随机事件与概率PPT课件.ppt

上页上页 下页下页 返回返回关于随机事件和概率关于随机事件和概率第一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回题型一题型一 随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算1.随机试验：对随机现象所做的观测，随机试验：对随机现象所做的观测，特点：重复性；所有基本结果是明确的；结果的随机性。特点：重复性；所有基本结果是明确的；结果的随机性。2.样样本空本空间间：每个基本：每个基本结结果称果称为为一个一个样样本点，本点，记为记为所有样本点构成的集合称为样本空间，记为所有样本点构成的集合称为样本空间，记为3.事件：（事件：（1）试验结果所发生的现象）试验结果所发生的现象（2）样本空间的一个子集，即）样本空间的一个子集，即分为分为第二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回,不一定有不一定有 不一定有不一定有4.事件的关系和运算（事件的关系和运算（6个）：个）：互不相容（互斥）互不相容（互斥）注注：集合的所有运算律完全适用于事件，常用的有：集合的所有运算律完全适用于事件，常用的有：结合律，分配律，德结合律，分配律，德.摩根律等摩根律等第三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回作用作用：如何把一个复杂事件分解，用一些简单事件来表示，：如何把一个复杂事件分解，用一些简单事件来表示，一定要会表示一定要会表示“恰好恰好”、“至少至少”、“最多最多”第四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题1：掷一枚硬币掷一枚硬币3次，设事件次，设事件Di表示表示“第第i次出现正面次出现正面”，i=1,2,3，（1）Ai表示表示“恰好出现恰好出现i次正面次正面”，i=0,1,2,3(2)Bi表示表示“至少出现至少出现i次正面次正面”，i=0,1,2,3 第五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回(3)Ci表示表示“最多出现最多出现i次正面次正面”，i=0,1,2,3第六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例例题题2：设设事件事件A与与B满满足足则则=.解解 （A）若）若A与与B互不相容，互不相容，B与与C互不相容，则互不相容，则A与与C互不相容互不相容 例题例题3：设设A,B,C为随机事件，则下列结论正确的是（为随机事件，则下列结论正确的是（）（B）若）若A与与B独立，若独立，若B与与C独立，则独立，则A与与C独立独立(C)若若A包含包含B，B包含包含C，则，则A包含包含C(D)若若A与与B对立，若对立，若B与与C对立，则对立，则A与与C对立对立解解（B）中令）中令;(D)中中答案答案：C第七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回 例例题题4：（：（1）那么那么A,B相互独立相互独立吗吗？解解 不相互独立不相互独立 （3）那么那么A,B相互独立吗？相互独立吗？A,B互不相容吗？互不相容吗？，且设，且设A与与B互不相容，互不相容，且且A,B相互独立相互独立那么那么A,B相不相容相不相容吗吗？A,B相容相容注注（1）条件下，互不相容和相互独条件下，互不相容和相互独立之间没有任何联系。验证独立性相对要容易一些。立之间没有任何联系。验证独立性相对要容易一些。第八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例例题题5：A,B为为任意两个不相容的事件，且任意两个不相容的事件，且，则则必有必有()（A）不相容不相容 （B）相容相容 (C)(D)A,B相互独立相互独立 解解（B）若）若答案答案：CA,B相互独立相互独立,但但A,B不一定互不相容不一定互不相容第九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回题型二题型二 随机事件的概率随机事件的概率1.概率的定义概率的定义：刻划事件：刻划事件A发生的可能性大小的数值，记为发生的可能性大小的数值，记为统计定义统计定义：大量试验中，频率总在一个常数：大量试验中，频率总在一个常数p附近来回摆动，附近来回摆动，把把p值称为概率值称为概率此定义说明了频率和概率之间的近似关系，此定义说明了频率和概率之间的近似关系，概率概率频率频率公理化定义公理化定义：，称为集合函数，且满足，称为集合函数，且满足(1)非负性：非负性：(2)规范性：规范性：第十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回(3)可列可加性：设事件可列可加性：设事件，则有，则有 注注：面积：面积+规范性规范性=概率，所以我们可以把概率形象地看成面积概率，所以我们可以把概率形象地看成面积2.性质：性质：（1）有界性：）有界性：(2)单调性：单调性：(3)有限可加性：设事件有限可加性：设事件，则有，则有特别地，特别地，第十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回3.条件概率条件概率：在：在B 发生的条件下，再考虑发生的条件下，再考虑A发生的概率，发生的概率，称为条件概率，记为称为条件概率，记为理解理解：已经知道试验结果的部分信息下，再求：已经知道试验结果的部分信息下，再求A的概率。的概率。因因为为不不发发生，只需要在生，只需要在B的范的范围围内考察内考察A，此时的此时的样本空间为样本空间为B,显然样本空间缩小了。显然样本空间缩小了。转化为无条件概率：转化为无条件概率：也是一种概率，因也是一种概率，因为满为满足公理化定足公理化定义义的三个条件。的三个条件。第十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回4.古典概率古典概率：（：（1）有限集有限集 （2）等可能性）等可能性任何事件任何事件A,5.几何概率：几何概率：(1)是一个可度量有限区域（一维、二维、三维），是一个可度量有限区域（一维、二维、三维），为为的容积。的容积。第十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回 （2）等可能性：）等可能性：中任何一点都等可能地被取到中任何一点都等可能地被取到 事件事件为有限区域，为有限区域，为为A的容积的容积,则有则有6.加法公式：加法公式：第十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回7.乘法公式：乘法公式：第十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例例1：解：解：第十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题2：设设A,B是两个随机事件，且是两个随机事件，且则则解：解：第十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例例题题3：（：（96考研考研题题）已知）已知且且 则下列选项成立的是（则下列选项成立的是（）第十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回解：解：答案：答案：B第十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例例题题4：设设A,B为为任意的两个事件，且任意的两个事件，且 则则一定有一定有()答案：答案：B第二十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题5（96年考研题）考虑一元二次方程年考研题）考虑一元二次方程 其中其中B,C分别是将一枚骰子连续掷两次先后出现的点数。分别是将一枚骰子连续掷两次先后出现的点数。求该方程有实根的概率和有重根的概率。求该方程有实根的概率和有重根的概率。解：解：A1=“方程有实根方程有实根”A2=“方程有重根方程有重根”第二十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第二十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回补充：补充：球随机投入盒子球随机投入盒子例例4 n个小球随机的投入个小球随机的投入N个盒子，个盒子，假设假设每个盒子能容纳小球的个数不限，求下列事件每个盒子能容纳小球的个数不限，求下列事件的概率。的概率。123Nn小小球球盒子盒子（1）每个盒子至多有）每个盒子至多有1个球；个球；将这将这n 个小球一个一个往盒子里放（样本空间的角度）个小球一个一个往盒子里放（样本空间的角度）第二十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回（2）有有1个盒子个盒子有有2个球，其余的盒子至多个球，其余的盒子至多1个球；个球；23Nn-2小小球球N-1盒子盒子（3）三号盒子三号盒子有有2个球，其余的盒子至多个球，其余的盒子至多1个球；个球；第二十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例例6：设有设有n个人，每个人都被等可能地分配到个人，每个人都被等可能地分配到N(nN)个房间中去住个房间中去住，求下列事件的概率。，求下列事件的概率。（1）指定的）指定的n个房间，其中各住一人；个房间，其中各住一人；（2）恰有）恰有n个房间，其中各住一人；个房间，其中各住一人；(3)某指定的一个房间中恰有某指定的一个房间中恰有m个人住。个人住。第二十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回解：解：（1）A=“指定指定的的n个房间各有一个人住个房间各有一个人住”（2）A=“恰好恰好有有n个房间，其中各有一人住个房间，其中各有一人住”（3）A=“某某指定的一个房间中恰有指定的一个房间中恰有m个人住个人住”第二十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题7：一条公交线路沿途一共有：一条公交线路沿途一共有10个下车站，已知个下车站，已知起始站上有起始站上有20个乘客上车，假设每位乘客在各下车站个乘客上车，假设每位乘客在各下车站下车是等可能的，则在第一站有下车是等可能的，则在第一站有4位乘客下车的概率位乘客下车的概率解解：A=“在第一站有在第一站有4位乘客下车位乘客下车”1231020小小球球盒子盒子第二十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题：例题：一架升降机开始时有一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层的每一层.试求下列事件的概率：试求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开某指定的一层有两位乘客离开”；（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开恰有两位乘客在同一层离开”；（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开至少有两位乘客在同一层离开”.123106小小球球盒子盒子解解（1）第二十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有层离开，有 10 种可能结果，再从六人中选二人在该层离种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有开，有 种离开方式种离开方式.其余其余4人中不能再有两人同时离开人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下的情况，因此可包含以下三三种离开方式：种离开方式：4人中有人中有3个人个人在同一层离开，另一人在其余在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有层中任一层离开，共有 种可能结果；种可能结果；4人同时离开，有人同时离开，有 9 种可能结果；种可能结果；4个人个人都不在同一层离开，有都不在同一层离开，有 种可能结果，故种可能结果，故第二十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题8：铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区E1,E2和和E3的各的各2节、节、3节和节和4节车皮，求发往同一地节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率。区的车皮恰好相邻的概率。解：解：车皮的编号为车皮的编号为1,2,9，A=“发往同一地区的车皮恰好相发往同一地区的车皮恰好相邻邻”样本总数为样本总数为 9！，首先把车皮分为三组，有！，首先把车皮分为三组，有3！种！种各组再全排列，有各组再全排列，有2！3！4！第三十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题9：巴拿赫（：巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有柴，每盒有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根任取一根.试求试求:(1)他首次发现一盒空时另一盒恰有他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多根的概率是多少？少？(2)第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概根的概率又有多少？率又有多少？解解 (1)不妨设甲盒空而乙盒有不妨设甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是是1/2,一共取一共取(2n-r+1)次次，其中，其中 前面的（前面的（2n-r)次中有次中有n次从甲盒中取，次从甲盒中取，最后第（最后第（2n-r+1)次从甲盒取，否则不知其为空，其概率为次从甲盒取，否则不知其为空，其概率为同理，若甲盒有同理，若甲盒有r根而乙盒为空，其概率为根而乙盒为空，其概率为第三十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回所求的概率为所求的概率为另解另解：可以看成（：可以看成（2n-r+1)球随机放到球随机放到2个盒子里，前个盒子里，前（2n-r)个球中有个球中有n个球放入一盒，剩下个球放入一盒，剩下r球全放入另一盒球全放入另一盒,最最后一个球放入装有后一个球放入装有n个球的盒子里。个球的盒子里。第三十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回(2)不妨设甲盒空而乙盒有不妨设甲盒空而乙盒有r根火柴，每次取甲、乙盒的概率都根火柴，每次取甲、乙盒的概率都是是1/2,一共取一共取(2n-r)次次，其中，其中 前面的（前面的（2n-r-1)次中有（次中有（n-1）次从甲盒中取，最后第（次从甲盒中取，最后第（2n-r)次从甲盒取。其概率为次从甲盒取。其概率为同理，若甲盒有同理，若甲盒有r根而乙盒为空，其概率为根而乙盒为空，其概率为第三十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题10：包括包括 a 和和 b 二人在内共二人在内共 n 个人排队，问个人排队，问a,b 间恰有间恰有r 个个人的概率？人的概率？解解：事件：事件A=“a,b 间恰有间恰有r 个人个人”,先考虑先考虑a,b的位置，若的位置，若 a在前面在前面b 在后面，则在后面，则a 有有n-(r+1)个个站法，同理，若站法，同理，若 b在前面在前面a在后面，则在后面，则b 有有n-(r+1)个站法，剩个站法，剩下的位置有（下的位置有（n-2)!站法站法总的样本点为总的样本点为n!第三十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题:n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.解解：（：（1）先不排乙，）先不排乙，n-1人人围绕圆桌而坐。围绕圆桌而坐。（2）圆环排列：）圆环排列：n个不同的元素圆环排列，共有个不同的元素圆环排列，共有(n-1)!不同排法不同排法第三十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题：例题：将一枚均匀硬币掷将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次次，求出现正面次数多于反面次数的概率数的概率.解解 掷掷2n次硬币，可能出现：次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数正面次数多于反面次数，B=正面正面次数少于反面次数次数少于反面次数，C=正面次数等于反面次数正面次数等于反面次数，A，B，C两两互两两互斥斥.可用可用对称性对称性来解决来解决.由于硬币是均匀的，故由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以所以由由2n重贝努里试验中正面出现重贝努里试验中正面出现n次的概率为次的概率为第三十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题：例题：掷掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.解解 设设A=出现正面次数多于反面次数出现正面次数多于反面次数，B=出现反面次数多于出现反面次数多于正面次数正面次数，由对称性知，由对称性知P（A）=P（B）（1）当当n为奇数时，正、反面次数不会相等为奇数时，正、反面次数不会相等.由由P（A）+P（B）=1，得，得P（A）=P（B）=0.5(2)当当n为偶数时，由上题知为偶数时，由上题知或或第三十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题11：将编号为：将编号为1,2,3的三本书随意地排到书架上，则至的三本书随意地排到书架上，则至少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同的概率少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同的概率为多少？为多少？解解：设：设Ai=“第第i本书排到第本书排到第i个位置上个位置上”，i=1,2,3B=“至少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同至少有一本书自左到右的排列序号与它的编号相同”第三十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第三十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题：例题：一列火车共有一列火车共有n节车厢，有节车厢，有k(kn)个旅客上火车并随意地选个旅客上火车并随意地选择车厢择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率求每一节车厢内至少有一个旅客的概率解解 “每一节车厢内至少有一个旅客每一节车厢内至少有一个旅客”，其对立事件为，其对立事件为“至少有一节车厢是空的至少有一节车厢是空的”。设设Ai=第第i节车厢是空的节车厢是空的，（，（i=1,n）,则则第四十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回所求的概率为：所求的概率为：第四十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题12：已知：已知40件产品中有件产品中有3件次品，现从中随意取出两件产品，件次品，现从中随意取出两件产品，求：求：(1)第一次取到次品的概率第一次取到次品的概率p1;第二次取到次品的概率第二次取到次品的概率p2;第二次才取到次品的概率第二次才取到次品的概率p3;(2)取出两件产品至少有件是次品的概率取出两件产品至少有件是次品的概率p4;(3)取出两件产品中至少有一件是次品，那么另一件也是次品取出两件产品中至少有一件是次品，那么另一件也是次品的概率的概率p5;(4)已知取出的两件产品中第一件是次品，已知取出的两件产品中第一件是次品，那么第二件也是次品的概率那么第二件也是次品的概率p6;第四十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回解解：Ai=“第第 i 次取到次品次取到次品”，i=1,2第四十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回P取出两件产品中有一件是次品，另一取出两件产品中有一件是次品，另一件也是次品件也是次品第四十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第四十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题13：为了防止意外，在矿内同时设有甲、乙两种：为了防止意外，在矿内同时设有甲、乙两种报警系统，每种系统单独使用时，甲、乙有效的概率报警系统，每种系统单独使用时，甲、乙有效的概率分别为分别为0.92、0.93，在甲系统失灵的条件下，乙系统，在甲系统失灵的条件下，乙系统仍有效的概率为仍有效的概率为0.85，求，求(1)发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的(2)概率概率(2)在乙失灵的条件下，甲仍有效的概率在乙失灵的条件下，甲仍有效的概率解：解：设事件设事件A,B分别为甲分别为甲,乙单独使用时有效乙单独使用时有效第四十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第四十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题14：在区间：在区间(0,1)上随机地取两个数上随机地取两个数u,v，则关于，则关于x 的一元二次方程的一元二次方程有实根的概率。有实根的概率。解：解：第四十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回题型三题型三 全概率公式、贝叶斯公式全概率公式、贝叶斯公式1.公式公式：设：设B1,B2,Bn为样本空间的为样本空间的一个划分，即一个划分，即（1）互不相容；互不相容；（2）若若，则对任意事件，则对任意事件A，有，有第四十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回2.全概率公式全概率公式：先把：先把A分解分解再由加法公式和乘法公式得到全概率公式再由加法公式和乘法公式得到全概率公式.最关键的环节是寻找与最关键的环节是寻找与A有关的事件有关的事件B1,B2,Bn（称为导致（称为导致A发生的原因或条件），一般说来事件发生的原因或条件），一般说来事件A是一个比较简单的是一个比较简单的事件，但要求事件，但要求A的概率还是比较难，此时就要考虑全概率公的概率还是比较难，此时就要考虑全概率公式。式。3.贝叶斯公式贝叶斯公式：已知结果：已知结果A发生了，再回过头来寻找发生了，再回过头来寻找原因，是原因，是Bi引起的概率是多少，所以这是一个条件概率。引起的概率是多少，所以这是一个条件概率。典型例子：医生看病典型例子：医生看病第五十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题1：(05考研题考研题)从数从数1,2,3,4中任取一个数，记为中任取一个数，记为X,再从再从1,2,X中任取一个数，记为中任取一个数，记为Y,则则解：解：第五十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题2：（：（98年考研题）年考研题）设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各10名、名、15名和名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、份、7份和份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份先后抽出两份（1）求先抽取的一份是女生表的概率）求先抽取的一份是女生表的概率（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率是女生表的概率解：解：Ai=“第第 i 次抽到的报名表是女生次抽到的报名表是女生”，i=1,2Bi=“第第 i 地区的报名表地区的报名表”，i=1,2,3第五十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第五十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第五十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题3：每箱产品有：每箱产品有10件，其中次品数从件，其中次品数从0到到2是等可能的，是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率，一件次品被误判为正品的概率为为10%，求，求(1)检验一箱产品能通过验收的概率检验一箱产品能通过验收的概率(2)检验检验10箱产品通过率不低于箱产品通过率不低于90%的概率的概率解：解：A=“通过验收通过验收”=“检验为正品检验为正品”B=“产品为正品产品为正品”C i=“一箱产品中有一箱产品中有 i 个次品个次品”，i=0,1,2第五十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回(2)X表示表示10箱被接收的箱数，箱被接收的箱数，XB(10,0.892)第五十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题4：甲盒内有：甲盒内有3个白球和个白球和2个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个球个球放入空盒乙中，然后从乙盒内任取放入空盒乙中，然后从乙盒内任取2个球放入空盒丙中，个球放入空盒丙中，最后从丙盒内再任取最后从丙盒内再任取1个球，试求：个球，试求：(1)从丙盒内取出的球是白球的概率从丙盒内取出的球是白球的概率(2)若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到若从丙盒内取到白球，当初从甲盒内取到3个白球个白球的概率的概率解解：C=从丙盒中取到白球从丙盒中取到白球Bj=从乙盒中取到从乙盒中取到 j 白球白球,j=0,1,2Ai=从甲盒中取到从甲盒中取到 i 白球白球,i=1,2,3第五十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第五十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第五十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第六十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题6：一条自动生产线连续生产：一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为件产品不出故障的概率为假设产品的优质品率为假设产品的优质品率为.如果各件产品是否如果各件产品是否为优质品相互独立。为优质品相互独立。(1)计计算生算生产线产线在两次故障在两次故障间间共生共生产产k件件(优质优质品的概率品的概率(2)若已知在某两次故障间该生产线生产了若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，件优质品，求它共生产求它共生产m件产品的概率。件产品的概率。第六十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回解解：An=“两次故障间共生产两次故障间共生产 n 件产品件产品”,n=0,1,2,Bk=“两次故障间共生产两次故障间共生产 k 件优质品产品件优质品产品”,第六十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第六十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第六十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题7：设有一传输信道，若将三字母：设有一传输信道，若将三字母A,B,C分别输入信道，分别输入信道，输出为原字母的概率为输出为原字母的概率为 ，输出为其它字母的概率为，输出为其它字母的概率为 ，现将，现将3个字母串个字母串AAAA,BBBB,CCCC分别输入信道，输分别输入信道，输入的概率分别为入的概率分别为设信道传输每个字母相互独立，已知输出字母串为设信道传输每个字母相互独立，已知输出字母串为ABCA，问输入为，问输入为AAAA的概率？的概率？答案：答案：第六十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题8：用某种仪器检验电子元件，若元件是正品，经检验也：用某种仪器检验电子元件，若元件是正品，经检验也是正品的概率为是正品的概率为0.99；若元件是次品，经检验也是次品的概；若元件是次品，经检验也是次品的概率为率为0.95。当大批元件送来检验时，检验员只随机地无放回抽取。当大批元件送来检验时，检验员只随机地无放回抽取3件，对每件独立检验。若检验件，对每件独立检验。若检验3件全是正品，则这批元件就可以件全是正品，则这批元件就可以出厂。现送来元件出厂。现送来元件100，已知其中有，已知其中有4件次品，求这件次品，求这100件产品能件产品能出厂的概率。出厂的概率。解解：A=“能出厂能出厂”Bi=“取出的取出的3个产品有个产品有i个正品个正品”，i=0,1,2,3第六十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回第六十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回题型四题型四 事件的独立性与独立重复试验事件的独立性与独立重复试验1.事件的独立事件的独立：若：若A与与B发生与否互不影响发生与否互不影响.与任何事件与任何事件A相互独立。相互独立。对立，互不相容，独立的事件组对立，互不相容，独立的事件组第六十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回任意任意事件的乘积的概率等于这些事件的乘积的概率等于这些事件的概率乘积事件的概率乘积若若相互独立，则任何一小部分事件也是相互独立，则任何一小部分事件也是相互独立的相互独立的相互独立与相互独立与两两独立的区别两两独立的区别相互独立与相互独立与互不相容的区别互不相容的区别第六十九张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回3.n重贝努利试验重贝努利试验：一共做了：一共做了n次试验，满足：次试验，满足：（3）每次试验，）每次试验，保持不变保持不变（2）每次试验只有两种结果）每次试验只有两种结果 ；（1）试验之间是相互独立；）试验之间是相互独立；在在n重贝努利试验中，重贝努利试验中，A发生发生k次的概率为次的概率为第七十张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题1：（：（99考研题）设两两相互独立的事件考研题）设两两相互独立的事件A,B和和C满足条件：满足条件：,且已知且已知,则则解：解：第七十一张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题2：（：（98考研题）设考研题）设A,B,C是三个相互独立的是三个相互独立的,则在下列给定则在下列给定随机事件，且随机事件，且的四对事件中不相互独立的是的四对事件中不相互独立的是答案：答案：B注：注：相互独立相互独立,则则它它们们中任何一部分事件中任何一部分事件的运算结果所得的事件与其他一部分或它们的运算的运算结果所得的事件与其他一部分或它们的运算结果是相互独立的。结果是相互独立的。第七十二张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题3：（：（96年考研）一实习生用同一台机器接连独立地年考研）一实习生用同一台机器接连独立地制造制造3个同种零件，第个同种零件，第i个零件是不合格品的概率个零件是不合格品的概率，以，以X表示表示3个零件中合格品的个数，个零件中合格品的个数，则则解解：Ai=“第第 i 个零件是合格品个零件是合格品”，i=1,2,3,且相互独立且相互独立第七十三张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题4：（：（03考研题）将一枚硬币独立地掷两次，考研题）将一枚硬币独立地掷两次，A1=第一次掷出正面第一次掷出正面，A2=第二次掷出正面第二次掷出正面，A3=正、反面各出现一次正、反面各出现一次，A4=正面出现两次正面出现两次，则必有则必有（A）A1,A2,A3 相互独立相互独立 （B）A2,A3,A4 相互独立相互独立（C）A1,A2,A3 两两独立两两独立 （D）A2,A3,A4 两两独立两两独立第七十四张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回分析分析：样本空间：样本空间 =(正正,正正)，(正反正反)，(反反,正正)，(反反,反反)A1=(正正,反反)，(正正,正正)A2=(正正,正正)，(反反,正正)A3=(正正,反反)，(反反,正正)A4=(正正正正)B,D都不正确都不正确第七十五张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回即即A1,A2,A3 两两独立两两独立即即A1,A2,A3 不相互独立不相互独立答案答案:C第七十六张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回例题例题5：甲、乙二人轮流投篮，游戏规则是甲先开始，：甲、乙二人轮流投篮，游戏规则是甲先开始，且甲每轮只投一次，乙每轮连续投两次，先投中者且甲每轮只投一次，乙每轮连续投两次，先投中者为胜。设甲乙每次投篮的命中率分别为为胜。设甲乙每次投篮的命中率分别为p和和0.5，则，则p为多少时，甲乙胜负的概率相等。为多少时，甲乙胜负的概率相等。解解:甲乙乙甲乙乙 甲乙乙甲乙乙 甲乙乙甲乙乙 甲乙乙甲乙乙 第七十七张，PPT共七十八页，创作于2022年6月上页上页 下页下页 返回返回感感谢谢大大家家观观看看第七十八张，PPT共七十八页，创作于2022年6月