概率论与数理统计各章疑难解答.docx

概率论与数理统计各章疑难解答其次章疑 难 分 析 1 1 、随机变量与一般函数随机变量是定义在随机试验的样本空间 W 上，对试验的每一个可能结果 W Î w ，都有唯一的实数 ) ( w X 与之对应.从定义可知：一般函数的取值是按肯定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又一般函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间. 2 2 、分布函数 ) (x F 的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数 ) (x F 左连续，但大多数书籍定义分布函数 ) (x F 为右连续. 左连续与右连续的区分在于计算 ) (x F 时， x X = 点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于 0 1= = x X P ，故定义左连续或右连续没有什么区分；对于离散型随机变量，由于 0 1¹ = x X P ，则定义左连续或右连续时 ) (x F 值就不相同，这时，就要留意对 ) (x F 定义左连续还是右连续.第三章疑 难 分 析 1 1 、事务 , y Y x X £ £ 表示事务 x X £ 与 y Y £ 的积事务，为什么 , y Y x X P £ £ 不肯定等于 y Y P x X P £ × £ ？犹如仅当事务 B A、 相互独立时，才有 ) ( ) ( ) ( B P A P AB P × = 一样，这里 , y Y x X P £ £ 依乘法原理 | , x X y Y P x X P y Y x X P £ £ × £ = £ £ .只有事务 x X P £ 与 y Y P £ 相互独立时，才有 , y Y P x X P y Y x X P £ × £ = £ £ ，因为 | y Y P x X y Y P £ = £ £ . 2 2 、二维随机变量 ) , ( Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由) | ( ) ( ) , (|x y p x p y x pX Y X× = 知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布. 但是，假如 Y X、 相互独立，则 , y Y P x X P y Y x X P £ × £ = £ £ ，即) ( ) ( ) , ( y F x F y x FY X× = .说明当 Y X、 独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布. 3 3 、两个随机变量相互独立的概念与两个事务相互独立是否相同？为什么？两个随机变量 Y X、 相互独立，是指组成二维随机变量 ) , ( Y X 的两个重量 Y X、 中一个重量的取值不受另一个重量取值的影响，满意 , y Y P x X P y Y x X P £ × £ = £ £ .而两个事务的独立性，是指一个事务的发生不受另一个事务发生的影响，故有) ( ) ( ) ( B P A P AB P × = .两者可以说不是一个问题. 但是，组成二维随机变量 ) , ( Y X 的两个重量 Y X、 是同一试验 E 的样本空间上的两个一维随机变量，而 B A、 也是一个试验1E 的样本空间的两个事务.因此，若把 x X £ 、 y Y £ 看作两个事务，那么两者的意义近乎一样，从而独立性的定义几乎是相同的. 第四章疑 难 分 析 1 1 、 随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就驾驭了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不简单的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简洁易求，也能满意我们探讨分析详细问题的须要，所以在概率论中许多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义. 例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为详细问题中的平均长度、平均时间、平均成果、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简洁而切实地解决我们面临的实际问题. 2 2 、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分肯定收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，肯定收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分肯定收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3 3 、相关系数XYr 反映了随机变量 X 和 Y 之间的什么关系？相关系数XYr 是用随机变量 X 和 Y 的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量 X和 Y 之间的相关程度.当 1 =XYr 时，称 X 与 Y 依概率 1 线性相关；当 0 =XYr 时，称 X 与Y 不相关；当 1 0 < <XYr 时，又分为强相关与弱相关. 4 4 、两个随机变量 X 与 Y 相互独立和不 相关 是一种什么样的关系？（1）若 X 、 Y 相互独立，则 X 、 Y 不相关.因为 X 、 Y 独立，则 ) ( ) ( ) ( Y E X E XY E = ，故 0 ) ( ) ( ) ( ) , cov( = - - = Y E X E XY E Y X ，从而 0 =XYr ，所以 X 、 Y 不相关. （2）若 X 、 Y 不相关，则 X 、 Y 不肯定独立.如：îíì £ +=. , 0, 1 , / 1) , (2 2其它 y xy x pp 因为 0 ) ( ) ( = = Y E X E ， 4 / 1 ) ( ) ( = = Y D X D0 , 0 ) , cov( = =XYY X r ，知 X 、 Y 不相关.但 p / 1 2 ) (2x x p X - = ， p / 1 2 ) (2y y p Y - = , ) ( ) ( ) , ( Y p x p y x py X¹ ,知 X 、 Y 不独立. （3）若 X 、 Y 相关，则 X 、 Y 肯定不独立.可由反证法说明. （4）若 X 、 Y 不相关，则 X 、 Y 不肯定不独立.因为 X 、 Y 不独立， ) ( ) ( ) ( Y E X E XY E ¹ ，但若 0 ) ( ) ( ) ( = = = XY E Y E X E 时，可以有 0 =XYr ，从而可以有 X 、 Y 不相关. 但是，也有特别状况，如 ) , ( Y X 听从二维正态分布时， X 、 Y 不相关与 X 、 Y 独立是等价的.