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塑性力学应力状态塑性力学应力状态第1页，共47页，编辑于2022年，星期五第第1章章 应力分析应力分析1.应力状态应力状态2.三维应力状态分析三维应力状态分析3.三维应力状态的主应力三维应力状态的主应力4.最大剪应力最大剪应力5.等倾面上的正应力和剪应力等倾面上的正应力和剪应力6.应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角7.应力张量的分解应力张量的分解8.平衡微分方程平衡微分方程第2页，共47页，编辑于2022年，星期五1.外力外力体力、面力体力、面力(1)体力体力 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位：N/m3kN/m3说明：说明：(1)F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。11 应力状态应力状态第3页，共47页，编辑于2022年，星期五(2)面面力力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位：1N/m2=1Pa(帕帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕兆帕)说明：说明：(1)F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。第4页，共47页，编辑于2022年，星期五2.应力应力(1)一点应力的概念一点应力的概念dSd dP P内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用物体内部分子或原子间的相互作用力力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)M(1)M点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2)应力矢量应力矢量-M点的应力点的应力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa(兆帕兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的第5页，共47页，编辑于2022年，星期五斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的总应力斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力第6页，共47页，编辑于2022年，星期五平面应力状态平面应力状态主应力与应力主向主应力与应力主向最大剪应力最大剪应力第7页，共47页，编辑于2022年，星期五摩尔应力圆摩尔应力圆第8页，共47页，编辑于2022年，星期五x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：12 三维应力状态三维应力状态第9页，共47页，编辑于2022年，星期五用矩阵表示：用矩阵表示：其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。xyzO第10页，共47页，编辑于2022年，星期五与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：xy规定使得单元体顺时转的剪应力规定使得单元体顺时转的剪应力为正，为正，反之为负。反之为负。在用在用应力莫尔圆应力莫尔圆时必须用此规定求解问题时必须用此规定求解问题xyzO第11页，共47页，编辑于2022年，星期五四面体受力图四面体受力图 在在某某点点处处取取出出一一无无限限小小四四面面体体。它它的的三三个个面面分分别别与与x、y、z三三个个轴轴相相垂垂直直。另另一一面面即即为为任任意意倾倾斜斜面面，其其法法线线为为v，其其方方向向余余弦弦为为l、m、n。pv第12页，共47页，编辑于2022年，星期五利利用用力力的的平平衡衡条条件件，可可得得任任意意斜斜截截面面上上的的应应力力pv作作用用于于任任一一斜斜截截面面上上的的应应力力向向量量分分量量可可以以用用作作用用在在与与坐坐标标轴轴垂垂直直的的三三个个面面上上的的应应力力向向量量分分量量来表示。来表示。上式可作为力的边界条件的表达式。上式可作为力的边界条件的表达式。第13页，共47页，编辑于2022年，星期五13 三维应力状态的主应力三维应力状态的主应力在在过过任任一一点点所所作作任任意意方方向向的的单单元元面面积积上上都都有有正正应应力力和和剪剪应应力力。如如果果在在某某一一方方向向剪剪应应力力为为零零，则则此此方方向向即即称称为为主主方方向向（应应力力主主向向），而而这这时时在在该该面面上上的的正正应应力力便便称为主应力。称为主应力。如如果果v方方向向为为主主应应力力平平面面的的方方向向，则则有有pvx=x l，pvy y m，pvz=z n，则得，则得 几何关系几何关系第14页，共47页，编辑于2022年，星期五l,m,n不不能能同同时时为为零零，因因此此前前式式为为包包括括三三个个未未知知量量l l,mm,n n的的的的线线线线性性性性齐齐齐齐次次次次方方方方程程程程。若若若若有有有有非非非非零零零零解解解解，则则则则此此此此方方方方程程程程组组组组的的的的系系系系数数数数行行行行列列列列式式式式应应应应当等于零，即当等于零，即当等于零，即当等于零，即展开行列式得到展开行列式得到展开行列式得到展开行列式得到 其中其中其中其中第15页，共47页，编辑于2022年，星期五I1、I2、I3不不随随坐坐标标方方向向不不同同而而变变，称称为为应应力力张张量量不不变变量量，分分别别称称为为应应力力张张量量第第一一（一一次次）不不变变量量、第第二二（二二次次）不不变变量量与与第第三三（三三次次）不变量。不变量。解一元三次方程，得三个主应力解一元三次方程，得三个主应力 1,2,3。I1、I2、I3可用主应力表示如下：可用主应力表示如下：求求解解主主应应力力时时，先先求求出出各各应应力力张张量量不不变变量量，再再解一元三次方程。解一元三次方程。第16页，共47页，编辑于2022年，星期五【例例】已已知知一一点点的的应应力力状状态态由由如如下下应应力力分分量量确确定，即定，即试求主应力的值。试求主应力的值。【解解】求求各各应应力力张张量量不不变变量量，I1=3，I2=-6，I3=-8，代入一元三次方程得，代入一元三次方程得解得解得第17页，共47页，编辑于2022年，星期五斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力设斜截面上的正应力为设斜截面上的正应力为 v,则由投影可得则由投影可得若若三三个个坐坐标标轴轴的的方方向向为为主主方方向向，且且主主应应力力大大小小顺顺序序按按x,y,z排列，则排列，则总应力为总应力为斜截面上的剪应力为斜截面上的剪应力为第18页，共47页，编辑于2022年，星期五三维应力圆三维应力圆三三三三维维维维应应应应力力力力状状状状态态态态下下下下任任任任意意意意斜斜斜斜截截截截面面面面上上上上的的的的正正正正应应应应力力力力和和和和剪剪剪剪应应应应力力力力，在在在在以以以以三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力组组组组成成成成的的的的应应应应力力力力圆圆圆圆所所所所围围围围成成成成的的的的阴阴阴阴影影影影的的的的范范范范围之内。围之内。围之内。围之内。最最大大剪剪应应力力等等于于最最大大和和最最小小正正应应力值之差的一半。力值之差的一半。第19页，共47页，编辑于2022年，星期五14 最大剪应力最大剪应力主主应应力力平平面面上上的的剪剪应应力力为为零零；最最大大剪剪应应力力位位于于坐坐标标轴轴分分角角面面上上，而而三三个个最最大大剪剪应应力力分分别别等等于于三三个个主主应应力力两两两两之之差差的一半。的一半。第20页，共47页，编辑于2022年，星期五在在主主应应力力坐坐标标系系中中（1,2,3分分别别代代表表 1,2,3）主主应应力力与与最最大大剪剪应应力力作作用用面面及及其其方向余弦方向余弦第21页，共47页，编辑于2022年，星期五1-5 等倾面上的正应力和剪应力等倾面上的正应力和剪应力等等等等倾倾倾倾面面面面就就是是和和三三个个主主应应力力轴轴成成相相同同角角度度（54 44）的的面面，等等倾倾面面的的法法线线方方向向也也与与三三个个主主应应力力轴轴成成相相同同的的角角度度。法法线线v为为为为空空空空间间间间对对对对角角角角线线线线，也也也也称称称称为为为为等等等等倾倾倾倾线线线线。等等倾倾面面法法线线的的方方向向余余弦弦l l,mm,n n可由下式确定可由下式确定可由下式确定可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力第22页，共47页，编辑于2022年，星期五主应力空间主应力空间：以三个主：以三个主应力为轴而组成的笛卡应力为轴而组成的笛卡儿坐标系儿坐标系若若将将 1,2,3轴轴在在等等倾倾面面上上投投影影，则则在在等等倾倾面面上上 可可 以以 得得 到到 互互 相相 成成120 角的三个坐标轴。角的三个坐标轴。第23页，共47页，编辑于2022年，星期五等倾面及其上应力等倾面及其上应力 第24页，共47页，编辑于2022年，星期五向量向量 在等倾线上的投影在等倾线上的投影 0向量向量 在等倾面上的投影在等倾面上的投影 0 0与轴与轴 1在等倾面上的投影之间的夹角在等倾面上的投影之间的夹角 称为应力状态的特征角，称为应力状态的特征角，cos 为应力形式指数为应力形式指数。等倾面上一点的应力状态等倾面上一点的应力状态八面体上八面体上的正应力的正应力与剪应力与剪应力第25页，共47页，编辑于2022年，星期五偏平面偏平面如果等倾面上的正应力如果等倾面上的正应力 0=0，？，？如果如果 0=0，等倾面过原点，则此等倾面称为，等倾面过原点，则此等倾面称为 平面平面。平面上没有正应力，只有剪应力，只平面上没有正应力，只有剪应力，只有应力偏张量，所以有应力偏张量，所以 平面又叫平面又叫偏平面偏平面。第26页，共47页，编辑于2022年，星期五应力强度应力强度 或广义剪应力或广义剪应力 0 为平均应力或静水为平均应力或静水压力，只引起物体体压力，只引起物体体积的变化，积的变化，i 或或 0只只引起物体形状的变化，引起物体形状的变化，与应力状态有关。与应力状态有关。第27页，共47页，编辑于2022年，星期五应力偏量分量、主应力用应力强度、平应力偏量分量、主应力用应力强度、平均应力与应力状态状态角表示均应力与应力状态状态角表示 应力偏量应力偏量 主应力主应力 s1+s2+s3=0 1+2+3 =3 0 第28页，共47页，编辑于2022年，星期五应力星圆应力星圆应应力力星星圆圆是是以以距距原原点点O为为 0的的一一点点为为圆圆心心，以以2 i/3为为半半径径所所画画的的圆圆。由由圆圆心心O 点点开开始始作作与与轴轴O 成成 角角的的直直线线，则则此此直直线线与与圆圆的的交交点点在在O 轴轴上上的的投投影影即即为为 1。由由O A线线顺顺时时针针旋旋转转120 作作一一直直线线，此此直直线线与与圆圆的的交交点点在在 轴轴上上的的投投影影即即为为 2。而而由由O A线线顺顺时时针针旋旋转转240 所所作作的的直直线线与与圆圆的的交交点点在在 轴轴上上的的投投影影即为即为 3。第29页，共47页，编辑于2022年，星期五应力星圆应力星圆第30页，共47页，编辑于2022年，星期五应力状态与应力状态与应力星圆应力星圆第31页，共47页，编辑于2022年，星期五【例例例例】已已知知应应力力状状态态为为：1 1=150MPa,=150MPa,2 2=50MPa,3 3=-50MPa，试画出应力星圆。，试画出应力星圆。【解】【解】【解】【解】0 0=(150+50-50)/3=50MPa=(150+50-50)/3=50MPa 故，故，故，故，=30。第32页，共47页，编辑于2022年，星期五应力星圆应力星圆第33页，共47页，编辑于2022年，星期五最大剪应力用最大剪应力用 i 和和 表示表示第34页，共47页，编辑于2022年，星期五应力星圆应力星圆剪剪应应力力 2的的绝绝对对值最大。值最大。1 1OO 1 1 3 3 2 2 0 0 2 2 3 3第35页，共47页，编辑于2022年，星期五1-6 应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角在在 平平面面上上建建立立直直角角坐坐标标系系Oxy，取取y轴轴方方向向与与 2轴轴在在 平平面面上上投投影影2 一一致。致。矢矢量量Op在在坐坐标标轴轴1 上上的的投投影影长长度度为为O p1 =1，在在2 上上的的投投影影长长度度为为O p2=2，在在3 上上的的投投影影长长 度度 为为 O p3 =3。矢矢量量Op与与x轴轴夹夹角角为应力罗德角为应力罗德角 。120 120 1 2 3 O yxpp3 p2 p1 第36页，共47页，编辑于2022年，星期五应应力力罗罗德德参参数数与与应应力力罗罗德德角角和和应应力力状状态态特特征征角角的的关系关系 r r 第37页，共47页，编辑于2022年，星期五应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角应力罗德角应力罗德参数 洛洛德德角角，平平面面上上的的剪剪应应力力 与与2 轴轴的的垂垂线线间间的的夹夹角；角；洛德参数，洛德参数，。第38页，共47页，编辑于2022年，星期五应力罗德参数应力罗德参数-30 30 -1-1 1 第39页，共47页，编辑于2022年，星期五应力状态与应力罗德角应力状态与应力罗德角第40页，共47页，编辑于2022年，星期五【例例例例】已已已已知知知知一一一一点点点点的的的的主主主主应应应应力力力力 1 3 2 2 3 3 3，试试求求该该点点的的应应力力形形式式指指数数cos 、应应力力罗罗德德参参数数 、应应力力状状态态特特征征角角 、应应应应力力力力罗罗罗罗德德德德角角角角 ，并并在在 平平平平面面面面（等等等等倾倾倾倾面面面面）上上上上画画画画出出出出两两两两个个个个角角角角度度度度之之之之间间间间的关系。的关系。的关系。的关系。第41页，共47页，编辑于2022年，星期五如如 果果 1 1 3 3，2 2 3 3，则，则，则，则 30 0 r 30 0 1 3 3 2 2 3 3 3第42页，共47页，编辑于2022年，星期五1-7 应力张量的分解应力张量的分解一一点点的的应应力力状状态态可可以以用用6个个应应力力分分量量来来表表示示，在在给给定定的的受受力力情情况况下下，各各应应力力分分量量的的大大小小与与坐坐标标轴轴的的方方向向有有关关，而而它它们们作作为为一一个个整整体体用用来来表表示示一一点点应应力力状状态态的的这这一一物物理理量量（称称为为应应力力张张量量）则则与与坐坐标标的的选选择择无无关关。所所谓谓张张量量是是指指在在坐坐标标变变换换时时，按按某某种种指指定定形形式式变变化化的的量量。张张量量的的分分量量随随坐坐标标的的变变换换而而变变化化。应应力力张张量量是是二二阶阶张张量量。应力张量是二阶对称张量。应力张量是二阶对称张量。第43页，共47页，编辑于2022年，星期五应力张量应力分量应力偏量张量应力球张量克罗内克尔（克罗内克尔（Kronecker）符号）符号第44页，共47页，编辑于2022年，星期五应应力力张张量量的的分分解解第45页，共47页，编辑于2022年，星期五将将应应力力状状态态分分解解为为球球形形应应力力张张量量和和应应力力偏偏量量，球球形形应应力力张张量量表表示示各各向向均均匀匀受受力力状状态态，有有时时也也称称静静水水压压力力状状态态。将将原原应应力力状状态态减减去去静静水水压压力力状状态态即即可可得得到到应应力力偏偏量量状状态态。球球形形应应力力张张量量引引起起物物体体体体积积的的改改变变，而而应应力力偏偏量量则则引引起起物物体体形形状的变化。状的变化。第46页，共47页，编辑于2022年，星期五应力偏量张量不变量应力偏量张量不变量第47页，共47页，编辑于2022年，星期五