八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想.docx

八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想八年级数学竞赛例题专题-配方法 专题25配方法阅读与思索把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是探讨相等关系，探讨不等关系的常用技巧.配方法的作用在于变更式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2、3、4、配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.(2)具有整体把握题设条件的实力，即擅长将某项拆开又重新安排组合，得到完全平方式. 例题与求解【例1】已知实数，满意，那么_(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值. 【例2】若实数，c满意，则代数式的最大值是()A、27B、18C、15D、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式. 配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1)非负数的最小值为零；(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】已知，求a+b+c的值.解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，经常用到配方法. 【例4】证明数列49，4489，444889，44448889，的每一项都是一个完全平方数.解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可. 几个好玩的结论：(1)(2)这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个. 【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满足，往上走一层楼梯感到3分不满足，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满足的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即干脆从楼梯上楼）(全国初中数学联赛试题) 解题思路：通过引元，把不满足的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于变更代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：原式中n的系数为奇数，不能干脆配方，可想方法化奇为偶，解决问题. 实力训练1、计算=_.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知，则.3、，y为实数，且，则+y的值为_.4、当2时，化简代数式，得_.5、已知，当=_，y=_时，的值最小.(全国通讯赛试题) 6、若，则MN的值()A、负数B、正数C、非负数D、可正可负7、计算的值为()A、1B、C、D、(全国初中数学联赛试题)8、设，,为实数，则x，y，z中至少有一个值()A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数肯定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()A、B、C、D、E、10、已知实数，c满意，则a+b+c的值等于()A、2B、3C、4D、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并常常用到一下重要命题：设x1，x2，x3,xn为实数.(1)若则x1，x2，x3,xn中至少有(或存在)一个为零；(2)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个大于零；(3)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个小于零. 11、解方程组(苏州市竞赛试题) 12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少？(全国初中数学联赛试题) 13、已知，且，为自然数，求，的值.(天津市竞赛试题) 13、设a为质数，b为正整数，且，求，的值.(全国初中数学联赛试题) 14、某宾馆经市场调研发觉，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.(1)依据图象求y与x之间的函数关系式(0160)；(2)从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？ 八年级数学竞赛例题专题-面积的计算 专题23面积的计算 阅读与思考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必需驾驭如下与面积有关的重要学问：1.常见图形的面积公式；2等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3.等比定理：(1)同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2)相像三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.熟识下列基本图形、基本结论：例题与求解【例1】如图，ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为，则_.（黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.【例2】如图，在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD4，CE6，那么ABC的面积等于()(全国初中数学联赛)A12B14C16D18解题思路：由中点想到三角形中位线，这样ABC与四边形BCDE面积存在肯定的关系.【例3】如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使BEABCFBCDGCDAHDA，若S四边形EFGH2S四边形ABCD，求的值.解题思路：添加协助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于的方程.【例4】如图，P，Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，PA与CQ相交于点E，且PADQAD，求证：S矩形ABCDSAPQ.解题思路：图形含全等三角形、相像三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化. 【例5】如图，在RtABC中，A90°，AB8，AC6，若动点D从点B动身，沿线段BA运动到点A为止，移动速度为每秒2个单位长度.过点D作DEBC交AC于点E，设动点D运动的时间为秒，AE的长为y.(1)求出y关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当为何值时，BDE的面积S有最大值，最大值为多少？(江西省中考试题)解题思路：对于(1)利用ADEABC可得y与的关系式；对于(2)先写出S关于的函数关系式，再求最大值. 【例6】如图，设P为ABC内随意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D，E，F.求证：(1)PDADPEBEPFCF1；(2)PAADPBBEPCCF2解题思路：过点A，P分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把PAAD转化为面积比，利用面积法证明. 能力训练A级1如图，YABCD中，AEBE12，SAEF6cm2，则SCDF的值为_.(济南市中考试题)2如图，正六边形ABCDEF的边长为23cm，P为正六边形内任一点，则点P到各边距离之和为_.3如图，P是边长为8的正方形ABCD外一点，PBPC，PBD的面积等于48，则PBC的面积为_.(北京市竞赛试题) 4如图，已知BOF，AOF，BOD，COE的面积分别为30，40，35，84，则ABC的面积为_.(浙江省竞赛试题)5如图，已知AD是RtABC斜边BC上的高，DE是RtADC斜边上的高，假如DCAD12，SDCEa，那么SABC等于()(金华市中考试题)A4aB9aC16aD25a6如图，已知M是YABCD边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分面积与YABCD的面积之比为（）（山西省中考试题）A16B14C13D5127如图，在ABC中，DEBC，DE分别交AB，AC于点D，E，若SADE2SDCE，则SADESABC等于()(浙江省宁波市中考试题)A14B12C23D498如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（）cm2.(广东省竞赛试题)A4B23C33D439如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD和ABCD，且正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的中心，当正方形ABCD绕A转动时，两个正方形重合部分的面积必定是一个定值.这个结论对吗？证明你的推断.（“希望杯”邀请赛试题） 10如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB，CD的中点分别为K，M.求证：S四边形ABCDSABMSDCK.11如图1，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，SDMC，SDAC，SDBC分别表示DMC，DAC，DBC的面积，当ABCD时，有SDMCSDACSDBC2.(1)如图2，若图1中AB与CD不平行时，式是否成立？请说明理由.(2)如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，问SDMC与SDAC和SDBC有何相等关系？试证明你的结论.（安徽省中考试题）12如图，在ABC中，ACB90°，ABC30°，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0°180°），得到ABC.(1)如图1，当ABCB时，设AB与CB相交于点D，证明：ACD是等边三角形；(2)如图2，连接AA，BB，设ACA和BCB的面积分别为SACA和SBCB.求证：SACASBCB13.(3)如图3，设AC的中点为E，AB的中点为P，ACa，连接EP，当_时，EP长度最大，最大值是_.（安徽省中考试题） B级1如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则CDE的面积等于_cm2.（武汉市竞赛试题）2如图，P为正方形ABCD内一点，PAPB10，并且P到CD边的距离也等于10，那么正方形ABCD的面积是_.(北京市竞赛试题)3如图，四边形ABCD中，点E，F分别在BC，DC上，DFFC1，CEBE2，若ADF的面积为m，四边形AECF的面积为n(nm)，则四边形ABCD的面积为_.(全国初中数学联赛试题) 4如图，图形ABCD中，ABCD，AC和BD相交于点O，若AC5，BD12，中位线长为132，AOB的面积为S1，OCD的面积为S2，则S1S2_.(山东省竞赛试题) 5如图，分别延长ABC的三边AB，BC，CA至A，B，C，使得AA3AB，BB3BC，CC3AC，若SABC1，则SABC等于().A18B19C24D27(山东省竞赛试题)6如图，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于点I，BD和AF相交于点H，那么四边形BEIH的面积是()A13BC715D815(江苏省竞赛试题)7如图，矩形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的点，已知SABESADF13SABCD，则SAEFSCEF的值等于()(北京市竞赛试题)A2B3C4D5 8(1)探究：如图1，在YABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，FABEAD90°，连接AC，EF.在图中找一个与FAE全等的三角形，并加以证明.(2)应用：以YABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若YABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为_.（长春市中考试题）9如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABADDC2cm，BC4cm，在等腰PQR中，QPR120°，底边QR6cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，假如等腰PQR以1cm/s的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为Scm2.(1)当t4时，求S的值；(2)当4t10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.(广州市中考试题)10有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为cm(010)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积Scm2.(1)当0时，S_，当时，S_；(2)当04时，求S关于的函数关系式；(3)当410时，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值.(徐州市中考试题) 11如图，设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点，在底边BC保持不变的状况下，让顶点A至底边BC的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时的值变大、变小、还是不变?证明你的结论. 12(1)请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；(2)如图2，点M是矩形ABCD内肯定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；(3)如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB，OB6，BC4，CD4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处.为了便利驻区单位，打算过点P修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在?若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由.(陕西省中考试题) 八年级数学竞赛例题专题-面积法 专题27面积法阅读与思索平面几何学的产生源于人们测量土地面积的须要，面积关联着几何图形的重要元素边与角所谓面积法是指借助面积有关的学问来解决一些干脆或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法有很多数学问题，虽然题目中没有干脆涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的学问求解，经常简捷明快用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采纳不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果下列状况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为_(全国初中数学联赛试题)解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，AOB中，O，OAOB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，假如正方形CDEF的面积是AOB的面积的，则OC：OD等于()A3：1B2：1C3：2D5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决【例3】如图，在ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BEDF，BE与DF交于G，求证：BGCDGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证BGCDGC，即证CG为BGD的平分线，不妨用面积法找寻证题的突破口【例4】如图，设P为ABC内随意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧转化的基本学问有：(1)等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2)等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3)相像三角形面积比，等于它们相像比的平方实力训练1如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BMEC，垂足为M，则BM_.（福建省中考试题）2如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP2BP，CEDP于E，AD，AB，则CE_.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR13，则该八边形的面积为_.（江苏省竞赛试题）4.在ABC中，三边长为，表示边上的高的长，的意义类似，则()的值为_.（上海市竞赛试题）5如图，ABC的边AB2，AC3，分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是_.（全国竞赛试题）6如图，过等边ABC内一点P向三边作垂线，PQ6，PR8，PS10，则ABC的面积是()A.B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7如图，点D是ABC的边BC上一点，若CADDAB，AC3，AB6，则AD的长是()A2B.C.3D.8如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，那么恒成立的关系式是()A.+=B.+=C.+=D+=9已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，ABC的高为若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：.请干脆用上述信息解决下列问题：当点P在ABC内（如图2）、点P在ABC外（如图3）这两种状况时，上述结论是否还成立？若成立请赐予证明；若不成立，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，APBPCP6，设PD，PE，PF，若，求的值（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知ABCE，BCAD，BECD，DEAC，求证：AEBD.（加拿大数学奥林匹克试题） 12.如图，在锐角ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点.P，Q，R分别是ADF，BDE，CEF的三条中线的交点.(1)求DEF与ABC的面积比；(2)求PDF与ADF的面积比；(3)求多边形PDQERF与ABC的面积比.13如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值（上海市竞赛试题）14.如图，始终线截ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：（梅涅劳斯定理）15如图，在ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题） 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页