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电容和电场能量本讲稿第一页，共十七页2、电容器、电容器 电容的概念可推广到一个导体系统上。让电容的概念可推广到一个导体系统上。让我们考虑电荷各为我们考虑电荷各为+Q 和和-Q 的二个导的二个导+Q-QU 2U1如果如果 U1 和和 U2 分别为它们的电势，则该系统的分别为它们的电势，则该系统的电容定义为电容定义为 C=Q/(U1-U2)这种安排就构成了一个所谓电容器。这种安排就构成了一个所谓电容器。本讲稿第二页，共十七页例：无限大平行平面所构成的电容器例：无限大平行平面所构成的电容器 介质中的电位移和电场分别为：介质中的电位移和电场分别为：D=，E=/两平面导体之间的电势差为：两平面导体之间的电势差为：U1-U2=Ed=d/如果如果 S 是金属片的面是金属片的面积，可得积，可得 Q=S。则平板电容为：则平板电容为：C=Q/(U1-U2)=S/d/C=S/d+Dd+高斯面高斯面本讲稿第三页，共十七页材料介电常数材料介电常数实用测量方法：实用测量方法：先测量没有介电材料时电容器的电容先测量没有介电材料时电容器的电容 Co=o S/d再在两平板之间填满被测介质而重测电容再在两平板之间填满被测介质而重测电容 C =S/d 于是得：于是得：C/Co=/o=r 所以两电容之比就是放在两平板之间材料所以两电容之比就是放在两平板之间材料的相对介电常数。的相对介电常数。根据电容的定义和串并联的特点，同学们根据电容的定义和串并联的特点，同学们可证明电容器串联和并联公式：可证明电容器串联和并联公式：串联公式：串联公式：1/C=1/C1+1/C2+1/C3+并联公式：并联公式：C=C1+C2+C3+本讲稿第四页，共十七页例例7-8 试求同心球形电容器的电容试求同心球形电容器的电容 (介质为真空介质为真空)解：两导体之间的电场为解：两导体之间的电场为 E=Q/4o r2 ro 电极电极 A、B 之间电势差为之间电势差为UA-UB=AB E d l =RARBQ/4or2dr =Q(RB-RA)/4oRARB 电容：电容：C=Q/(UA-UB)=4o RARB/(RB-RA)若若 RB，则，则 C=4o RA，即为孤立导体，即为孤立导体球的电容。球的电容。RARBAB+0QQ本讲稿第五页，共十七页EDUUABC讨论；讨论；1.电容计算之步骤：电容计算之步骤：2.电容器之电容和电容器之结构，几何电容器之电容和电容器之结构，几何形状、尺寸及介质有关。形状、尺寸及介质有关。3.电容器是构成各种电子电路的重要器电容器是构成各种电子电路的重要器件件,也是电力工业中的一个重要设备。它的作也是电力工业中的一个重要设备。它的作用有整流、隔直、延时、滤波、分频及提高用有整流、隔直、延时、滤波、分频及提高功率因数等。功率因数等。本讲稿第六页，共十七页3.求此电容器之电容。求此电容器之电容。1.用高斯定理求：用高斯定理求：2.求：求：UUAB；UUAB；练习练习 一平行板电容器，其中填充了一一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为 D1D2,+dd120rBCA+D1D2EE12r。EE12,；本讲稿第七页，共十七页dd120rBCA+D1+S本讲稿第八页，共十七页dd120rBCA+D1+SsD=EdSs.DdS上上.DdS下下.DdS侧侧.+=+00DS=SD=D1110 本讲稿第九页，共十七页dd10rBCA+D2+SsD=EdSs.DdS上上.DdS下下.DdS侧侧.+=+00DS=SD=D2220r2DdS上上.2cos180o=2 本讲稿第十页，共十七页=UUABdlE.AC1dlE.CB2+0S=00dlACdlCB+0r=dd12+C=UUABr0=dd12+S+dd120rBCA+D1D2EE12r 本讲稿第十一页，共十七页二、电场能量二、电场能量 充电过程：电量充电过程：电量 0 Q t 时刻时刻：电容：电容 C 带电带电 q，电势为，电势为 U=q/C。dq：导体上，外力作功：导体上，外力作功：dA=Udq 导体上能量的增量导体上能量的增量 dEe：dEe=U dq=qdq/C 当导体上的电荷由当导体上的电荷由 0 Q 时，导体能量时，导体能量的总增量为：的总增量为：Ee=oQ qdq/C =Q2/2C=CU2/2=UQ/2本讲稿第十二页，共十七页Ee=Q2/2C=CU2/2=UQ/2 此式对电容器也成立，其中此式对电容器也成立，其中 U 改为电势差改为电势差 U1-U2。对平板电容器：对平板电容器：C=S/d,(U1-U2)=Ed Ee=C(U1-U2)2/2 =(S/d)(E d)2/2 =E2 S d/2=E2 V/2 单位体积储存在电场中的能量，单位体积储存在电场中的能量，即电场能即电场能量密度量密度 we 为为 we=E2/2=ED/2本讲稿第十三页，共十七页例例7-9 试证明半径为试证明半径为 R，带电量为，带电量为 Q 的球形导的球形导体在无限大介质中体在无限大介质中(介电常数为介电常数为)的电场能量为的电场能量为 Ee=E2 dV/2=Q2/8R 。R+Q+证明：球形导体的电荷均匀分布在球体表证明：球形导体的电荷均匀分布在球体表 面上，其电场分布为面上，其电场分布为 E=0 (r R)E=Q/4r2 (r R)在球体内在球体内：电场能量为零：电场能量为零 (因为因为 E=0)；本讲稿第十四页，共十七页在球体外：在球体外：半径为半径为 r，厚度为，厚度为 dr 的薄层球壳中的薄层球壳中的能量为的能量为 dEe=E2 dV/2 =(Q/4r2)24 r2dr/2 =(Q2/8 r2)drdrrR+Q因此，球形导体的电场能量为因此，球形导体的电场能量为 Ee=dEe=R(Q2/8 r2)dr =Q2/8 R 根据电场在根据电场在空间的分布，然而计算出空间中的空间的分布，然而计算出空间中的总电场能量总电场能量 Ee，则可利用则可利用 C=Q2/2Ee式来计式来计算出电容器的电容值算出电容器的电容值，这是计算电容的另一，这是计算电容的另一种方法。种方法。本讲稿第十五页，共十七页例例7-10 电子半径的估计电子半径的估计解：为了简化我们的计算起见，解：为了简化我们的计算起见，我们假定电子我们假定电子是一个半径为是一个半径为 r 的实心球体，带有电荷的实心球体，带有电荷-e，同，同时只是表面带电。时只是表面带电。利用例利用例 7-9 的结果，电子的电场能量的结果，电子的电场能量(介介质为真空质为真空)为：为：Ee=Q2/8 o r将这些能量看作是电子的静能将这些能量看作是电子的静能 mec2，即：，即：Q2/8 o r=mec2 因此，可求出因此，可求出电子的半径电子的半径为：为：r=(1/2)(e2/4 o mec2)本讲稿第十六页，共十七页 但是如果我们对电子的电荷分布采取不同但是如果我们对电子的电荷分布采取不同的模型，我们就会得到一个不同的数字因子，的模型，我们就会得到一个不同的数字因子，而不一定是而不一定是 1/2。由于这一原因，习惯上就将。由于这一原因，习惯上就将 re=e2/4 o mec2 =2.817810-15m作为电子半径的定义。作为电子半径的定义。我们说这个半径不能被严格地当作是几何我们说这个半径不能被严格地当作是几何意义上的半径，而只是电子意义上的半径，而只是电子“集中集中”区域的大区域的大小的估计而已。小的估计而已。本讲稿第十七页，共十七页
