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电动力学电像法本讲稿第一页，共二十八页二二二二.镜像法镜像法镜像法镜像法:例例例例1,1,1,1,接地无限大平面导体板附近有一点电荷接地无限大平面导体板附近有一点电荷接地无限大平面导体板附近有一点电荷接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q,Q,Q,Q,求空间中的电场求空间中的电场求空间中的电场求空间中的电场.理论依据理论依据理论依据理论依据:唯一性定理唯一性定理唯一性定理唯一性定理实质实质实质实质:等效代替等效代替等效代替等效代替y yx x(a,0,0),0,0)+Q-本讲稿第二页，共二十八页由于由于由于由于 ，设想在求解区域以外的，设想在求解区域以外的，设想在求解区域以外的，设想在求解区域以外的x x x x轴上，轴上，轴上，轴上，-a-a-a-a处放一假想电荷处放一假想电荷处放一假想电荷处放一假想电荷 ，代替导体板上的感应电荷，代替导体板上的感应电荷，代替导体板上的感应电荷，代替导体板上的感应电荷在在在在x0 x0区域的电场，这样区域的电场，这样区域的电场，这样区域的电场，这样-Q Q 与与与与Q Q 一起使边界条件得到了一起使边界条件得到了一起使边界条件得到了一起使边界条件得到了满足，且未改变满足，且未改变满足，且未改变满足，且未改变x0 x0区的泊松方程，则区的泊松方程，则区的泊松方程，则区的泊松方程，则p p p p 点电势点电势点电势点电势y y y yx x x x(a,0,0)(a,0,0)(a,0,0)(a,0,0)+Q Q-Q QP(x,y,zP(x,y,zP(x,y,zP(x,y,z)r r r r本讲稿第三页，共二十八页验证电势满足验证电势满足验证电势满足验证电势满足:所以是唯一正确的解所以是唯一正确的解所以是唯一正确的解所以是唯一正确的解本讲稿第四页，共二十八页导体表面的感应电荷密度导体表面的感应电荷密度导体表面的感应电荷密度导体表面的感应电荷密度本讲稿第五页，共二十八页+aOQzRr-b在球内区引入像电荷在球内区引入像电荷在球内区引入像电荷在球内区引入像电荷 放在放在放在放在z z z z轴上的轴上的轴上的轴上的z=bz=bz=bz=b处处处处 Q例题例题2.2.真空中有一半径为真空中有一半径为 的接地导体球，距球心的接地导体球，距球心a a（）处有一点电荷处有一点电荷Q，求空间各点电势。若不接地，情况如何？，求空间各点电势。若不接地，情况如何？本讲稿第六页，共二十八页+aOQzRr-b将将将将 代入边界条件代入边界条件代入边界条件代入边界条件 中中中中,解得解得解得解得:本讲稿第七页，共二十八页球面上感应电荷球面上感应电荷球面上感应电荷球面上感应电荷此结果对接地导体壳内有一点电荷情形适用此结果对接地导体壳内有一点电荷情形适用此结果对接地导体壳内有一点电荷情形适用此结果对接地导体壳内有一点电荷情形适用本讲稿第八页，共二十八页(2)(2)(2)(2)若导体不接地若导体不接地若导体不接地若导体不接地,边界条件变为边界条件变为边界条件变为边界条件变为+a a a aO O O OQ Q Q Qz z z zR R R Rr r r r-b b b b+本讲稿第九页，共二十八页本讲稿第十页，共二十八页本讲稿第十一页，共二十八页例例例例3,3,3,3,设在设在设在设在y=0y=0y=0y=0面的左方充满电容率为面的左方充满电容率为面的左方充满电容率为面的左方充满电容率为2 2 2 2 的介质的介质的介质的介质,右方为右方为右方为右方为1 1 1 1 的介的介的介的介质质质质,在介质在介质在介质在介质1 1 1 1中中中中y=ay=ay=ay=a处处处处(a0)(a0)(a0)(a0)放置一点电荷放置一点电荷放置一点电荷放置一点电荷q,q,q,q,求空间求空间求空间求空间 电势分布电势分布电势分布电势分布.+aOqy12-本讲稿第十二页，共二十八页+aOqy12-q1q2本讲稿第十三页，共二十八页本讲稿第十四页，共二十八页例例例例4.4.4.4.两个无穷大接地平行导体板中间有一电荷两个无穷大接地平行导体板中间有一电荷两个无穷大接地平行导体板中间有一电荷两个无穷大接地平行导体板中间有一电荷q q,两板间距为两板间距为两板间距为两板间距为d,qd,q距距距距左板为左板为左板为左板为a a,求两板间电势以及求两板间电势以及求两板间电势以及求两板间电势以及q q所受的力所受的力所受的力所受的力.解解解解:-a-2d+a-2d-a2d-a2d+a4d-a+q 12aoxd本讲稿第十七页，共二十八页(1)(1)(1)(1)选选选选q q到极板到极板到极板到极板(1(1(1(1板板板板)的垂足为原点的垂足为原点的垂足为原点的垂足为原点o,o,o,o,向右为向右为向右为向右为x x x x轴轴轴轴,则边界条则边界条则边界条则边界条件为件为件为件为为使为使为使为使 ,在在在在x=-ax=-ax=-ax=-a处放像电荷处放像电荷处放像电荷处放像电荷 ,但此时但此时但此时但此时2 2 2 2这样再找这样再找这样再找这样再找 ,关于关于关于关于1 1 1 1的像的像的像的像 ,不断重复下去不断重复下去不断重复下去不断重复下去,就有无限多个电像就有无限多个电像就有无限多个电像就有无限多个电像.x=2d+ax=2d+a处放处放处放处放 ,但但但但 又不为零又不为零又不为零又不为零,板电势不为零板电势不为零板电势不为零板电势不为零,故在故在故在故在x=2d-ax=2d-ax=2d-ax=2d-a处放处放处放处放 ,在在在在本讲稿第十八页，共二十八页归纳像电荷位置归纳像电荷位置归纳像电荷位置归纳像电荷位置:+q 12aox-a-2d+a-2d-a2d-a2d+a4d-ad本讲稿第十九页，共二十八页(2)(2)(2)(2)Q Q所受的静电力就是所有像电荷给它的力的矢量和所受的静电力就是所有像电荷给它的力的矢量和所受的静电力就是所有像电荷给它的力的矢量和所受的静电力就是所有像电荷给它的力的矢量和,由于由于由于由于正电荷对称的分布在两侧正电荷对称的分布在两侧正电荷对称的分布在两侧正电荷对称的分布在两侧,故所有与故所有与故所有与故所有与q q同号的对它施力的和为同号的对它施力的和为同号的对它施力的和为同号的对它施力的和为零零零零,故故故故则板间电势则板间电势则板间电势则板间电势本讲稿第二十页，共二十八页显然第二项的数值大于第一项显然第二项的数值大于第一项显然第二项的数值大于第一项显然第二项的数值大于第一项,第二项是第第二项是第第二项是第第二项是第1 1 1 1 板左侧的像电荷对板左侧的像电荷对板左侧的像电荷对板左侧的像电荷对q q q q的引力的引力的引力的引力.讨论讨论讨论讨论:若若若若d=2a,d=2a,d=2a,d=2a,即即即即q q q q位于中点上位于中点上位于中点上位于中点上,则正的、负的像电荷都关于则正的、负的像电荷都关于则正的、负的像电荷都关于则正的、负的像电荷都关于q q q q对称，对称，对称，对称，由由由由F F F F的表达式也可得此时：的表达式也可得此时：的表达式也可得此时：的表达式也可得此时：+q 12aox-a-2d+a-2d-a2d-a2d+a4d-ad本讲稿第二十一页，共二十八页解：两无穷大导体板外的电势均为，设他们围成的解：两无穷大导体板外的电势均为，设他们围成的解：两无穷大导体板外的电势均为，设他们围成的解：两无穷大导体板外的电势均为，设他们围成的的空间内电势为则满足的空间内电势为则满足的空间内电势为则满足的空间内电势为则满足a a a ao o o ob b b b例，两无限大接地导体板相交，在它们围成的的空例，两无限大接地导体板相交，在它们围成的的空例，两无限大接地导体板相交，在它们围成的的空例，两无限大接地导体板相交，在它们围成的的空间内有一点电荷，离两个板的距离分别是间内有一点电荷，离两个板的距离分别是间内有一点电荷，离两个板的距离分别是间内有一点电荷，离两个板的距离分别是a a a a和和和和b b b b，求出该空间电势分布所相应的电像及电势求出该空间电势分布所相应的电像及电势求出该空间电势分布所相应的电像及电势求出该空间电势分布所相应的电像及电势本讲稿第二十二页，共二十八页讨论：讨论：讨论：讨论：当导体围成的角当导体围成的角当导体围成的角当导体围成的角能被能被能被能被整除，即整除，即整除，即整除，即若若若若a=ba=b，则六个电荷平分圆周，则六个电荷平分圆周，则六个电荷平分圆周，则六个电荷平分圆周为使为零，找到了个像电荷，位置如图，为使为零，找到了个像电荷，位置如图，为使为零，找到了个像电荷，位置如图，为使为零，找到了个像电荷，位置如图，60606060角区域内的电势即为六个点电荷的叠加角区域内的电势即为六个点电荷的叠加角区域内的电势即为六个点电荷的叠加角区域内的电势即为六个点电荷的叠加则可用镜像法，且有（则可用镜像法，且有（则可用镜像法，且有（则可用镜像法，且有（n n）个像电荷，）个像电荷，）个像电荷，）个像电荷，分布在以分布在以分布在以分布在以OO，为半径的圆周上，为半径的圆周上，为半径的圆周上，为半径的圆周上本讲稿第二十三页，共二十八页解：对稳恒流动的电流，除电极外，解：对稳恒流动的电流，除电极外，解：对稳恒流动的电流，除电极外，解：对稳恒流动的电流，除电极外，例设有两个平面为围成的直角形无穷容器，其内充例设有两个平面为围成的直角形无穷容器，其内充例设有两个平面为围成的直角形无穷容器，其内充例设有两个平面为围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为满电导率为满电导率为满电导率为的液体，取该平面为的液体，取该平面为的液体，取该平面为的液体，取该平面为xzxzxzxz面和面和面和面和yzyzyzyz面，在面，在面，在面，在 和两点分别置正负电极并通以电流，求导和两点分别置正负电极并通以电流，求导和两点分别置正负电极并通以电流，求导和两点分别置正负电极并通以电流，求导电液体中的电势电液体中的电势电液体中的电势电液体中的电势边界条件为边界条件为边界条件为边界条件为:xyZB -+本讲稿第二十四页，共二十八页可见导电液体内可见导电液体内可见导电液体内可见导电液体内所以电场是由于电极上的电所以电场是由于电极上的电所以电场是由于电极上的电所以电场是由于电极上的电荷产生荷产生荷产生荷产生对电极：作一封闭曲面包围，则对电极：作一封闭曲面包围，则对电极：作一封闭曲面包围，则对电极：作一封闭曲面包围，则xyZ +B -+本讲稿第二十五页，共二十八页xyZ +B -+本讲稿第二十六页，共二十八页则导电液体中任点则导电液体中任点则导电液体中任点则导电液体中任点(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)处的电势是处的电势是处的电势是处的电势是8 8 8 8个电荷共同产生个电荷共同产生个电荷共同产生个电荷共同产生.为满足边界条件为满足边界条件为满足边界条件为满足边界条件,应有应有应有应有6 6 6 6个像电荷个像电荷个像电荷个像电荷:本讲稿第二十七页，共二十八页镜像法小结镜像法小结:(1)(1)(1)(1)实质实质实质实质:用用用用假想点电荷假想点电荷假想点电荷假想点电荷像电荷的场像电荷的场像电荷的场像电荷的场代替代替代替代替未知分布的感应未知分布的感应未知分布的感应未知分布的感应电荷电荷电荷电荷(极化电荷极化电荷极化电荷极化电荷)的电场的电场的电场的电场.(2)(2)(2)(2)像电荷必须放在像电荷必须放在像电荷必须放在像电荷必须放在求解区以外求解区以外求解区以外求解区以外.(3)(3)(3)(3)像电荷的像电荷的像电荷的像电荷的个数、位置由边界条件决定个数、位置由边界条件决定个数、位置由边界条件决定个数、位置由边界条件决定（4 4 4 4）局限性：只能求解界面形状规则，且电荷为局限性：只能求解界面形状规则，且电荷为局限性：只能求解界面形状规则，且电荷为局限性：只能求解界面形状规则，且电荷为 点电荷或简点电荷或简点电荷或简点电荷或简单的连续分布问题。对于界面复杂或电荷连续分布，很难找到单的连续分布问题。对于界面复杂或电荷连续分布，很难找到单的连续分布问题。对于界面复杂或电荷连续分布，很难找到单的连续分布问题。对于界面复杂或电荷连续分布，很难找到合适的像电荷。合适的像电荷。合适的像电荷。合适的像电荷。作业作业作业作业:2-8,2-10,2-11,2-12:2-8,2-10,2-11,2-12:2-8,2-10,2-11,2-12:2-8,2-10,2-11,2-12本讲稿第二十八页，共二十八页
