九年级数学相似三角形的判定培优教程.doc
九年级数学相似三角形的判定培优教程考点方法破译1.理解掌握三角形相似的三个判定定理，能根据已知条件选择合适的定理证明三角形相似;2.能灵活根据需要找相似三角形，并能熟练进行比例变换、等积变换;3.会进行数形转化，将等积问题、比例问题、求边长及证角相等等问题转化为证相似求解.经典考题赏析【例1】(新疆)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是( )【解法指导】本题主要用SAS和SSS进行判定，若能运用排除法就更便捷，方法是根据ABC的最大角等于135,而B、C、D的钝角均小于135，且A中三角形夹钝角两边之比为1:2，与ABC夹钝角两边之比相等，由SAS可判定它们相似.本题应选A.【变式题组】1.(沈阳)如图，AC是矩形ABCD的对角线,E是边BC延长线上一点，AE与CD交于点F，则图中相似三角形共有( )对ABC第4题图DABCDO第3题图ADBC第2题图A.2对B.3对C.4对D.5对ADF第1题图第1题图BCE122.(滨州)如图所示，给出下列条件：B=ACD；ADC=ACB；AC2=ADAB。其中单独能够判定ABCACD的个数为( )A.1B.2C.3D.43.(山西)如图，AB是O的直径,AD是O的切线，点C在O上，BC/OD,AB=2,OD=3，则BC的长为( )A.B. C.D.4.(牡丹江)如图,ABC中，CDAB于D，一定能确定ABC为直角三角形的条件的个数是( )1=A，B+2=90,BC：AC：AB=3：4：5，ACBD=ACCDA1B. 2C.3D. 4【例2】(潍坊)如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，过A作ADBP，交BP于D点，连结AB、BC.(1)求证ABCADB;(2)若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长.【解法指导】(1)证明:AC是圆O的直径，ABC=90，又ADBP，ADB=90，ABC=ADB,又PB是圆的切线，ABD=ACBABCDPO在ABC和ADB中:ABCADB；(2) 连结OP，在RtAOP中，AP=12厘米，OA=5厘米，根据勾股定理求得OP=13厘米，又由已知可证得ABCPAO，【变式题组】ABCPO5.(清远)如图，已知AB是O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC.(1)求证:ABCPOA；(2)若OB=2，OP=.求BC线段的长.6.(梅州)如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EFDE交BC于点F.（1）ADEBEF；（2）设正方形的边长为4,AE=x，BF=y.当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值.ABCDEF【例3】(怀化)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N，求证:(1)AE=CG;(2)ANND=CNMN.ABCDEFGNM【解法指导】证明:（1）四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形AD=CD，DE=DG,ADC=EDC=90，ADE=CDG,ADECDG,AE=CG。（2）由(1)得ADECDG,DAE=DCG，又ANM=CND,，即ANDN=CNMNAMNCDN【变式题组】ABCDEFG7.(泰安)如图，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2=FBFC；(2)若G是BC的中点，连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由.【例4】(安徽)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,DME=A=B=，且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG.如果=45，AB=，AC=3，求FG长。【解法指导】解:(1)AMFBGM,DMGDBM,EMFEAM(写出两对即可)以下证明AMFBGM.AFM=DME+E=A+E=BMG，A=BAMFBGM.（2）解:当=45时，可得ACBC且AC=BC,M为AB的中点，AM=BM=又AMFBGM，又AC=BC=cos45=4，CG=4-=，CF=4-3=1FG=【变式题组】ABCDMN8. (中山)正方形ABED边长为4,M,N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明:RtABMRtMCN;(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;(3)当M点运动到什么位置时RtABMRtAMN，求x的值.【例5】(全国竞赛)如图，已知四边形ABCD的内接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E,AE=EC，AB=AE，且BD=,求四边形ABCD的面积.【解法指导】本题要根据等积式化成比例式，再利用两边对应成比例,夹角相等判定ABEACB，推出ABE=ACB.(要注意逆向思维的应用)解：由题设得AB2=2AE2=AEAC,AB：AC=AE：AB，又EAB=BAC，ABEACB，ABE=ACB，从而AB=AD。连结AO，交BD于H,则BH=HD=.OH=，AH=OA-OH=2-1=1.，E是AC的中点，SABE=SBCE，SADE=SCDE，SABD=SBCD，S四边形ABCD=2SABD=。【变式题组】9.(全国联赛)在锐角ABC中，ADBC,D为垂足，DEAC,E为垂足，DFAB,F为垂足.O为ABC的外心.求证:(1)AEFABC；(2)AOEF.演练巩固 反馈提高1. (南昌)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）2. (恩施)如图，在ABC中，C=90,B=60,D是AC上一点,DEAB于E，且CD=2,DE=1，则BC的长为( )A.2B.C.D.3. (梧州)如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，则等于（ ）A.B.C.D.4.(山西)如图，在RtABC中，ACB=90,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为( )A.B.C.D.5.(抚顺)如图，已知点E、F分别是ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G,FG=2，则CF的长为( )A.4B.4.5C.5D.66.(烟台)如图，ABC与AEF中，AB=AE,BC=EF,B=E,AB交EF于D.给出下列结论:AFC=C；DF=CF；ADEFDB;BFD=CAF.其中正确的结论是_(填写所有正确结论的序号).ABCDE7.(肇庆)如图，在ABC中，AB=AC,A=36,AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE.(1)求证:CBE=36；(2)求证：AE2=ACEC.ABCDEO8.(怀化)如图，直线DE经过O上的点C，并且OE=OD,EC=DC,O交直线OD于A、B两点，连接BC、AC,OC.求证:(1)OCDE；(2)ACDCBD.培优升级 奥赛检测1.(吉林)如图，O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF.(1)求证:CBEAFB；(2)当时，求的值FBACDEO2.(恩施)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFC摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m,CD=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.(3)以ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2)在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2.A(4)在旋转过程中，(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明;若不成立,请说明理由.AABCDEGFCEODBG图2图1F3.(荆门)如图，半径为的O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.(1)求证：PAPB=PCPD；C(2)设BC中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证；EFAD;F(3)若AB=8,CD=6，求OP的长.PBAEODPNMFEDCBA4.(全国联赛)如图.四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N.证明：AFN=DME.
