第3章 平面问题的有限元法PPT讲稿.ppt

第3章 平面问题的有限元法第1页，共59页，编辑于2022年，星期一v将将连续体体变换为离散化离散化结构构 将连续体划分为将连续体划分为有限有限多个、有限大小的多个、有限大小的单元单元，并使并使这些单元仅在这些单元仅在节点节点处连结起来，构成所谓处连结起来，构成所谓“离散化离散化结构结构”。3.1 结构的离散化结构的离散化第2页，共59页，编辑于2022年，星期一离散化要注意离散化要注意:1.1.单元形状的选择单元形状的选择:平面问题的单元，按其几何平面问题的单元，按其几何特性可分为两类：特性可分为两类：以三节点三角形为基础；以三节点三角形为基础；以任意四边形为基础。以任意四边形为基础。较高精度的三角形等参数单元；较高精度的三角形等参数单元；运用非常广泛的运用非常广泛的四边形等参数单元四边形等参数单元。这两类都可以增加节点也构成一系列单元：这两类都可以增加节点也构成一系列单元：首选三角形单元和等参数单元。首选三角形单元和等参数单元。第3页，共59页，编辑于2022年，星期一2.2.对称性的利用对称性的利用 利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称，可以取一半利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称，可以取一半来分析；若对于来分析；若对于x x轴和轴和y y轴都对称，可以取四分之一来分析。轴都对称，可以取四分之一来分析。3.3.单元的划分原则单元的划分原则 通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分布通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点第4页，共59页，编辑于2022年，星期一单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应力变化单元的形状和尺寸可以根据要求进行调整。对于重要或应力变化急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力变化缓慢的部位，急剧的部位，单元应划分得小些；对于次要和应力变化缓慢的部位，单元可划分得大些；中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡。单元可划分得大些；中间地带以大小逐渐变化的单元来过渡。单元的划分原则单元的划分原则 单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保证精度的单元数量要根据计算精度和计算机的容量来决定。在保证精度的前提下，尽可能减少单元数量。前提下，尽可能减少单元数量。不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。不要把不同厚度或不同材料的区域划分在一个单元里。第5页，共59页，编辑于2022年，星期一单元的划分原则单元的划分原则 根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角正弦成反比，根据误差分析，应力及位移的误差都和单元的最小内角正弦成反比，所以单元的边长力求接近相等。即单元的三（四）条边长尽量不要所以单元的边长力求接近相等。即单元的三（四）条边长尽量不要悬殊太大。悬殊太大。第6页，共59页，编辑于2022年，星期一4.4.节点的编号节点的编号应尽量使应尽量使同一单元的节点编号相差小些同一单元的节点编号相差小些，以减少整体刚度，以减少整体刚度矩阵的半带宽，节约计算机存储。矩阵的半带宽，节约计算机存储。上图，节点顺短边编号为好。上图，节点顺短边编号为好。第7页，共59页，编辑于2022年，星期一3.2 三角形常应变单元的位移模式和形函数三角形常应变单元的位移模式和形函数首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例，介绍有限首先以平面单元中最基本的三节点三角形单元为例，介绍有限元法。元法。单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下：节点位移节点位移内部各点内部各点位移位移应变应变应力应力节点力节点力 单元分析单元分析分为四步求出相邻各量之间的转换关系分为四步求出相邻各量之间的转换关系,综合起来综合起来,得出由节得出由节点位移求节点力的转换关系点位移求节点力的转换关系:单元刚度矩阵单元刚度矩阵位移模式位移模式第8页，共59页，编辑于2022年，星期一1.1.位移模式位移模式单元的若干个节点有基本未知量，即单元的若干个节点有基本未知量，即位移模式位移模式:单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单函数。单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单函数。反映单元的位移分布形态，是单元内的插值函数。反映单元的位移分布形态，是单元内的插值函数。在节点处等于该节点位移。在节点处等于该节点位移。位移模式可表示为：位移模式可表示为：N N为为形态矩阵形态矩阵（形函数矩阵形函数矩阵）第9页，共59页，编辑于2022年，星期一平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有平面问题每个节点位移分量有两个，所以整个单元有6 6个节点位个节点位移分量，即移分量，即6 6个自由度。个自由度。单元节点位移列阵单元节点位移列阵:第10页，共59页，编辑于2022年，星期一三角形单元有6个自由度，内部任一点的位移是由6个节点位移分量完全确定的，位移模式中应含有6个待定系数，所以位移模式位移模式可取为：位移函数一般用位移函数一般用多项式多项式来构造。来构造。位移模式位移模式:单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单函数。单元内任一点的位移表达式，假定为坐标的简单函数。反映单元的位移分布形态。反映单元的位移分布形态。第11页，共59页，编辑于2022年，星期一在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体分在弹性体内，位移变化非常复杂。有限元法将整个弹性体分割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似表达割成许多小单元，在每个单元内采用简单的函数来近似表达单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达整个弹单元的真实位移，将各单元连接起来，便可近似表达整个弹性体的真实位移函数。性体的真实位移函数。这种化整为零、化繁为简的方法，正是有限元法的精华。这种化整为零、化繁为简的方法，正是有限元法的精华。第12页，共59页，编辑于2022年，星期一假设节点i，j，m的坐标分别为(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)2.2.形函数形函数第13页，共59页，编辑于2022年，星期一联立求解左边3个方程，得：其中A为三角形单元的面积注意注意：为了使得出的面积值不为负值，节点：为了使得出的面积值不为负值，节点i,j,m的次序必须是逆时的次序必须是逆时针。至于将那个节点作为起始点针。至于将那个节点作为起始点i则没有关系。则没有关系。第14页，共59页，编辑于2022年，星期一同理，求解右边的三个方程，得到a4，a5，a6，解得：i，j，m轮换整理后得：第15页，共59页，编辑于2022年，星期一其中Ni，Nj，Nm是坐标的线性函数，反应了单元的位移形态，称为形（状）函数形（状）函数。第16页，共59页，编辑于2022年，星期一写成矩阵形式式中：I 二阶单位阵，N 形函数矩阵第17页，共59页，编辑于2022年，星期一3.3.三角形面积坐标三角形面积坐标定义：定义：在三角形内任一点在三角形内任一点P P，向三个角点，向三个角点（节点）连线，将原三角形分割成三个（节点）连线，将原三角形分割成三个子三角形，设子三角形的面积分别是：子三角形，设子三角形的面积分别是：A Ai i，A Aj j，A Am m，则：，则：即即面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比面积坐标定义为子三角形与原三角形面积之比；记为：记为：P P（L Li i，L Lj j，L Lm m）。）。第18页，共59页，编辑于2022年，星期一面积坐标的性质：面积坐标的性质：1.1.L Li i，L Lj j，L Lm m中只有两个是独立的。中只有两个是独立的。2.2.三角形三个角点处三角形三个角点处3.3.三条边上三条边上i-j:Li-j:Lm m=0 =0 j-m:Lj-m:Li i=0 =0 m-i:Lm-i:Lj j=0 =0 形心处：形心处：推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线上推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。第19页，共59页，编辑于2022年，星期一面积坐标与直角坐标的转换：面积坐标与直角坐标的转换：（i,j,m)(i,j,m)因此：即三角形面即三角形面积积坐坐标标就是三角形相就是三角形相应应的形函数。的形函数。第20页，共59页，编辑于2022年，星期一所以，位移模式也可以用面所以，位移模式也可以用面积积坐坐标标表示表示为为：(i,j,m)将面将面积积坐坐标标的表达式：的表达式：写成矩写成矩阵阵形式：形式：求逆得：求逆得：第第1行展开行展开为为面面积积坐坐标标性性质质1，第，第2行和第行和第3行展开即行展开即为为局部的面局部的面积积坐坐标标和整体和整体直角坐直角坐标标的关系：的关系：第21页，共59页，编辑于2022年，星期一例例 题题下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为a,a,厚度为厚度为t t，弹性模量为弹性模量为E,E,泊松比泊松比=0.3,=0.3,求形函数。求形函数。第22页，共59页，编辑于2022年，星期一1.1.单元应变单元应变应变矩阵为常量，单元内应变是常数3.3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵第23页，共59页，编辑于2022年，星期一2.2.单元应力单元应力S称为应应力力转换转换矩矩阵阵应用平面应力问题的弹性矩阵：应用平面应力问题的弹性矩阵：第24页，共59页，编辑于2022年，星期一 应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移是连续的。第25页，共59页，编辑于2022年，星期一 能量转换与守恒定律能量转换与守恒定律，是自然界基本的运动规律之一。，是自然界基本的运动规律之一。实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外力作用而变形时外实功原理：处于平衡状态的可变形固体，在受外力作用而变形时外力对其相应的位移所做的功（实功），等于积蓄在物体中的应变能力对其相应的位移所做的功（实功），等于积蓄在物体中的应变能（实应变能）。（实应变能）。能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。能量法的优点：与坐标系的选择无关，因而应用极为广泛。能量法与数学工具能量法与数学工具变分法的结合，导出虚位移（虚功）原理，变分法的结合，导出虚位移（虚功）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得到发展而更趋完使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得到发展而更趋完善。善。3.3.虚位移（功）原理虚位移（功）原理第26页，共59页，编辑于2022年，星期一单元节点力列阵：单元节点力列阵：单元节点虚位移列阵：单元节点虚位移列阵：节点力在虚位移所做的功：节点力在虚位移所做的功：简写为：简写为：4.4.单元刚度矩阵单元刚度矩阵第27页，共59页，编辑于2022年，星期一单元虚应变：单元虚应变：单元内应力在虚应变上所做的功（虚应变能）：单元内应力在虚应变上所做的功（虚应变能）：其中：其中：t t为单元厚度为单元厚度单元应力：单元应力：第28页，共59页，编辑于2022年，星期一单元刚度矩阵单元刚度矩阵k ke e取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单元的取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。对于三角形常应变单元：对于三角形常应变单元：单元刚度矩阵为对称矩阵。单元刚度矩阵为对称矩阵。第29页，共59页，编辑于2022年，星期一例例 题题下图为一平面应力的直角三角形单元，直角下图为一平面应力的直角三角形单元，直角边长均为边长均为a,a,厚度为厚度为t t，弹性模量为，弹性模量为E,E,泊松比泊松比=0.3,=0.3,求单元刚度矩阵。求单元刚度矩阵。第30页，共59页，编辑于2022年，星期一理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理；理论力学中质点、质点系（刚体）的虚位移原理；材料力学中杆件的虚位移原理。材料力学中杆件的虚位移原理。弹性力学中的弹性力学中的虚位移（虚功）原理虚位移（虚功）原理：在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小位移在外力作用下处于平衡状态的变形体，当给与该物体微小位移时，时，外力总虚功外力总虚功在数值上在数值上等于变形体的总虚应变能等于变形体的总虚应变能。虚：虚：微小的、任意的、可能的，变分的思路微小的、任意的、可能的，变分的思路实功实功是力在自己产生位移上所做的功，是力在自己产生位移上所做的功，虚功虚功是力在别的（人为的）是力在别的（人为的）因素产生的位移上做的功。所谓因素产生的位移上做的功。所谓”虚虚“并不是虚无，而是可能、并不是虚无，而是可能、虚设的意思。虚设的意思。“虚虚”的表达：的表达：l虚位移（虚功）原理：虚位移（虚功）原理：第31页，共59页，编辑于2022年，星期一3.4 单元位移函数的选择原则单元位移函数的选择原则三角形常应变单元简单，精度较差，要提高精度：三角形常应变单元简单，精度较差，要提高精度：1.1.增加单元数目和节点数目；增加单元数目和节点数目；2.2.采用更高精度的单元。采用更高精度的单元。FEM中的一系列工作，都是以中的一系列工作，都是以位移模式位移模式为基础的。所以当单元趋于很小时，即为基础的。所以当单元趋于很小时，即x,y0时，为了使时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了保证之解逼近于真解，即为了保证FEM收敛性收敛性,位移模式应满足下列条件：位移模式应满足下列条件：1.位移模式必须能反映单元的反映单元的刚体位移刚体位移。单元位移包含两部分：本单元的形变引起的位移；其他单元的形变引起的位移，单元位移包含两部分：本单元的形变引起的位移；其他单元的形变引起的位移，即刚体位移。在位移函数中，即刚体位移。在位移函数中，常数项即提供刚体位移常数项即提供刚体位移。2.位移模式必须能反映单元的反映单元的常量应变。常量应变。单元应变包含两部分：变量应变和常量应变。位移函数的单元应变包含两部分：变量应变和常量应变。位移函数的一次项提供常量应变一次项提供常量应变。当单元当单元0时，单元中的位移和应变都趋近于基本量时，单元中的位移和应变都趋近于基本量刚体位移和常量位移。刚体位移和常量位移。第32页，共59页，编辑于2022年，星期一3.位移模式应尽可能反映位移的尽可能反映位移的连续性连续性 l 使相邻单元之间的位移保持连续使相邻单元之间的位移保持连续，即受力后，相邻单元在公共边界，即受力后，相邻单元在公共边界上，即既不互相脱离，也不互相嵌入。上，即既不互相脱离，也不互相嵌入。使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。使相邻单元在公共节点处具有相同的位移。l使单元内部的位移保持连续使单元内部的位移保持连续。位移函数取坐。位移函数取坐标的单值连续函数。标的单值连续函数。满足条件满足条件1 1、2 2的单元，称为的单元，称为完备单元完备单元；满足条件；满足条件3 3的单元，称为的单元，称为协调协调单元单元。第33页，共59页，编辑于2022年，星期一常采用常采用“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”来选取位移模式代数多项式的形式。来选取位移模式代数多项式的形式。第34页，共59页，编辑于2022年，星期一按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则：按照帕斯卡三角形选择位移模式的原则：1.1.多项式的阶次及项数，由单元的节点数目和自由度数目来决定。多项式的阶次及项数，由单元的节点数目和自由度数目来决定。保证多项式中的保证多项式中的待定系数待定系数同单元的同单元的自由度自由度数目数目相一致相一致，以避免在确，以避免在确定待定系数时增加困难。定待定系数时增加困难。2.2.当高次多项式只选取一部分项时，应遵循当高次多项式只选取一部分项时，应遵循“对称性对称性”原则，即原则，即取其最高次中的位置对称的相应项，以保证在各坐标轴方向上具有取其最高次中的位置对称的相应项，以保证在各坐标轴方向上具有相同的精度。相同的精度。3.3.应满足完备性和协调性应满足完备性和协调性要求。要求。第35页，共59页，编辑于2022年，星期一3 3节点三角形单元：节点三角形单元：6 6节点三角形单元：节点三角形单元：4 4节点四边形单元：节点四边形单元：第36页，共59页，编辑于2022年，星期一3.5 整体分析整体分析 结构的整体分析是将离散后的所有单元通过节点连接结构的整体分析是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构，进行分析。成原结构，进行分析。分析过程是将所有单元平衡方程组集成分析过程是将所有单元平衡方程组集成整体平衡方程整体平衡方程，引进引进边界条件边界条件后求解后求解整体节点位移向量整体节点位移向量。整体平衡方程：整体平衡方程：F=KF=KK K为整体刚度矩阵为整体刚度矩阵设弹性体被划分为设弹性体被划分为N N个三角形单元和个三角形单元和n n个节点，则结构就有个节点，则结构就有2n2n个自个自由度。由度。K K2n2n2n2n第37页，共59页，编辑于2022年，星期一整体刚度矩阵的组装：整体刚度矩阵的组装：例：例：求下面结构的整体刚度矩阵求下面结构的整体刚度矩阵解：解：1 1）结构离散，单元和节点编码）结构离散，单元和节点编码用三角形单元把该结构分成用三角形单元把该结构分成4 4个单元，个单元，6 6个节点个节点节点两种编码：一是节点两种编码：一是节点总码节点总码；二是；二是节点局部码节点局部码，每个三角形单元，每个三角形单元的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为的三个节点按逆时针方向的顺序各自编码为i i，j,mj,m。单元单元1 1：节点号码：节点号码1 1，2 2，3 3单元单元2 2：节点号码：节点号码2 2，5 5，3 3单元单元3 3：节点号码：节点号码5 5，6 6，3 3单元单元4 4：节点号码：节点号码2 2，4 4，5 5第38页，共59页，编辑于2022年，星期一2 2）分别写出各个单元的分块刚度矩阵：）分别写出各个单元的分块刚度矩阵：单元单元1 1：节点号码：节点号码1 1，2 2，3 3单元单元2 2：节点号码：节点号码2 2，5 5，3 3单元单元3 3：节点号码：节点号码5 5，6 6，3 3单元单元4 4：节点号码：节点号码2 2，4 4，5 53 3）组装整体刚度矩阵）组装整体刚度矩阵利用单元分块矩阵中，各子块的节点和利用单元分块矩阵中，各子块的节点和单元信息，直接把单元刚度的各元素送单元信息，直接把单元刚度的各元素送入总体刚度矩阵的相应行列上，并同总入总体刚度矩阵的相应行列上，并同总体刚度矩阵该元素的已有值相加。体刚度矩阵该元素的已有值相加。“对对号入座号入座”第39页，共59页，编辑于2022年，星期一组装一般规则：组装一般规则：1)1)当当KKrsrs 中中r=sr=s时，该点被哪几个单元所共有，则时，该点被哪几个单元所共有，则整体刚度矩阵中的子矩阵整体刚度矩阵中的子矩阵KKrsrs 就是这几个单元的就是这几个单元的刚度矩阵中的子矩阵刚度矩阵中的子矩阵KKrsrs e e的相加。的相加。2)2)当当KKrsrs 中中rsrs时，若时，若rsrs边是组合体的内边，则整体边是组合体的内边，则整体刚度矩阵中的子矩阵刚度矩阵中的子矩阵KKrsrs 就是共用该边的两相邻单元刚就是共用该边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵度矩阵中的子矩阵KKrsrs e e的相加。的相加。3)3)当当KKrsrs 中中r r和和s s不同属于任何单元时，整体刚度矩阵中的子矩不同属于任何单元时，整体刚度矩阵中的子矩阵阵KKrsrs=0=0。第40页，共59页，编辑于2022年，星期一整体刚度矩阵的性质：整体刚度矩阵的性质：1 1）整体刚度矩阵是对称矩阵。）整体刚度矩阵是对称矩阵。2 2）整体刚度矩阵每一个元素的物理意义：）整体刚度矩阵每一个元素的物理意义：3 3）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。）整体刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的。4 4）整体刚度矩阵是一个奇异阵。只有排除刚体位移后，）整体刚度矩阵是一个奇异阵。只有排除刚体位移后，K K才是才是正定的，其逆矩阵才存在。正定的，其逆矩阵才存在。在在 F=KF=K中，令节点中，令节点1 1在在x x方向的位移方向的位移u u1 1=1=1，而其余节点位，而其余节点位移均为移均为0 0，则：，则：第41页，共59页，编辑于2022年，星期一5 5）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。）整体刚度矩阵是一个稀疏阵。离散后结构的任一节点，只和与它相连的元素发生联系，所离散后结构的任一节点，只和与它相连的元素发生联系，所以以K K存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主对角线的存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主对角线的附近。附近。带形矩阵带形矩阵半带宽：半带宽：在半个斜带形区域内，每行在半个斜带形区域内，每行具有的元素个数，用具有的元素个数，用d d表示。表示。半带宽半带宽d=d=（相邻节点码的最大差值（相邻节点码的最大差值+1+1）22第42页，共59页，编辑于2022年，星期一半带存储：半带存储：利用带形矩阵的特点和矩阵的对称性，计算机中可以只利用带形矩阵的特点和矩阵的对称性，计算机中可以只存储上半带的元素。存储上半带的元素。在同一网格中，如果采用不同的编码方式，则相应的半带在同一网格中，如果采用不同的编码方式，则相应的半带宽也可能不同。宽也可能不同。应采取合理的节点编码方式（使相邻节点码尽可能小），应采取合理的节点编码方式（使相邻节点码尽可能小），以便得到最小的半带宽，从而节约计算机存储容量。以便得到最小的半带宽，从而节约计算机存储容量。不同的编码方式，相邻节点不同的编码方式，相邻节点的最大差值分别为的最大差值分别为4 4，6 6，8 8，半带宽分别为，半带宽分别为1010，1414，1818。第43页，共59页，编辑于2022年，星期一3.6 等效节点载荷计算等效节点载荷计算根据有限元法的思想，所有有关的量都要转换为节点的量。根据有限元法的思想，所有有关的量都要转换为节点的量。结构所受的载荷也必须转换为等效的节点载荷。结构所受的载荷也必须转换为等效的节点载荷。整体刚度方程中的整体刚度方程中的载荷列阵载荷列阵F F，是由弹性体全部，是由弹性体全部单元等效节点力单元等效节点力集合而成集合而成，而单元的等效节点力，是由作用在单元上的集中力、表，而单元的等效节点力，是由作用在单元上的集中力、表面力和体积力分别移植到节点上，再逐点加以合成求得。面力和体积力分别移植到节点上，再逐点加以合成求得。第44页，共59页，编辑于2022年，星期一第45页，共59页，编辑于2022年，星期一1.1.单元自重：单元自重：下面用上述公式计算几种常用载荷作用下的等效节点力。下面用上述公式计算几种常用载荷作用下的等效节点力。三角形单元三角形单元i,j,mi,j,m的厚度为的厚度为t t，重度为，重度为，面积为，面积为A A，则体积力：，则体积力：节点力为：节点力为：由形函数的性质得：由形函数的性质得：则：则：受自重载荷作用下的等效节点力受自重载荷作用下的等效节点力为单元重量的为单元重量的1/31/3。第46页，共59页，编辑于2022年，星期一2.2.均布面力：均布面力：三角形单元三角形单元i,j,mi,j,m的的ijij边上作用有均匀的分布力，集度为：边上作用有均匀的分布力，集度为：单元节点力为：单元节点力为：由形函数性质：由形函数性质：把作用于把作用于ijij边上的均布面力按静力等效平均分配到该边两端的边上的均布面力按静力等效平均分配到该边两端的节点上。节点上。第47页，共59页，编辑于2022年，星期一3.3.线性分布面力：线性分布面力：三角形单元三角形单元i,j,mi,j,m的的ijij边上作用有三角形分布表面力边上作用有三角形分布表面力设设j j点表面力为点表面力为0 0，i i点集度为：点集度为：4.4.集中力：集中力：集中力集中力G G作用与作用与ijij边上作用边上作用总载荷的总载荷的2/32/3分配给分配给i i点，点，1/31/3分分配给配给j j点。点。第48页，共59页，编辑于2022年，星期一整体刚度矩阵的奇异性，可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的刚体整体刚度矩阵的奇异性，可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。引用边界条件后，待求节点未知量的数目和方位移，以达到求解的目的。引用边界条件后，待求节点未知量的数目和方程的数目可相应的减少。程的数目可相应的减少。3.7 约束条件的处理约束条件的处理引入节点位移最常用的方法有以下两种：引入节点位移最常用的方法有以下两种：计算机常用的方法是，以某种方法引入已知的节点位移（包括零约束位计算机常用的方法是，以某种方法引入已知的节点位移（包括零约束位移），而保持非常原有的数目不变，只是移），而保持非常原有的数目不变，只是修正修正K K和和F F中的某些元素中的某些元素，以，以避免计算机存储做大的变动。避免计算机存储做大的变动。第49页，共59页，编辑于2022年，星期一设已知设已知u u1 1=1 1，u u2 2=3 3，则，则若已知节点若已知节点i i在在y y方向位移方向位移v vi i，则令，则令K K中的元素中的元素K K（2i2i）（）（2i2i）为为1 1，第，第2i2i行和第行和第2i2i列的其列的其余元素都为零。余元素都为零。F F中的第中的第2i2i个元素则用位移个元素则用位移v vi i的已知值代入，的已知值代入，F F中的其他各行元素都减中的其他各行元素都减去节点位移的已知值与原来去节点位移的已知值与原来K K中这行的相应元素的乘积。中这行的相应元素的乘积。若已知节点若已知节点i i在在x x方向位移方向位移u ui i，则令，则令K K中的中的元素元素K K（2i-12i-1）（）（2i-12i-1）为为1 1，第，第2i-12i-1行和第行和第2i-12i-1列的其余元素都为零。列的其余元素都为零。F F中的第中的第2i-12i-1个元素则个元素则用位移用位移u ui i的已知值代入，的已知值代入，F F中的其他各行中的其他各行元素都减去元素都减去节点位移的已知值与原来节点位移的已知值与原来K K中中这行的相应元素的乘积这行的相应元素的乘积。1.1.化化1 1置置0 0法法第50页，共59页，编辑于2022年，星期一2.2.乘大数法乘大数法将将K K中与已知节点位移相关的主对角线元素乘上一个计算机可接中与已知节点位移相关的主对角线元素乘上一个计算机可接受的充分大的数，同时将受的充分大的数，同时将F F中的对应元素换上中的对应元素换上已知节点位移已知节点位移与与对对角线元素角线元素及及同一个大数同一个大数的乘积。的乘积。设已知设已知u u1 1=1 1，u u2 2=3 3，则，则第51页，共59页，编辑于2022年，星期一3.8 有限元分析的实例有限元分析的实例有限元法的解题过程有限元法的解题过程2.2.结构的离散化结构的离散化。包括单元划分、节点和单元编号、节点坐标计。包括单元划分、节点和单元编号、节点坐标计算。算。3.3.等效节点力的计算等效节点力的计算。按单元逐个进行分析，计算体积力、表面力和集中力的按单元逐个进行分析，计算体积力、表面力和集中力的等效节点力，进行叠加，得到每个单元的等效节点力载荷。等效节点力，进行叠加，得到每个单元的等效节点力载荷。对每个节点，所有环绕该节点的单元对每个节点，所有环绕该节点的单元节点力求和，得到整个结构的节点力节点力求和，得到整个结构的节点力载荷列阵。载荷列阵。1.1.力学模型的确定力学模型的确定。根据工程实际情况确定问题的力学模型，并按一定比例。根据工程实际情况确定问题的力学模型，并按一定比例绘制结构图，确定尺寸、载荷和约束情况等。绘制结构图，确定尺寸、载荷和约束情况等。第52页，共59页，编辑于2022年，星期一4.4.计算各单元的刚度矩阵计算各单元的刚度矩阵。由各单元的常数。由各单元的常数b bi i、b bj j、b bm m、c ci i、c cj j、c cm m及单元面积、弹性常数，计算各单元的刚度矩阵。及单元面积、弹性常数，计算各单元的刚度矩阵。5.5.组装整体刚度矩阵组装整体刚度矩阵。将各个单元的刚度矩阵组集在一起，形成整体。将各个单元的刚度矩阵组集在一起，形成整体刚度矩阵。刚度矩阵。6.6.建立整体平衡方程，引入约束条件，建立整体平衡方程，引入约束条件，求解节点位移求解节点位移。7.7.求解单元应力求解单元应力。根据节点位移。根据节点位移e e表示的节点应力表示的节点应力的公式，计算的公式，计算单元应力。单元应力。第53页，共59页，编辑于2022年，星期一有限元分析实例有限元分析实例两端固定的矩形深梁两端固定的矩形深梁,跨度为跨度为2a,2a,梁高为梁高为a,a,厚度为厚度为t,t,已知已知E,=0,E,=0,承受承受均布压力均布压力q,q,用有限元法求解此平面应力问题。用有限元法求解此平面应力问题。解：由对称性，取梁的一半进行分析。载荷和约束情况如图。解：由对称性，取梁的一半进行分析。载荷和约束情况如图。1 1）结构离散结构离散：划分为：划分为2 2个三角形单元，个三角形单元，4 4个节点。个节点。单元单元1 1：节点号码：节点号码2 2，3 3，1 1单元单元2 2：节点号码：节点号码3 3，2 2，4 4第54页，共59页，编辑于2022年，星期一2 2）单元刚度矩阵的计算）单元刚度矩阵的计算单元单元1 1的刚度矩阵：的刚度矩阵：单元单元2 2的刚度矩阵：的刚度矩阵：2 3 12 3 13 2 43 2 42 2 3 3 1 13 3 2 24 43 3）整体刚度矩阵的组装）整体刚度矩阵的组装第55页，共59页，编辑于2022年，星期一4 4）处理载荷和位移边界条件，）处理载荷和位移边界条件，求解节点位移求解节点位移F Fy1y1=0=0，F Fy3y3=qa/2,=qa/2,所以：所以：位移边界条件：位移边界条件：采用采用“化化1 1置置0 0法法”，再划去相应的行列：，再划去相应的行列：解得：解得：第56页，共59页，编辑于2022年，星期一5 5）应力计算应力计算应力矩阵应力矩阵得单元节点位移向量得单元节点位移向量第57页，共59页，编辑于2022年，星期一计算应力计算应力第58页，共59页，编辑于2022年，星期一作作 业业1.1.下图为一固定端梁受集中力下图为一固定端梁受集中力P P作用，试用图所示单元划分，求作用，试用图所示单元划分，求出节点位移（按平面应力问题计算，取出节点位移（按平面应力问题计算，取E E为常量，为常量，=1/6=1/6，t=1)t=1)。2.2.三角形单元三角形单元ijmijm的的jmjm边作用边作用有右图所示线性分布面载荷，有右图所示线性分布面载荷，求节点载荷向量。求节点载荷向量。第59页，共59页，编辑于2022年，星期一