均值 15.00g m = ？ ) 05 . 0 ( = a 附：0.05 0.025 0.05 0.025 0.0251.645, 1.96, (9) 1.833, (9) 2.262, (8) 2.306 u u t t t = = = = = 2 2 20.05 0.05 0.95(9) 16.92, (8) 15.51, (8) 3.33. c c c = = =一本概率统计练习三答案第 7 页（共 4 页）一本概率统计练习三 一、单项选择题 1、 、 设 , , A B C 为随机事务， 则与 ) ( B A P - 相等的关系式是（ ）.(A) ) ( ) ( ) ( AB P B P A P + - ； ；(B) ) ( ) ( B P A P - ； ； (C) ) ( ) ( AB P A P - ； ； (D) ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P B P A P - + 。2、 、 设 , , A B C 为 随机事务41) ( ) ( ) ( = = = C P B P A P ，81) ( = AB P ， 0 ) ( ) ( = = AC P BC P ，则 , , A B C 三个随机事务中至少有一个发生的概率是 （）. . (A)43； ；(B)85； ； (C) 83； ； (D) 81。3 、已知随机变量 X 的分布密度为 îíì < < +=, 01 0,) (其他x b axx f且85)21( = > X P ，则 b a, 的值为（ ）. (A) 0 , 1 = = b a ； ；(B)21, 2 - = = b a ； ；(C)21, 1 = = b a ； ；(D) 1 = +b a 。 4、 、 设随机变量 X 的取值范围是 1, 1 - ，以下可以作为 X 是 的分布密度的是 （）. .(A)ïîïíì< < -其它01 x 121；(B)îíì < < -其它01 x 12；(C)îíì < < -其它01 x 1 x ；(D)îíì < < -其它01 x 1 x2。5、 、 若 ) ( n t X ，那么 2X （）. (A) ) , 1 ( n F ； ； (B) ) 1 , (n F ； ；(C) ) (2n c ；(D) ) (n t .二、填空题 6 6 、将 S C, C, E, E, I, N, S 等七个字母随机地排成一行, , 那么, , 恰好排成英文单词 词 E SCIENCE 的概率为. .7 7、 、 设随机变量 ) , 2 ( 2s N X ，且 3 . 0 4 2 = < < X P ，则 0 < X P = =. .8、 、 已知 5 . 0 ) ( , 5 . 0 ) ( , 8 . 0 ) ( = = - = B P B A P A P , 则 = ) ( B A P U . .一本概率统计练习三答案第 8 页（共 4 页）9、 、 若总体 ) 2 , 0 ( 2N X , 10 2 1, , , X X X L 为来自总体样本容量为 0 10 的简洁随机样本 , 则å=101241iiX Y 听从于_ _ _ 2 2 _ _ _ 分布 , 其分布参数为. . 10、 、 若总体 ) , ( 2s m N X ，且2s 未知，用样本检验假设0H ：0m m = 时，采纳统计量是. . 三、解答题11、 、 从一批有 0 10 个合格品与 3 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在下列 二种状况下，直到取出合格品为止，所抽取次数 X 的分布率。（1 1 ）放回（2 2 ）不放回解（1 1 ）（2 2 ）12、 、 设商场出售的某元件是由甲、乙、丙厂生产的，产品的比例为 1 ：2 ：1 ，且它们的产品合格率分别为 9 0. 、 85 0. 、 8 0. ，现从该商场买了一个元件(1) 问恰取到一件合格品的概率是多少？(2) 若已知取到一件合格品，求其是丙厂生产的概率。解（1 1 ） (2) 13. 设随机变量 X 的 分布密度 为ïîïíì< <= , 00 ,2cos21) (其他p xxx f (1) 求 X 的分布函数。(2) ) 求 )21 (p< < - X P (3) 求 X Y 5 . 0 = 的分布密度。解(1)一本概率统计练习三答案第 9 页（共 4 页） (2)(3)14 、 设 ) , ( Y X 的联合分布密度为 x y x x Ay y x f £ £ £ £ - = 0 , 1 0 ), 1 ( ) , ( ，（1 1 ）求系数 A A ，（2 2 ）求关于 X 及 Y 的边缘分布密度。（3 3 ）X 与 Y 是否相互独立？（4 4 ）( ) E XY 及 ( ) D XY . 解 解 （1 1 ）（2 2 ）（ （3 ） 15、 、 随机从一批灯泡中抽查 1 16 6 个灯泡，测得其运用时数的平均值为 X 0 =1500 小时，样本方差2 220 S = 小时 , 设灯泡运用时数听从正态分布。试求均值 m 的置信度为 为 95% 的置信区间。(附数据：0.025 (16)2.1199 t = ；0.025 (15)2.1315 t = ）解 解 16 、 (1)设 设1 2, , ,nX X X ××× 为总体 X 的一个样本, , 母体 X 的分布密度为ïîïíì< <=-其它, 01 0 ,) (1x xx fqq， 0 > q 试求 q 的矩估计和极大似然估计( ( 其 他专业做) ) 。(2) 设总体 X 的分布律为÷÷øöççèæ- - q q q q q 2 1 ) 1 ( 23 2 1 02 2X 其中 5 . 0 0 < < q 是未知参数，若总体 X 有样本观测值：3 3 ，1 1 ，3 3 ，0 0 ，3 3 ，1 1 ，2 2 ，3 3 ，一本概率统计练习三答案第 10 页（共 4 页）求参数 q 的矩估计与极大似然估计( ( 会计学、国贸、公共管理专业做) ) 。解 解(1)(2)一本概率统计练习四答案第 11 页（共 4 页）一本概率统计练习四 一、填空题1、 、 设 , , A B C 为三个随机事务， 则下列选项中不行以用来表示事务 , , A B C 中至少有一个出现 的是（ ）(A) A B C ； ；(B) ABC ； ； (C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC + + + + + + ； ； (D) ABC 。2、 、 下列各式正确的是 （）(A) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B + = + ； ；(B) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B - = - ； ； (C) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B = ； ； (D) ( )( )( )P AAPB P B= 。3 、下列函数中，可以作为随机变量的分布函数的是 （ ）(A) , 0( )0, 0xe xF xx-ì ³= í<î； ；(B)1 1( ) arctan2F x xp= + ； ； (C)1 sgn( )( )2xF x+= ； ；(D)21, 1( )1, 11xF xxx³ ìï= í<ï+ î。4、 、 已知 X 听从 2,4 上的 匀称分布，则 3 2 11.6 P X + < = （）(A)0 ；(B)1 ；(C)0.8 ；(D)0.6 。5、 、 设总体 X 听从正态分布2( , ) N m s ，1 2, ,nX X X 是 X 的一个样本，样本均值11niiX Xn=å，样本方差2 211( )1niiS X Xn= -å, ,则听从 ( 1) t n- 的是（） (A)21niiX ms=- é ùê úë ûå； ； (B) Xnms-； ；(C) 21niiX Xs=é ù-ê úë ûå；(D) XS nm -。二、填空题 6 6 、设 ( , ) X Y 在区域2 22 2( , ) 1x yD x ya b= + £ 上听从匀称分布，则其分布密度函数为1,( , )( , )0,x y Df x y ab pìÎï= íïî其它7 7 、 设随机变量 (2, 3) X N ， (3,0.4) Y B ，X X 、Y Y 相互独立，则一本概率统计练习四答案第 12 页（共 4 页）X+2Y E （- ）= = ， D(2X-3Y-1) = = 8、 、3 3 1( ) , ( ) , ( )3 7 4P A P B A P B = = = 已知，则 ( ) P B A = 9 、已知 2 EX =- ， 1 DX = = ， 2 EY = = ， 4 DY = = ， 0.5XYr r = - ， ， 则 6 P X Y + ³ £ 10、 、 若 ) ( n t X ，那么 2X。三、解答题 11、 、 设甲袋中有三个红球及一个白球，乙袋中有四个红球及两个白球，从甲袋中任取一个球，不看颜色，放入乙袋中后，再从乙袋中任取一个球（1 1 ）求从乙袋中取到红球的概率：（2 2 ）若已知从乙袋中取到的是红球，求起先从甲袋中拿出的也是红球的概率。解：设 A A 表示从甲袋中拿到红球，B B 表示从乙袋中拿到红球（1 1） (2)12、 、 甲、乙二人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为12，乙的命中率为23，以 X Y 和 分别表示甲和乙的命中次数。(1)求 求 ( , ) X Y 的分布律；(2)求 求 ( ) E XY 。解：（1 ）(2) 13 、设随机变量 ( , ) X Y 的分布密度为2 ,01,0 1( , )0,cxy x yf x yì < < < <= íî其它地方，求（1 1 ）参数 c ；（2 2 ） 1 P X Y + < ;(3)DX (4)X 与 Y 是否相互独立，为什么？解：（1 1 ）（2 2）一本概率统计练习四答案第 13 页（共 4 页）（3 3） （4 4 ）14 、设总体 X 听从匀称分布 ( , ) U a b , , a 已知，求 b 的矩估计和极大似然估计量。解：（1 1 ）(2)15 、某车间生产滚珠，已知直径2 ( , ) X N m s 且标准差为 5 0.15 毫米，现从某天生产的产品中随机抽取 9 9 ， 个，经测试，已经算得这 9 9 个滚珠直径的均值为 14.9 x = （毫米），求直径均值的置信水平为 5 0.95 的置信区间。附表：标准正态分布函数 ( ) x F 取值表x 1.281.6451.962.33( ) x F 0.9000.9500.9750.990解16 、某工厂采纳新的方法处理废水，测量其中所含某种有毒物质的浓度，得到 10个数据（单位：毫克/ 升）：22, 14, 17, 13, 21, 16, 15, 16, 19, 18 ，而以往用老办为 法处理后，该种有毒物质的平均浓度为 19 ，问新处理方法是否比老处理方法效果好？（设该种有毒物质的浓度听从正态分布，取显著性水平 0.05 a = ）。附：96 . 1 645 . 1228 . 2 ) 10 ( 262 . 2 ) 9 ( 812 . 1 ) 10 ( 833 . 1 ) 9 (025 . 0 05 . 0025 . 0 025 . 0 05 . 0 05 . 0= = = = =u ut t t t 解：