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中考数学第三轮冲刺解答题：圆 专题复习1、如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，AB6，AD平分BAC，交BC于点E，交O于点D，连接BD（1）求证：BADCBD；（2）若AEB125，求的长（结果保留）2、如图，已知AB是O的直径，点P是O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在O上（1）求证：OPBC；（2）过点C作O的切线CD，交AP的延长线于点D如果D90，DP1，求O的直径3、如图，正六边形ABCDEF内接于O，BE是O的直径，连接BF，延长BA，过F作FGBA，垂足为G（1）求证：FG是O的切线；（2）已知FG2，求图中阴影部分的面积4、如图，AB为O的直径，AC平分BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，AFCACD（1）求证：直线CF是O的切线；（2）若DE2CE2求AD的长；求ACF的周长（结果可保留根号）5、如图，AC是O的直径，PA切O于点A，PB切O于点B，且APB60（1）求BAC的度数；（2）若PA1，求点O到弦AB的距离6、如图，在ABC中，以AC为直径的O交AB于点D，连接CD，BCDA（1）求证：BC是O的切线；（2）若BC5，BD3，求点O到CD的距离7、如图，中，是的外接圆，的延长线交边于点（1）求证：；（2）当是等腰三角形时，求的大小；（3）当，时，求边的长8、如图，在平行四边形中，是对角线，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接（1）求证：与相切；（2）若，求阴影部分的面积9、如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作O，点E在BC边上，连结AE交O于点F，连结BF并延长交CD于点G（1）求证：ABEBCG；（2）若AEB55，OA3，求的长（结果保留）10、如图，是的外接圆，是的直径，（1）求证：是的切线；（2）若，垂足为交与点；求证：是等腰三角形11、如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M求证：DC是O的切线若AC4MC且AC8，求图中阴影部分的面积在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值12、如图，在RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：AADE；（2）若AD8，DE5，求BC的长13、如图，中，是的外接圆，的延长线交边于点（1）求证：；（2）当是等腰三角形时，求的大小；（3）当，时，求边的长14、如图，在RtABC内接于O，ACB90，BC2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DEAC于点E，DAEABC，DE1，连接DO交O于点F（1）求证：AD是O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB求证：FG2GOGB15、如图，在中，以为直径的O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且（1）求证：是O的切线；（2）当时，求的长16、如图，在中，以为直径的O交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为（1）求证：平分；（2）若，求的值17、如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与O相交于E，F两点，P是O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足PCAABC（1）求证：PA是O的切线；（2）证明：EF24ODOP；（3）若BC8，tanAFP，求DE的长18、如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆O相交于点D，过D作直线DGBC（1）求证：DG是O的切线；（2）若DE6，BC6，求优弧的长19、如图，AB是O的直径，点C为O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FCFD（1）求证：FC是O的切线；（2）当点E是的中点时，若BAC60，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；若tanABC，且AB20，求DE的长20、如图1，已知O外一点P向O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交O于点B，连接AO并延长交O于点C，过点C作CDPB，分别交PB于点E，交O于点D，连接AD（1）求证：APODCA；（2）如图2，当ADAO时求P的度数；连接AB，在O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由21、定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示（2）如图2，四边形内接于，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若是的直径求的度数；若，求的面积参考答案2021年中考数学第三轮冲刺解答题：圆 专题复习1、如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，AB6，AD平分BAC，交BC于点E，交O于点D，连接BD（1）求证：BADCBD；（2）若AEB125，求的长（结果保留）【解答】（1）证明：AD平分BAC，CADBAD，CADCBD，BADCBD；（2）解：连接OD，AEB125，AEC55，AB为O直径，ACE90，CAE35，DABCAE35，BOD2BAD70，的长2、如图，已知AB是O的直径，点P是O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在O上（1）求证：OPBC；（2）过点C作O的切线CD，交AP的延长线于点D如果D90，DP1，求O的直径【解答】（1）证明：A关于OP的对称点C恰好落在O上AOPCOP，AOPAOC，又ABCAOC，AOPABC，POBC；（2）解：连接PC，CD为圆O的切线，OCCD，又ADCD，OCAD，APOCOP，AOPCOP，APOAOP，OAAP，OAOP，APO为等边三角形，AOP60，又OPBC，OBCAOP60，又OCOB，BCO为等边三角形，COB60，POC180（AOP+COB）60，又OPOC，POC也为等边三角形，PCO60，PCOPOC，又OCD90，PCD30，在RtPCD中，PDPC，又PCOPAB，PDAB，AB4PD43、如图，正六边形ABCDEF内接于O，BE是O的直径，连接BF，延长BA，过F作FGBA，垂足为G（1）求证：FG是O的切线；（2）已知FG2，求图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接OF，AO，ABAFEF，ABFAFBEBF30，OBOF，OBFBFO30，ABFOFB，ABOF，FGBA，OFFG，FG是O的切线；（2）解：，AOF60，OAOF，AOF是等边三角形，AFO60，AFG30，FG2，AF4，AO4，AFBE，SABFSAOF，图中阴影部分的面积4、如图，AB为O的直径，AC平分BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，AFCACD（1）求证：直线CF是O的切线；（2）若DE2CE2求AD的长；求ACF的周长（结果可保留根号）【解答】（1）证明：AC平分BAD，BACDAC，C是弧BD的中点OCBDBEDE，AFCACD，ACDABD，AFCABD，BDCF，OCCF，OC是半径，CF是圆O切线；（2）解：设OCRDE2CE2，BEDE2，CE1OER1，在RtOBE中（R1）2+22R2解得 ROE1，由（1）得，OAOB，BEDE，AD2OE3；连接BCBDCF，BE2，OE，RCF，OF，AFOF+OA，在RtBCE中，CEl，BE2，BCAB是直径，ACB为直角三角形AC2ACF周长AC+FC+AF10+25、如图，AC是O的直径，PA切O于点A，PB切O于点B，且APB60（1）求BAC的度数；（2）若PA1，求点O到弦AB的距离【解答】解：（1）PA切O于点A，PB切O于点B，PAPB，PAC90，APB60，APB是等边三角形，BAP60，BAC90BAP30；（2）作ODAB于D，如图所示：则ADBDAB，由（1）得：APB是等边三角形，ABPA1，AD，BAC30，ADOD，OD，即求点O到弦AB的距离为6、如图，在ABC中，以AC为直径的O交AB于点D，连接CD，BCDA（1）求证：BC是O的切线；（2）若BC5，BD3，求点O到CD的距离【解答】（1）证明：AC是O的直径，ADC90，A+ACD90，BCDA，ACD+BCD90，ACB90，BC是O的切线；（2）解：过O作OHCD于H，BDCACB90，BB，ACBCDB，AB，AD，OHCD，CHDH，AOOC，OHAD，点O到CD的距离是7、如图，中，是的外接圆，的延长线交边于点（1）求证：；（2）当是等腰三角形时，求的大小；（3）当，时，求边的长【解答】（1）证明：连接，（2）解：如图2中，延长交于若，则，若，则，若，则与重合，这种情形不存在综上所述，的值为或（3）如图3中，作交的延长线于则，设，8、如图，在平行四边形中，是对角线，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接（1）求证：与相切；（2）若，求阴影部分的面积【详解】（1）证明：连接 四边形是平行四边形，是的半径与相切（2）解：，是等边三角形，在中，9、如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作O，点E在BC边上，连结AE交O于点F，连结BF并延长交CD于点G（1）求证：ABEBCG；（2）若AEB55，OA3，求的长（结果保留）【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB为O的直径，ABEBCGAFB90，BAF+ABF90，ABF+EBF90，EBFBAF，在ABE与BCG中，ABEBCG（ASA）；（2）解：连接OF，ABEAFB90，AEB55，BAE905535，BOF2BAE70，OA3，的长10、如图，是的外接圆，是的直径，（1）求证：是的切线；（2）若，垂足为交与点；求证：是等腰三角形【详解】解：(1)证明：连接，为圆的直径，又又点在圆上，是的切线(2) 又是等腰三角形11、如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M求证：DC是O的切线若AC4MC且AC8，求图中阴影部分的面积在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值【解答】解：过点O作OGCD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分BCD，OHBC，OGCD，OHOG，OH、OG都为圆的半径，即DC是O的切线；AC4MC且AC8，OC2MC4，MCOM2，OH2，在直角三角形OHC中，HOCO，OCH30，COH60，HC，S阴影SOCHS扇形OHMCHOHOH22；作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，PMNP，PH+PMPH+PNHN，此时PH+PM最小，ONOMOH，MOH60，MNH30，MNHHCM，HNHC2，即：PH+PM的最小值为2，在RtNPO中，OPONtan30，在RtCOD中，ODOCtan30，则PDOP+OD212、如图，在RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于点E（1）求证：AADE；（2）若AD8，DE5，求BC的长【解答】（1）证明：连接OD，DE是切线，ODE90，ADE+BDO90，ACB90，A+B90，ODOB，BBDO，ADEA（2）解：连接CDADEA，AEDE，BC是O的直径，ACB90，EC是O的切线，EDEC，AEEC，DE5，AC2DE10，在RtADC中，DC6，设BDx，在RtBDC中，BC2x2+62，在RtABC中，BC2（x+8）2102，x2+62（x+8）2102，解得x，BC13、如图，中，是的外接圆，的延长线交边于点（1）求证：；（2）当是等腰三角形时，求的大小；（3）当，时，求边的长【解答】（1）证明：连接，（2）解：如图2中，延长交于若，则，若，则，若，则与重合，这种情形不存在综上所述，的值为或（3）如图3中，作交的延长线于则，设，14、如图，在RtABC内接于O，ACB90，BC2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DEAC于点E，DAEABC，DE1，连接DO交O于点F（1）求证：AD是O的切线；（2）连接FC交AB于点G，连接FB求证：FG2GOGB【解答】证明：（1）O为RtABC的外接圆O为斜边AB中点，AB为直径ACB90ABC+BAC90DAEABCDAE+BAC90BAD180（DAE+BAC）90ADABAD是O的切线（2）延长DO交BC于点H，连接OCDEAC于点EDEA90AB绕点A旋转得到ADABAD在DEA与ACB中DEAACB（AAS）AEBC2，ACDE1ADABO为AB中点AOABDAOAED90DAOAEDADOEADDOEAOHBACB90，即DHBCOBOCOH平分BOC，即BOHBOCFOGBOH，BFGBOCFOGBFGFGOBGFFGOBGFFG2GOGB15、如图，在中，以为直径的O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且（1）求证：是O的切线；（2）当时，求的长【详解】（1）证明：如图，连接，是直径， ， ， ，即又是的半径，是的切线 （2）解：， 设，解得经检验是所列分式方程的解16、如图，在中，以为直径的O交于点，与过点的切线互相垂直，垂足为（1）求证：平分；（2）若，求的值【详解】（1）如图，连接OD由圆的切线的性质得：又则平分；（2）如图，连接BD由圆周角定理得：在和中，设，则，且在和中，即解得或（不符题意，舍去）经检验，是所列分式方程的解则在中，故值为17、如图，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与O相交于E，F两点，P是O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足PCAABC（1）求证：PA是O的切线；（2）证明：EF24ODOP；（3）若BC8，tanAFP，求DE的长【解答】（1）证明D是弦AC中点，ODAC，PD是AC的中垂线，PAPC，PACPCAAB是O的直径，ACB90，CAB+CBA90又PCAABC，PCA+CAB90，CAB+PAC90，即ABPA，PA是O的切线；（2）证明：由（1）知ODAOAP90，RtAODRtPOA，OA2OPOD又OAEF，EF2OPOD，即EF24OPOD（3）解：在RtADF中，设ADa，则DF3aODBC4，AOOF3a4OD2+AD2AO2，即42+a2（3a4）2，解得a，DEOEOD3a818、如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆O相交于点D，过D作直线DGBC（1）求证：DG是O的切线；（2）若DE6，BC6，求优弧的长【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，点E是ABC的内心，AD平分BAC，即BADCAD，ODBC，BHCH，DGBC，ODDG，DG是O的切线；（2）解：连接BD、OB，如图，点E是ABC的内心，ABECBE，DBCBAD，DEBBAD+ABEDBC+CBEDBE，DBDE6，BHBC3，在RtBDH中，sinBDH，BDH60，而OBOD，OBD为等边三角形，BOD60，OBBD6，BOC120，优弧的长819、如图，AB是O的直径，点C为O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FCFD（1）求证：FC是O的切线；（2）当点E是的中点时，若BAC60，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；若tanABC，且AB20，求DE的长【解答】解：（1）证明：连接OC，OBOC，OBCOCB，PFAB，BPD90，OBC+BDP90，FCFDFCDFDCFDCBDPOCB+FCD90OCFCFC是O的切线（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形理由如下：AB是直径，ACB90，BAC60，BOC120，点E是的中点，BOECOE60，OBOEOCBOE，OCE均为等边三角形，OBBECEOC四边形BOCE是菱形；若tanABC，且AB20，求DE的长tanABC，设AC3k，BC4k（k0），由勾股定理得AC2+BC2AB2，即（3k）2+（4k）2202，解得k4，AC12，BC16，点E是的中点，OEBC，BHCH8，OEBHOBPE，即10810PE，解得：PE8，由勾股定理得OP6，BPOBOP1064，tanABC，即DPBP3DEPEDP83520、如图1，已知O外一点P向O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交O于点B，连接AO并延长交O于点C，过点C作CDPB，分别交PB于点E，交O于点D，连接AD（1）求证：APODCA；（2）如图2，当ADAO时求P的度数；连接AB，在O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）证明：如图1，PA切O于点A，AC是O的直径，PAOCDA90CDPBCEP90CEPCDAPBADPOACAOAPODCA（2）如图2，连接OD，ADAO，ODAOOAD是等边三角形OAD60PBADPOAOAD60PAO90P90POA906030存在如图2，过点B作BQAC交O于Q，连接PQ，BC，CQ，由得：POA60，PAO90BOCPOA60OBOCACB60BQCBAC30BQAC，CQBCBCOBOACBQOBA（AAS）BQABOBAOPA30ABAPBQAPPAACBQAP四边形ABQP是平行四边形ABAP四边形ABQP是菱形PQABtanACBtan6021、定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示（2）如图2，四边形内接于，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若是的直径求的度数；若，求的面积【解答】解：（1）平分，平分，（2）如图1，延长到点，四边形内接于，又，平分，是的平分线，是的外角平分线，是中的遥望角（3）如图2，连接，是中的遥望角，又，是的直径，如图3，过点作于点，过点作于点，是的直径，平分，在中，在中，在中，设，则有，