第6章马尔可夫预测PPT讲稿.ppt

第第6 6章马尔可夫预测章马尔可夫预测第1页，共135页，编辑于2022年，星期二引言引言马尔可夫预测的基本原理马尔可夫预测的基本原理预测应用预测应用第13章 马尔可夫预测第2页，共135页，编辑于2022年，星期二13-1 13-1 引言引言v2 2个例子个例子第3页，共135页，编辑于2022年，星期二例例 1 这个例子简要说明了方阵及其方幂在称这个例子简要说明了方阵及其方幂在称为为图论图论的有关研究中的应用情况。的有关研究中的应用情况。图图 G=(V,E)由点集由点集 V 和边集和边集 E 组成。组成。例如，以例如，以 V=a,b,c,d,e 为点集，以为点集，以E=(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(d,e),(e,e)为边集构成的图为边集构成的图 G，如图，如图 1 2 所示。所示。abcde图图 1 2第4页，共135页，编辑于2022年，星期二一条边除了联结两个点外，也可以由某个点联结一条边除了联结两个点外，也可以由某个点联结自身构成，如自身构成，如中的点中的点 e 与边与边(e,e)，这种，这种边称为一个环。边称为一个环。由图由图 1 2 表示的这类表示的这类“图图”显然不同于函数的图显然不同于函数的图形，但它在各种科学和工业活动中广泛存在，如组形，但它在各种科学和工业活动中广泛存在，如组织机构图、电路图、组织联盟图、传播渠道图、运输路径图、营销渠道、文化与知识传播等等。图、营销渠道、文化与知识传播等等。与图有关的许多问题与图有关的许多问题涉及道路。涉及道路。道路是一个点的序列，其相邻的点由边道路是一个点的序列，其相邻的点由边联结。联结。道路的长度是指构成该道路的边的数量，道路的长度是指构成该道路的边的数量，第5页，共135页，编辑于2022年，星期二abcde图图 1 2如图如图 1 2 中，中，(a,b,d,e)是是 a 与与 e 之间，长之间，长度为度为 3 的一条道路。的一条道路。对于不同的问题，可能是要求对于不同的问题，可能是要求我们找出两点之间的最短道路，也可能是确定已知我们找出两点之间的最短道路，也可能是确定已知的一对点中，是否存在一条道路等等。的一对点中，是否存在一条道路等等。而后一类问而后一类问题在许多实际问题中经常出现，例如规定区域的营题在许多实际问题中经常出现，例如规定区域的营销线路；销线路；研究随机中断研究随机中断(如由于地震如由于地震)对供应链的影响。对供应链的影响。第6页，共135页，编辑于2022年，星期二响等。响等。下面我们将说明方阵及其方幂可用于解决有下面我们将说明方阵及其方幂可用于解决有关一个图中各类道路的存在问题关一个图中各类道路的存在问题.为此，我们首先介绍用一种称为为此，我们首先介绍用一种称为邻接矩阵邻接矩阵的矩的矩阵表示图的方法。阵表示图的方法。图图 G 的邻接矩阵的邻接矩阵 A(G)=(aij)的元的元 aij 按下述方按下述方法确定：法确定：如果第如果第 i 点与第点与第 j 点之间有一条边，则点之间有一条边，则aij=1,否则否则 aij=0;一般情况下，一般情况下，aii=0,除非第除非第 i点上有一个环点上有一个环(此时此时 aii=1)。可见可见 A(G)表明了图表明了图 G中哪些点是邻接的。中哪些点是邻接的。第7页，共135页，编辑于2022年，星期二因而，图因而，图 1 2 中的图中的图 G 的邻接矩阵为的邻接矩阵为abcde图图 1 2aabbccddee从图从图 1 2 还可以看出：点还可以看出：点 a 与与 b 之间，除了有之间，除了有一条长度为一条长度为 1 的道路的道路(a,b)边联结外，还可以由边联结外，还可以由 a经经 c 或或 d 由另外两条长度为由另外两条长度为 2 的道路与的道路与 b 联结，那联结，那么，如何确定图么，如何确定图 G 中有哪些点之间存在长度为中有哪些点之间存在长度为 2 的的第8页，共135页，编辑于2022年，星期二道路呢？道路呢？可以证明：可以证明：如果如果 A(G)是图是图 G 的邻接矩阵的邻接矩阵,则则 A2(G)中的第中的第 i 行第行第 j 列元列元(i j)的数值等于第的数值等于第 i 个点与第个点与第 j 个点之间长度为个点之间长度为 2 的道路个数的道路个数.aabbccddee第9页，共135页，编辑于2022年，星期二aabbccddeeA2(G)的主对角线以外的正元，指出图的主对角线以外的正元，指出图 G 中哪中哪些不同的点对之间可由长度为些不同的点对之间可由长度为 2 的道路联结。的道路联结。可以看可以看出，只有点出，只有点 c 与点与点 e 之间，不存在长度为之间，不存在长度为 2 的道路。的道路。同时，这些正元的数值还表明了不同的点对之间长同时，这些正元的数值还表明了不同的点对之间长度为度为 2 的道路个数。的道路个数。例如例如 a 与与 b 之间有两条长度为之间有两条长度为第10页，共135页，编辑于2022年，星期二2 的道路，而的道路，而 a 与与 c 之间只有一条长度为之间只有一条长度为 2 的道路。的道路。类似地类似地aabbccddee可以反映出图可以反映出图 G 中不同的点之间由长度为中不同的点之间由长度为 3 的道路的道路联结的情况。联结的情况。第11页，共135页，编辑于2022年，星期二例例 2 假设某城市的天气分为假设某城市的天气分为 3 种状态：晴、阴种状态：晴、阴和下雨。和下雨。又由统计资料表明，在某个季节期间，如果又由统计资料表明，在某个季节期间，如果今天晴，则明天晴的概率今天晴，则明天晴的概率(即可能性即可能性)为为阴的概率阴的概率为为下雨的概率为下雨的概率为类似地，如果今天阴或下雨，类似地，如果今天阴或下雨，则明天的天气出现各种状态又分别有另外的概率。则明天的天气出现各种状态又分别有另外的概率。表表 1.3 提供了这些数据。提供了这些数据。第12页，共135页，编辑于2022年，星期二表表 1.3今今 天天明明 天天晴晴阴阴下雨下雨晴晴阴阴下雨下雨由这些数据组成由这些数据组成 3 3 矩阵矩阵第13页，共135页，编辑于2022年，星期二A 的每一列分别表示为今天天气对应的明天天的每一列分别表示为今天天气对应的明天天气的状态概率，每一行分别对应明天天气的各种状气的状态概率，每一行分别对应明天天气的各种状态。态。例如第一行表示当今天天气为晴、阴、下雨时例如第一行表示当今天天气为晴、阴、下雨时,明天天气为晴的概率分别为明天天气为晴的概率分别为和和第二列则表第二列则表示当今天为阴时，明天为晴、阴、下雨的概率分别示当今天为阴时，明天为晴、阴、下雨的概率分别为为和和这些概率值称为这些概率值称为转移概率转移概率，该矩阵称，该矩阵称第14页，共135页，编辑于2022年，星期二为为转移矩阵转移矩阵。由于由于 A 的各列分别表示当今天天气处于晴、阴的各列分别表示当今天天气处于晴、阴或下雨的情况下，明天天气为晴、阴或下雨的概率。或下雨的情况下，明天天气为晴、阴或下雨的概率。A 的各行分别表示当今天天气为晴、阴或下雨的不的各行分别表示当今天天气为晴、阴或下雨的不同情况下，明天为晴、为阴或为下雨的概率。同情况下，明天为晴、为阴或为下雨的概率。因此，因此，如果设今天为晴、阴、下雨的概率分别为如果设今天为晴、阴、下雨的概率分别为 p1(0),p2(0),p3(0);又设又设 p1(1)表示明天为晴的概率，则有表示明天为晴的概率，则有第15页，共135页，编辑于2022年，星期二类似地，若设类似地，若设 p2(1),p3(1)分别表示明天阴和下雨的分别表示明天阴和下雨的概概率，则由率，则由 A 的第二行与第三行，有的第二行与第三行，有例如，当我们在清晨听到天气预报为：今天为阴或例如，当我们在清晨听到天气预报为：今天为阴或为雨的概率均为为雨的概率均为即即则则由上面由上面 3 式可预测出明天的天气概率式可预测出明天的天气概率第16页，共135页，编辑于2022年，星期二若令若令则由矩阵乘法有则由矩阵乘法有P(1)=AP(0)第17页，共135页，编辑于2022年，星期二正如可以由今天的天气概率通过转移矩阵预测明正如可以由今天的天气概率通过转移矩阵预测明天的天气概率一样，又可由明天的天气概率预测后天的天气概率一样，又可由明天的天气概率预测后天的天气概率。天的天气概率。若令若令表示后天天气为晴、阴、下雨的概率，则有表示后天天气为晴、阴、下雨的概率，则有P(2)=AP(1)=A(AP(0)=A2P(0)依次类推，设依次类推，设 P(n)表示表示 n 天后天后(即从今天起第即从今天起第 n+1天天)为晴、阴、下雨的概率，则有为晴、阴、下雨的概率，则有第18页，共135页，编辑于2022年，星期二P(n)=AP(n 1)=AnP(0)(n=1,2,3,)其中其中 An 是是 n 天后天气状况的转移矩阵。天后天气状况的转移矩阵。例如，当例如，当 n=2 时时n=3 时时第19页，共135页，编辑于2022年，星期二从而当今天天气为晴、阴、下雨的概率分别为从而当今天天气为晴、阴、下雨的概率分别为时，大后天的天气概率为时，大后天的天气概率为晴晴阴阴下雨下雨第20页，共135页，编辑于2022年，星期二因此，我们可以用因此，我们可以用 3 天的转移概率，提前天的转移概率，提前 3 天进天进行天气预报行天气预报。依此类推，当今天天气为晴、阴、雨依此类推，当今天天气为晴、阴、雨的概率分别为的概率分别为时，通过计算，可以得到以下时，通过计算，可以得到以下预测表：预测表：第21页，共135页，编辑于2022年，星期二晴晴阴阴雨雨今天今天明天明天(一天后一天后)后天后天(两天后两天后)大后天大后天(三天后三天后)5 后天后天10 后天后天100 后天后天第22页，共135页，编辑于2022年，星期二由此可见，只要知道今天的天气状况，利用转移矩由此可见，只要知道今天的天气状况，利用转移矩阵，即可提供一天接一天的天气概率预测。阵，即可提供一天接一天的天气概率预测。注意到，注意到，若干天以后，晴、阴、雨的概率分别稳定在若干天以后，晴、阴、雨的概率分别稳定在和和上述结果表明，在未来的平常一天，晴天的上述结果表明，在未来的平常一天，晴天的概率为概率为阴天的概率为阴天的概率为下雨天的概率为下雨天的概率为以当前状态来预测下一段时间不同状态的概率以当前状态来预测下一段时间不同状态的概率的模型，称为的模型，称为马尔可夫马尔可夫(Markov)链。链。对于任何马对于任何马尔可夫链，数学上可以证明，确定几十天后的稳定尔可夫链，数学上可以证明，确定几十天后的稳定概率，比确定概率，比确定 3 天后的概率要容易得多。天后的概率要容易得多。数学在确数学在确第23页，共135页，编辑于2022年，星期二定一个模型内在的、长期趋势方面的作用，常常比定一个模型内在的、长期趋势方面的作用，常常比在找出逐天变化的中期结果方面的作用要大在找出逐天变化的中期结果方面的作用要大.由于线由于线性代数提供了有效的数学工具，从本质上解决了人性代数提供了有效的数学工具，从本质上解决了人们在马尔可夫链方面提出的任何问题。们在马尔可夫链方面提出的任何问题。因此马尔可因此马尔可夫链在各方面有着广泛的应用。夫链在各方面有着广泛的应用。18701870年，俄国有机化学家年，俄国有机化学家Vladimir V.Vladimir V.Markovnikov第一次第一次提出马尔科夫模型。用于提出马尔科夫模型。用于解决实际中的不确定性问题，这样的不确定对象是未来时刻解决实际中的不确定性问题，这样的不确定对象是未来时刻对象的分布状况仅仅与现时刻相关，与前时刻无关。对象的分布状况仅仅与现时刻相关，与前时刻无关。第24页，共135页，编辑于2022年，星期二13.2 13.2 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫预测的基本原理一、马尔可夫链一、马尔可夫链定义定义1 1 参数集（随机变量）随机过程随机过程第25页，共135页，编辑于2022年，星期二 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫预测的基本原理一、马尔可夫链一、马尔可夫链定义定义1 1 参数集（随机变量）随机过程随机过程 定义定义2 2 如若T 为离散集（设 ），同时 的取值也是离散的，则称 为离散型随机过程离散型随机过程。第26页，共135页，编辑于2022年，星期二 设有一离散型随机过程，它在时刻 所有可能处于的状态的集合为称其为状态空间状态空间。（与时刻无关）第27页，共135页，编辑于2022年，星期二 设有一离散型随机过程，它在时刻 所有可能处于的状态的集合为称其为状态空间状态空间。（与时刻无关）定义定义3 3 若 只与 有关，而与 等无关，称 为马尔可夫链马尔可夫链，即无后效应第28页，共135页，编辑于2022年，星期二统计定义统计定义第29页，共135页，编辑于2022年，星期二二、状态转移矩阵二、状态转移矩阵当系统由一种状态变为另一种状态时，我们称之为状态转移状态转移。定义定义4 4 一步状态转移概率一步状态转移概率第30页，共135页，编辑于2022年，星期二二、状态转移矩阵二、状态转移矩阵当系统由一种状态变为另一种状态时，我们称之为状态转状态转移移。定义定义4 4 一步状态转移概率一步状态转移概率定义定义5 5 状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵与n无关假设：（齐性）（齐性）第31页，共135页，编辑于2022年，星期二 例例1 1 设某产品销售情况分为畅销和滞销两种，1代表畅销，2代表滞销。以 表示第n个季度的产品销售状态，则 可取1或2的值。若未来的产品市场状态只与现在的市场状态有关，与以前的市场状态无关，则市场状态 构成一个马尔可夫链。第32页，共135页，编辑于2022年，星期二 例例1 1 设某产品销售情况分为畅销和滞销两种，1代表畅销，2代表滞销。以 表示第n个季度的产品销售状态，则 可取1或2的值。若未来的产品市场状态只与现在的市场状态有关，与以前的市场状态无关，则市场状态 构成一个马尔可夫链。设状态转移概率矩阵：第33页，共135页，编辑于2022年，星期二120.60.50.40.5第34页，共135页，编辑于2022年，星期二再引入几个概念：再引入几个概念：概率向量概率向量：对于任意的行向量（或列向量），如果其每个元素均非负且总和等于1，则称该向量为概率向量。第35页，共135页，编辑于2022年，星期二再引入几个概念：再引入几个概念：概率向量概率向量：对于任意的行向量（或列向量），如果其每个元素均非负且总和等于1，则称该向量为概率向量。概率向量（市场占有率）第36页，共135页，编辑于2022年，星期二再引入几个概念：再引入几个概念：概率向量概率向量：对于任意的行向量（或列向量），如果其每个元素均非负且总和等于1，则称该向量为概率向量。概率矩阵概率矩阵：由概率向量作为行向量行向量所构成的方阵称为概率矩阵。概率向量（如市场占有率）第37页，共135页，编辑于2022年，星期二第38页，共135页，编辑于2022年，星期二第39页，共135页，编辑于2022年，星期二第40页，共135页，编辑于2022年，星期二第41页，共135页，编辑于2022年，星期二第42页，共135页，编辑于2022年，星期二第43页，共135页，编辑于2022年，星期二第44页，共135页，编辑于2022年，星期二第45页，共135页，编辑于2022年，星期二第46页，共135页，编辑于2022年，星期二概率矩阵有如下性质：概率矩阵有如下性质：如果A、B皆是概率矩阵，则AB也是概率矩阵；如果A是概率矩阵，则A的任意次幂 也是概率矩阵。第47页，共135页，编辑于2022年，星期二概率矩阵有如下性质：概率矩阵有如下性质：如果A、B皆是概率矩阵，则AB也是概率矩阵；如果A是概率矩阵，则A的任意次幂 也是概率矩阵。定义定义6 6 k步状态转移概率，步状态转移概率，k步状态转移概率矩阵步状态转移概率矩阵 称 为k步状态转移概率，为k步状态转移概率矩阵。第48页，共135页，编辑于2022年，星期二概率矩阵有如下性质：概率矩阵有如下性质：如果A、B皆是概率矩阵，则AB也是概率矩阵；如果A是概率矩阵，则A的任意次幂 也是概率矩阵。定义定义6 6 k步状态转移概率，步状态转移概率，k步状态转移概率矩阵步状态转移概率矩阵 称 为k步状态转移概率，为k步状态转移概率矩阵。马尔可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率求出。第49页，共135页，编辑于2022年，星期二【推导】两步转移概率可以由一步转移概率得到：其含义为：系统从状态 i 出发，经1步转移到 k ，其中 k从1到 N，然后再从状态 k 转移到 j 的概率的总和，类似于矩阵乘法。第50页，共135页，编辑于2022年，星期二第51页，共135页，编辑于2022年，星期二第52页，共135页，编辑于2022年，星期二（全概率公式）一般地，第53页，共135页，编辑于2022年，星期二（全概率公式）P 一步状态转移概率矩阵 k 步状态转移概率矩阵一般地，第54页，共135页，编辑于2022年，星期二例例2 2 设一步转移矩阵为则两步转移矩阵为第55页，共135页，编辑于2022年，星期二初始状态概率向量初始状态概率向量记 为过程的开始时刻，则称为初始状态概率向量。第56页，共135页，编辑于2022年，星期二如已知齐次马尔可夫链的转移矩阵 以及初始状态概率向量 ，则任一时刻的状态概率分布也就确定了。初始状态概率向量初始状态概率向量记 为过程的开始时刻，则称为初始状态概率向量。第57页，共135页，编辑于2022年，星期二 例例3 3 考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两种状态。S=1,2。机床在运行中出现故障：12；处于故障中的机床经维修，恢复到正常状态：21。第58页，共135页，编辑于2022年，星期二 例例3 3 考察一台机床的运行状态。机床的运行存在正常和故障两种状态。S=1,2。机床在运行中出现故障：12；处于故障中的机床经维修，恢复到正常状态：21。以一个月为单位，经观察统计，知其从某个月份到下月份，机床出现故障的概率为0.3。在这一段时间内，故障机床经维修恢复到正常状态的概率为0.9。120.90.3第59页，共135页，编辑于2022年，星期二第60页，共135页，编辑于2022年，星期二含义？第61页，共135页，编辑于2022年，星期二含义？如已知初始概率向量 P(0)，如0.10.90.30.7第62页，共135页，编辑于2022年，星期二含义？如已知初始概率向量 P(0)，如0.10.90.30.7第63页，共135页，编辑于2022年，星期二第64页，共135页，编辑于2022年，星期二第65页，共135页，编辑于2022年，星期二第66页，共135页，编辑于2022年，星期二第67页，共135页，编辑于2022年，星期二第68页，共135页，编辑于2022年，星期二第69页，共135页，编辑于2022年，星期二第70页，共135页，编辑于2022年，星期二第71页，共135页，编辑于2022年，星期二一般情况：一般情况：第72页，共135页，编辑于2022年，星期二一般情况：一般情况：第73页，共135页，编辑于2022年，星期二一般情况：一般情况：第74页，共135页，编辑于2022年，星期二一般情况：一般情况：第75页，共135页，编辑于2022年，星期二三、稳态概率矩阵三、稳态概率矩阵已知系统的状态转移矩阵和系统的初始状态，可以推断出系统在任意时刻可能所处的状态。问题：问题：当 k不断增大时，的变化趋势？第76页，共135页，编辑于2022年，星期二三、稳态概率矩阵三、稳态概率矩阵1.1.平稳分布平稳分布已知系统的状态转移矩阵和系统的初始状态，可以推断出系统在任意时刻可能所处的状态。问题：问题：当 k不断增大时，的变化趋势？若存在非零概率向量 ，使得其中P为一概率矩阵，从统计意义上，则称 X 为 P 的固定概率向固定概率向量量。第77页，共135页，编辑于2022年，星期二 如 为一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵。若则称 X为马尔可夫链的一个平稳分布平稳分布。第78页，共135页，编辑于2022年，星期二 如 为一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵。若则称 X为马尔可夫链的一个平稳分布平稳分布。若随机过程某时刻的状态概率向量P(k)为平稳分布，则称过程处于平衡状态平衡状态。第79页，共135页，编辑于2022年，星期二 如 为一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵。若则称 X为马尔可夫链的一个平稳分布平稳分布。若随机过程某时刻的状态概率向量P(k)为平稳分布，则称过程处于平衡状态平衡状态。一般地，一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，即，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。第80页，共135页，编辑于2022年，星期二2.2.稳态分布稳态分布问题问题1 1：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时，是否存在极限？第81页，共135页，编辑于2022年，星期二2.2.稳态分布稳态分布问题问题1 1：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时，是否存在极限？若存在，设其极限为 ，第82页，共135页，编辑于2022年，星期二2.2.稳态分布稳态分布问题问题1 1：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时，是否存在极限？若存在，设其极限为 ，第83页，共135页，编辑于2022年，星期二2.2.稳态分布稳态分布问题问题1 1：对于系统的状态P(m)，当 m 趋于无穷时，是否存在极限？若存在，设其极限为 ，第84页，共135页，编辑于2022年，星期二则称 为稳态分布稳态分布。定义定义 对于概率向量 ，如对任意的 ，均有第85页，共135页，编辑于2022年，星期二则称 为稳态分布稳态分布。定义定义 对于概率向量 ，如对任意的 ，均有此时，不管初始状态概率向量如何，均有 这也是称 为稳态分布的理由。第86页，共135页，编辑于2022年，星期二则称 为稳态分布稳态分布。定义定义 对于概率向量 ，如对任意的 ，均有此时，不管初始状态概率向量如何，均有 这也是称 为稳态分布的理由。第87页，共135页，编辑于2022年，星期二 设存在稳态分布 ，则由于下式恒成立令 ，得即，有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在，那么它也是平稳分布。第88页，共135页，编辑于2022年，星期二 设存在稳态分布 ，则由于下式恒成立令 ，得即，有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在，那么它也是平稳分布。问题问题2 2 系统是否存在稳态分布？什么条件？第89页，共135页，编辑于2022年，星期二 设存在稳态分布 ，则由于下式恒成立令 ，得即，有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在，那么它也是平稳分布。问题问题2 2 系统是否存在稳态分布？什么条件？对非周期的马尔可夫链，稳态分布必存在，对不可约非周期的马尔可夫链，稳态分布和平稳分布相同且均唯一。（不作要求）（不作要求）第90页，共135页，编辑于2022年，星期二【小结】状态转移矩阵Pk步状态转移矩阵稳态分布第91页，共135页，编辑于2022年，星期二13.3 13.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用 v马尔可夫预测乃是利用某一系统的现在状况及其发展动向去预测系统未马尔可夫预测乃是利用某一系统的现在状况及其发展动向去预测系统未来状况的一种预测方法。它在技术与经济发展以及现代企业的经营管理来状况的一种预测方法。它在技术与经济发展以及现代企业的经营管理中，均可为决策者制定决策提供较科学的未来信息。中，均可为决策者制定决策提供较科学的未来信息。v马尔可夫预测范围广泛，如：马尔可夫预测范围广泛，如：v预测企业的发展规模和产品销售份额；预测企业的发展规模和产品销售份额；v分析顾客（消费者）流向；分析顾客（消费者）流向；v选择销售及服务地点，选择销售维修策略，制定设备更新方案；选择销售及服务地点，选择销售维修策略，制定设备更新方案；v决定最优工作分配等方面均有显著成效。决定最优工作分配等方面均有显著成效。v应用马尔可夫分析，对环境保护、生态平衡等复杂大系统未来状应用马尔可夫分析，对环境保护、生态平衡等复杂大系统未来状况进行预测，对各种环境污染治理策略的选择等，均可取得良好况进行预测，对各种环境污染治理策略的选择等，均可取得良好的效果。的效果。第92页，共135页，编辑于2022年，星期二v13.2.1 市场占有率的预测市场占有率的预测v我们结合例题来说明如何预测市场占有率。v例13.3 伍迪公司、布卢杰.里维公司、雷恩公司(分别用符号 A、B、C代表)是美国中西部地区三家主要灭虫剂产商。根据历史资料得知，公司A、B、C产品销售额的市场占有率分别为50%，30%，20%。由于C公司实行了改善销售与服务方针的经营管理决策，使其产品销售额逐期稳定上升，而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客流动情况如表13.1所示。其中产品销售周期是季度。现在的问题是按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户转移的影响将严重到何种程度？另外，三个公司的产品销售额的占有率将如何变化？第93页，共135页，编辑于2022年，星期二第94页，共135页，编辑于2022年，星期二v将表13.1中的数据化为转移概率将对研究分析未来若干周期的顾客流向更为有利。v表13.2列出了各公司顾客流动的转移概率。表13.2中的数据是每家厂商在一个周期中的顾客数与前一周期的顾客数相除所得。v其中每一行表示某公司从一个周期到下一个周期将能保住的顾客数的百分比，以及将要丧失给竞争对手的顾客数的百分比。其中每一列表示各公司在下一周期将能保住的顾客数的百分比，以及该公司将要从竞争对手那里获得顾客数的百分比。第95页，共135页，编辑于2022年，星期二第96页，共135页，编辑于2022年，星期二第97页，共135页，编辑于2022年，星期二第98页，共135页，编辑于2022年，星期二第99页，共135页，编辑于2022年，星期二第100页，共135页，编辑于2022年，星期二第101页，共135页，编辑于2022年，星期二第102页，共135页，编辑于2022年，星期二第103页，共135页，编辑于2022年，星期二第104页，共135页，编辑于2022年，星期二第105页，共135页，编辑于2022年，星期二第106页，共135页，编辑于2022年，星期二第107页，共135页，编辑于2022年，星期二v例例13.4 13.4 最佳维修策略的选择。我们研究一化工企业对循环泵进行季度维修的过程。该化工企业对泵进行定期检查，每次检查中，把泵按其外壳及叶轮的腐蚀程度定为五种状态中的一种。这五种状态是：v状态1：优秀状态，无任何故障或缺陷；v状态2：良好状态，稍有腐蚀；v状态3：及格状态，轻度腐蚀；v状态4：可用状态，大面积腐蚀；v状态5：不可运行状态，腐蚀严重。v该公司可采用的维修策略有以下几种。v单状态策略：泵处于状态5时才进行修理，每次修理费用为500元。v两状态策略：泵处于状态4和5时进行修理，处于状态4时的修理费用每次为250元,处于状态5时的每次修理费用为500元。v三状态策略：泵处于状态3,4,5时进行修理，处于状态3时的每次修理费用为200元,处于状态4和5时的修理费用同前。v目前，该公司采用的维修策略为“单状态”策略。第108页，共135页，编辑于2022年，星期二第109页，共135页，编辑于2022年，星期二第110页，共135页，编辑于2022年，星期二第111页，共135页，编辑于2022年，星期二第112页，共135页，编辑于2022年，星期二例例13.5 专卖品专卖品销售的存贮策略销售的存贮策略-以钢琴为例以钢琴为例 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金；钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金；一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架。架。存贮策略存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购购3架供下周销售；否则，不订购。架供下周销售；否则，不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。及每周的平均销售量是多少。背景与问题背景与问题第113页，共135页，编辑于2022年，星期二问题分析问题分析 顾客的到来相互独立，需求量设近似服从顾客的到来相互独立，需求量设近似服从possion分布，其参分布，其参数由需求均值为每周数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率。架确定，由此计算需求概率。存贮策略是周末库存量为零时订购存贮策略是周末库存量为零时订购3架架 周末的库存量可能周末的库存量可能是是0,1,2,3，周初的库存量可能是，周初的库存量可能是1,2,3。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。库存）的概率不同。可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。率和每周的平均销售量。第114页，共135页，编辑于2022年，星期二模型假设模型假设 钢琴每周需求量服从钢琴每周需求量服从Possion分布，均值为每周分布，均值为每周1架。架。存贮策略存贮策略：当周末库存量为零时，订购：当周末库存量为零时，订购3架，周初到架，周初到货；否则，不订购。货；否则，不订购。以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。后效性。在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。每周的平均销售量。第115页，共135页，编辑于2022年，星期二模型建立模型建立 Dn第第n周周需求量，均需求量，均值为值为1的的Possion分布分布Sn第第n周初库存量周初库存量(状态变量状态变量)状态转状态转移规律移规律 Dn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019状态转移阵状态转移阵 第116页，共135页，编辑于2022年，星期二模型建立模型建立 状态概率状态概率 马氏链的基本方程马氏链的基本方程正则链正则链 稳态稳态概率分布概率分布 w 满满足足 wP=w已知初始状态，可预测第已知初始状态，可预测第n周初周初库库存量存量Sn=i 的概率的概率n,状态概率状态概率 第117页，共135页，编辑于2022年，星期二第第n周失去周失去销销售机会的概率售机会的概率 n充分大充分大时时 模型求解模型求解 从从长长期看，失去期看，失去销销售机会的可能性大售机会的可能性大约约 10%。1.估计在这种策略下失去销售机会的可能性估计在这种策略下失去销售机会的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019第118页，共135页，编辑于2022年，星期二模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量从长期看，每周的平均销售量为从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架架)n充分大充分大时时 需求不超过存量需求不超过存量,销售需求销售需求需求超过存量需求超过存量,销售存量销售存量 思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架架)?2.估计这种策略下每周的平均销售量估计这种策略下每周的平均销售量第119页，共135页，编辑于2022年，星期二敏感性分析敏感性分析 当平均需求在每周当平均需求在每周1(架架)附近波附近波动时，最终结果有多大变化。动时，最终结果有多大变化。设设Dn服从均服从均值为值为 的的Possion分布分布 状态转移阵状态转移阵 0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去销售机会的概率失去销售机会的概率 当平均需求增长（或减少）当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约概率将增长（或减少）约12%。第120页，共135页，编辑于2022年，星期二例例13.6 等级结构等级结构社会系统中的等级结构，适当、稳定结构的意义。社会系统中的等级结构，适当、稳定结构的意义。描述等级结构的演变过程，预测未来的结构；描述等级结构的演变过程，预测未来的结构；确定为达到某个理想结构应采取的策略。确定为达到某个理想结构应采取的策略。引起等级结构变化的因素：引起等级结构变化的因素：v 系统内部等级间的转移：提升和降级；系统内部等级间的转移：提升和降级；v 系统内外的交流：调入和退出系统内外的交流：调入和退出(退休、调离等退休、调离等)。用马氏链模型描述确定性转移问题用马氏链模型描述确定性转移问题 转移比例视为转移比例视为概率概率第121页，共135页，编辑于2022年，星期二基本模型基本模型a(t)等等级结级结构构等等级级 i=1,2,k（如助教、（如助教、讲师讲师、教授）、教授）数量分布数量分布 n(t)=(n1(t),n2(t),nk(t)ni(t)t 年属于等年属于等级级i 的人数，的人数，t=0,1,比例分布比例分布 a(t)=(a1(t),a2(t),ak(t)转转移矩移矩阵阵 Q=pijk k,pij 是每年从是每年从i 转转至至j 的比例的比例第122页，共135页，编辑于2022年，星期二基本模型基本模型第123页，共135页，编辑于2022年，星期二基本模型基本模型 基本模型基本模型 第124页，共135页，编辑于2022年，星期二基本模型基本模型等等级结级结构构a(t)状状态态概率概率P转转移概率矩移概率矩阵阵第125页，共135页，编辑于2022年，星期二用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制问题问题：给给定定Q,哪些等哪些等级结级结构可以构可以用合适的用合适的调调入比例保持不入比例保持不变变a为稳定结构为稳定结构第126页，共135页，编辑于2022年，星期二用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制求求稳稳定定结结构构 a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*稳定域稳定域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行域可行域A例例 大学教大学教师师(助教、助教、讲师讲师、教授、教授)等等级级 i=1,2,3，已知每年，已知每年转转移比例移比例第127页，共135页，编辑于2022年，星期二用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制研究研究稳稳定域定域B的的结结构构寻寻求求a aQ 的另一种形式的另一种形式第128页，共135页，编辑于2022年，星期二用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制稳稳定域是定域是k维维空空间间中以中以 si 为顶为顶点的凸多面体点的凸多面体研究稳定域研究稳定域B的结构的结构第129页，共135页，编辑于2022年，星期二用调入比例进行稳定控制用调入比例进行稳定控制例例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)0.2860.286S1S2S3B稳稳定域定域B是以是以si为顶为顶点的三角形点的三角形第130页，共135页，编辑于2022年，星期二用调入比例进行用调入比例进行动态动态调节调节问题问题：给给定定Q和初始和初始结结构构 a(0),求一系列的求一系列的调调入入比例比例 r,使尽快达到或接近理想使尽快达到或接近理想结结构构逐步迭代法：逐步迭代法：对对于于Q和和 a(0),求求 r使使 a(1)尽量接近尽量接近 a*,再将再将 a(1)作作为为新的新的a(0),继续继续下去。下去。模型模型第131页，共135页，编辑于2022年，星期二例例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)a(0)0