第九章按应力求解扭转精选文档.ppt

第九章按应力求解扭转本讲稿第一页，共十六页第八章 扭转第一节 基本方程 等截面直杆，体力不计，受扭矩作用如图。除了横截面上的切应力zx、zy以外，其余的应力分量为假设零代入平衡方程，得根据前两方程可见，zx、zy只是x和y的函数，与z无关，由第三式本讲稿第二页，共十六页根据微分方程，一定存在一个函数（x，y），使得将其代入相容方程本讲稿第三页，共十六页前三式及最后一式得到满足，其余二式要求这就要求本讲稿第四页，共十六页边界条件：在侧面n=0，外力分量为零在边界上有说明在横截面的边界上，应力函数为常量，由于应力函数减一个常数，应力分量不受影响，因此在单连通截面（实心杆）时可设在边界上有即于是有本讲稿第五页，共十六页在杆端，切应力合成为扭矩分步积分，并注意在边界上为零本讲稿第六页，共十六页最后得到扭转的位移公式根据应力、应变、位移的关系可以得到本讲稿第七页，共十六页积分后得到其中K表示杆的单位长度内的扭转角.不计刚体位移代入前面右边前两式本讲稿第八页，共十六页上式可用来求出位移分量w。上两式分别对x和y求导，再相减，得可见前面公式中的C=-2GK.本讲稿第九页，共十六页椭圆截面杆的扭转椭圆的半轴分别为a和b，其边界方程为应力函数在边界上应等于零，故取代入得求得本讲稿第十页，共十六页代入得由可得于是得最后得本讲稿第十一页，共十六页最后得到解答于是由本讲稿第十二页，共十六页下面讲述差分方法的一般过程。设是求解区域上的函数，先等距离划分求解区域如图，节点间的距离设为h，则内节点各导数可以表示如下：第二节 差分方法 单连通等截面直杆的扭转问题，用差分方法求解比较方便。差分法，一般是把微分方程中的微分用节点上的值的差（差分）来代替，得到代数方程组，求解节点上的值。方法简单易行，缺点是求解区域规则时才比较方便。本讲稿第十三页，共十六页 将其代入扭转问题的基本方程，得到该节点处的差分方程：本讲稿第十四页，共十六页 边界上的节点值对于单连通区域可设为零。对于其他的内节点均可的得到类似的方程，最后得到关于节点的扭转函数的线性方程组，求得各节点后，再根据由差分公式计算。应力分量是用KGh表示的，单位长度扭转角可用公式得到。本讲稿第十五页，共十六页 本系统所附mathcad中含有解泊松方程的子程序，其中M为一般方程中的源函数项在各节点的值形成的矩阵，该矩阵要求为每边节点数为 1+2n如5、9、17、33等，一般来说，网格越密，精度越高，可以通过附录对方形截面的例子进行实验。在节点数不太多时，精度就可满足一般工程要求了。本讲稿第十六页，共十六页