塑性力学简单的弹塑性问题幻灯片.ppt

塑性力学简单的弹塑性问题第1页，共51页，编辑于2022年，星期五第六章 简单的弹塑性问题6.1 弹塑性边值问题的提法6.2 薄壁筒的拉扭联合变形6.5 柱体的弹塑性自由扭转6.6 受内压的厚壁圆筒6.7 旋转圆盘塑性力学塑性力学第2页，共51页，编辑于2022年，星期五6.1 弹塑性边值问题的提法弹塑性边值问题的提法一、弹塑性全量理论边值问题一、弹塑性全量理论边值问题i)在在V内的平衡方程内的平衡方程:ii)在在V内几何关系（应变内几何关系（应变-位移关系）位移关系）:iii)在在V内全量本构关系内全量本构关系:(6-3)边界边界Su 上给定位移上给定位移 ，要求应力，要求应力 ，应变，应变 ，位移，位移 ，它们满足，它们满足设在物体设在物体V内给定体力内给定体力，在应力边界，在应力边界 ST 上给定面力上给定面力Ti，在位移，在位移以下方程和边条件：以下方程和边条件：第3页，共51页，编辑于2022年，星期五v)在在 上位移边界条件：上位移边界条件：二、弹塑性增量理论的边值问题二、弹塑性增量理论的边值问题i)在在V内的平衡方程内的平衡方程其中其中 是是 外法线的单位向量；外法线的单位向量；由此可见，由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法基本相同，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系应变关系（6-3）式式。iv)在在 上的应力边界条件上的应力边界条件:ii)在在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：内的几何关系（应变位移的增量关系）：第4页，共51页，编辑于2022年，星期五iii)在在V内的增量本构关系：内的增量本构关系：弹性区：弹性区：塑性区：塑性区：（6-9）(a)对于理想塑性材料，屈服函数为对于理想塑性材料，屈服函数为 ，则，则第5页，共51页，编辑于2022年，星期五弹性区：弹性区：塑性区：塑性区：（6-10）（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为对于等向强化材料，后继屈服函数为 ，则，则第6页，共51页，编辑于2022年，星期五iv）在在ST 上的应力边界条件：上的应力边界条件：v）在在Su 上的位移边界条件：上的位移边界条件：vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为的法向为ni，则在，则在 上有：上有：(a)法向位移连续条件法向位移连续条件(b)应力连续条件应力连续条件上标（上标（E）和（）和（P）分别表示弹性区和塑性区。）分别表示弹性区和塑性区。第7页，共51页，编辑于2022年，星期五6.26.2 薄壁筒的拉扭联合变形薄壁筒的拉扭联合变形考察薄壁圆筒承受拉力考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐标，取联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐标，取z 轴与筒轴与筒轴重合。设壁厚为轴重合。设壁厚为h，筒的内外平均半径为，筒的内外平均半径为R，则筒内应力为：，则筒内应力为：其余应力分量均为其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、扭）只与一个应。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、扭）只与一个应力分量有关，调整力分量有关，调整P 和和T 之间的比值，即可得到应力分量间的不同比例。之间的比值，即可得到应力分量间的不同比例。假设材料是不可压缩的（假设材料是不可压缩的（v=1/2）、理想塑性的）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量：材料。采用以下无量纲量：在弹性阶段，无量纲化的在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出定律给出(6-16)第8页，共51页，编辑于2022年，星期五进入塑性以后，进入塑性以后，Mises 屈服条件：屈服条件：可化为：可化为：下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。对理想弹塑性材料，增量本构方程是对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：关系，于是：无量纲化后得到：无量纲化后得到：消去消去 得：得：一、按增量理论求解一、按增量理论求解(6-19)(6-20)第9页，共51页，编辑于2022年，星期五由（由（6-18）式知）式知故故从（从（6-21）式中消去）式中消去 和和 ，就有：，就有：同样地，同样地，如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路径如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路径则积则积分（分（6-22）或（）或（6-23）式就可得到）式就可得到关系或关系或关系。关系。第10页，共51页，编辑于2022年，星期五保持常数的保持常数的阶阶段段 ab 上，上，设设在在a点有点有 由于在由于在ab上上例如例如对对于于实验实验中中经经常采用的常采用的阶阶梯梯变变形路径（形路径（图图6-1），考），考虑虑方程（方程（6-22）变为变为：图图 6-1积积分并利用分并利用a点的已知条件，得出点的已知条件，得出：类似地，对于阶段类似地，对于阶段bc ,第11页，共51页，编辑于2022年，星期五二、按全量理论求解二、按全量理论求解由于假设了材料不可压，由于假设了材料不可压，由（由（5-63）式）式化后得应力化后得应力-应变关系为应变关系为 将将(6-26)式按式按(6-16)式无量纲式无量纲在本在本问题问题中用分量写出来就是中用分量写出来就是：，故，故第12页，共51页，编辑于2022年，星期五在在图图6-2中，有三条不同的加中，有三条不同的加载载路径从原点路径从原点O 到达点到达点C在在弹弹性范性范围围内，内，屈服条件（，屈服条件（6-18）在）在应变应变空空间间中写出就是中写出就是。可见可见图图中的阴影区域是中的阴影区域是弹弹性范性范围围。路径路径沿沿OBC。在。在B点有点有在在BC段上有段上有解出解出在在C点点类类似地，似地，对对路径路径，即，即阶阶梯梯变变形路径形路径OAC可求得可求得三三、算例和比、算例和比较较（1）用增量理论求解）用增量理论求解OCABD第13页，共51页，编辑于2022年，星期五刚到达屈服，同时满足刚到达屈服，同时满足由此得出在由此得出在D点时的应力为：点时的应力为：不难证明沿不难证明沿 DC 段皆有段皆有，即应力值不变，在，即应力值不变，在C点也就仍为点也就仍为 （2 2）用全量理论求解）用全量理论求解代入（代入（6-276-27）式得出）式得出亦即亦即C C点的应变点的应变i i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同；）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同；iiii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。由以上的结果可知：由以上的结果可知：路径路径是比例加是比例加载载路径路径ODC，其上，其上。在到达。在到达D点时，点时，第14页，共51页，编辑于2022年，星期五 实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转的假实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但可以发生定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但可以发生轴向自由翘曲。轴向自由翘曲。6.5 6.5 柱体的弹塑性自由扭转柱体的弹塑性自由扭转 考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩T T作用下的自由扭转问题。作用下的自由扭转问题。以以 表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为从小应变下的从小应变下的Cauchy公式得出应变为：公式得出应变为：一、研究范围和基本方程一、研究范围和基本方程(6-84)其中其中 是截面的翘曲函数是截面的翘曲函数假定截面是单连通的，取柱体的轴线为假定截面是单连通的，取柱体的轴线为 z 轴。轴。第15页，共51页，编辑于2022年，星期五此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。在进入塑性之后，恒有在进入塑性之后，恒有按照增量本构关系，从刚进入塑性开始，按照增量本构关系，从刚进入塑性开始，可以推知可以推知进而在变形的一切阶段均有进而在变形的一切阶段均有(6-85)(6-86)在弹性时按在弹性时按Hooke定律求得：定律求得：第16页，共51页，编辑于2022年，星期五 即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有 其中其中为合剪应力。为合剪应力。可见，可见，在扭转时柱体各点的应力状态始终是在扭转时柱体各点的应力状态始终是纯剪切纯剪切，这是一个简单加载，这是一个简单加载过程。过程。且主应力为：且主应力为：第17页，共51页，编辑于2022年，星期五二、弹性扭转和薄膜比拟二、弹性扭转和薄膜比拟或由（或由（6-86）式得到的）式得到的应应力分量表示的力分量表示的协调协调方程方程同同时时，只有一个平衡方程，只有一个平衡方程从（从（6-85）式中消去翘曲函数，得协调方程）式中消去翘曲函数，得协调方程因此，可以引进因此，可以引进弹性应力函数弹性应力函数，使有，使有则平衡方程自动满足，而协调方程（则平衡方程自动满足，而协调方程（6-906-90）化为）化为第18页，共51页，编辑于2022年，星期五在弹性力学中，研究了在弹性力学中，研究了和和Poisson方程（方程（6-936-93）并导致以下结论）并导致以下结论i.i.)合剪应力大小：合剪应力大小：iiiiii）柱体截面的周界也是）柱体截面的周界也是 =const曲线族之一，对单连通截面可令周界上曲线族之一，对单连通截面可令周界上iviv）扭矩）扭矩T T与与的关系可按的关系可按St.Venant 条件求得：条件求得：iiii）合剪应力的方向沿）合剪应力的方向沿=const曲线的切向，也就是与曲线的切向，也就是与的梯度方向相垂直。的梯度方向相垂直。其中其中A为柱体的一个截面。为柱体的一个截面。v v）Prandtl 薄膜比拟：薄膜比拟：将薄膜张于与柱体截面边界形状相同的边框上，加将薄膜张于与柱体截面边界形状相同的边框上，加 均匀压力，则均匀压力，则与薄膜的高度成正比，与薄膜的高度成正比，的大小与薄膜的斜率成正比，的大小与薄膜的斜率成正比，扭矩扭矩T 与薄膜曲面下的体积成正比。与薄膜曲面下的体积成正比。第19页，共51页，编辑于2022年，星期五达到达到，就算达到了弹性极限状态，相应的，就算达到了弹性极限状态，相应的截面上有一点的截面上有一点的扭矩为扭矩为弹性极限扭矩弹性极限扭矩。以半径为。以半径为 a 的圆柱体为例，的圆柱体为例，带入方程（带入方程（6-936-93）得）得于是于是在截面边缘上在截面边缘上 最大最大令令 处处 导出导出 在塑性阶段，平衡方程（在塑性阶段，平衡方程（6-916-91）不变，并仍可由引入应力函数）不变，并仍可由引入应力函数 来满足，来满足，此时此时 三、全塑性扭转和沙堆比拟三、全塑性扭转和沙堆比拟当材料进入塑性时，当材料进入塑性时，因此，按弹性考虑，只要因此，按弹性考虑，只要第20页，共51页，编辑于2022年，星期五 这样，这样，只从平衡方程、屈服条件和应力边条件就能够求出理想塑性体内的只从平衡方程、屈服条件和应力边条件就能够求出理想塑性体内的应力分布应力分布。这种情况叫做。这种情况叫做塑性力学中的静定问题塑性力学中的静定问题。则则或即或即对于理想塑性材料，对于理想塑性材料，是常数，（是常数，（6-996-99）式说明）式说明 在截面上保持斜率不变。在截面上保持斜率不变。由此，由此，NadaiNadai提出下述提出下述沙堆比拟沙堆比拟：将一个水平的底面做成截面的形状，在其上堆放干沙，由于沙堆的静止摩擦角为常数，则沙将形成一个斜率为常数的表面。因此，这表面可用来代表塑性应力函数 ，只相差一个可由屈服应力和沙堆摩擦角决定的比例因子。就是截面的就是截面的塑性极限扭矩塑性极限扭矩。这时，我们不用（也不再有）这时，我们不用（也不再有）应力协调方程应力协调方程，而代之以，而代之以屈服条件屈服条件 第21页，共51页，编辑于2022年，星期五 仍以半径为仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时，的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时，按（，按（6-1006-100）式求出）式求出高度就应为高度就应为表面必然是一个表面必然是一个圆锥，既然斜率是圆锥，既然斜率是与（与（6-966-96）式相比可知对圆柱体）式相比可知对圆柱体 沙堆比拟的思想，不仅可直接应用于实验，也可用来指导计算三角形、矩形、任意正多角沙堆比拟的思想，不仅可直接应用于实验，也可用来指导计算三角形、矩形、任意正多角形等规则截面的柱体的塑性极限扭矩，因为这只需计算某些等斜形等规则截面的柱体的塑性极限扭矩，因为这只需计算某些等斜“屋顶屋顶”下的体积。下的体积。第22页，共51页，编辑于2022年，星期五剪应力方向平行于边界，大小为剪应力方向平行于边界，大小为 。同时我们也看到，一般来说，在截面内部，。同时我们也看到，一般来说，在截面内部，沙堆会出现尖顶和棱线，在这些点和线的两侧剪应力不连续。沙堆会出现尖顶和棱线，在这些点和线的两侧剪应力不连续。从沙堆比拟中看出，沙堆的梯度垂直于边界，等从沙堆比拟中看出，沙堆的梯度垂直于边界，等线平行于边界，每点的合线平行于边界，每点的合它们是它们是弹性区域收缩时的极限弹性区域收缩时的极限。当弹性区域收缩时，从不同方向扩展过来的两个塑性区。当弹性区域收缩时，从不同方向扩展过来的两个塑性区域相遇，因此会造成剪应力间断。域相遇，因此会造成剪应力间断。如果截面边界上有如果截面边界上有凸角凸角（如三角形截面和矩形截面的顶点），从弹性力学知道，（如三角形截面和矩形截面的顶点），从弹性力学知道，在凸角处在凸角处剪应力等于零剪应力等于零，因而尽管，因而尽管T T增大，这里增大，这里始终处于弹性阶段始终处于弹性阶段。所以，。所以，作为作为弹性区域收缩极限的剪应力间断线必定通过这样的凸角弹性区域收缩极限的剪应力间断线必定通过这样的凸角。反之，如果截面边界上。反之，如果截面边界上有有凹角凹角，从弹性力学知道，这里，从弹性力学知道，这里剪应力无限大剪应力无限大，因而，因而一开始就进入塑性阶段，棱一开始就进入塑性阶段，棱线就一定不经过这里线就一定不经过这里。第23页，共51页，编辑于2022年，星期五四、弹塑性扭转和薄膜四、弹塑性扭转和薄膜-玻璃盖比拟玻璃盖比拟当当时，柱体的截面上会存在一部分弹性区、一部分塑性区，时，柱体的截面上会存在一部分弹性区、一部分塑性区，的模为常数）。因此，提出的数学问题如下：的模为常数）。因此，提出的数学问题如下：（这是由于应力分量在（这是由于应力分量在 上应该连续）。上应该连续）。的性质（满足的性质（满足PoissonPoisson方程）和方程）和 的性质（梯度的性质（梯度其上应力函数分别具有其上应力函数分别具有，在弹性区内满足方程（，在弹性区内满足方程（6-936-93），在塑性区内满足（），在塑性区内满足（6-996-99），），寻求应力函数寻求应力函数，在弹塑性区域交界线，在弹塑性区域交界线在截面边界上在截面边界上都要连续都要连续NadaiNadai指出，弹塑性交界线可以联合应用薄膜比拟和沙堆比拟来求解。指出，弹塑性交界线可以联合应用薄膜比拟和沙堆比拟来求解。在一块水平平板上，挖一个具有截面形状的孔，复盖以薄膜。在薄膜的上面，放上在一块水平平板上，挖一个具有截面形状的孔，复盖以薄膜。在薄膜的上面，放上一个按沙堆比拟形状作成的等倾玻璃盖。一个按沙堆比拟形状作成的等倾玻璃盖。a)a)如若压力较小时，薄膜的变形不受如若压力较小时，薄膜的变形不受“屋盖屋盖”的影响，这是的影响，这是弹性扭转弹性扭转的情况。的情况。b)b)随着压力的增加，薄膜逐渐贴到屋盖上，贴附的区域就是随着压力的增加，薄膜逐渐贴到屋盖上，贴附的区域就是塑性区域塑性区域。此时，在贴附区域以外的自由薄膜仍满足此时，在贴附区域以外的自由薄膜仍满足PoissonPoisson方程，所以仍是弹性区。由此可以确方程，所以仍是弹性区。由此可以确定弹塑性交界线的形状。定弹塑性交界线的形状。第24页，共51页，编辑于2022年，星期五在圆截面情形，由于对称性，可设在圆截面情形，由于对称性，可设 的一个圆。的一个圆。在弹性区：在弹性区：有有 右图显示了矩形截面柱体右图显示了矩形截面柱体在弹塑性扭转是在弹塑性扭转是 线的变线的变化，其中黄线以外是塑性区化，其中黄线以外是塑性区域。从实验中可以看出，对域。从实验中可以看出，对一般截面的柱体，一般截面的柱体，线的变线的变化是非常复杂的。在分析计化是非常复杂的。在分析计算时通常只能采用数值计算算时通常只能采用数值计算方法一步一步地将方法一步一步地将 近似求近似求出。出。c)c)最后薄膜将全部贴附在玻璃盖上，最后薄膜将全部贴附在玻璃盖上，弹性区域退化为棱线。弹性区域退化为棱线。第25页，共51页，编辑于2022年，星期五在塑性区：在塑性区：由由处的剪应力连续，要求处的剪应力连续，要求由此定出由此定出弹塑性交界线的半径弹塑性交界线的半径为为则对则对有有(6-106)(6-105)(6-108)(6-107)第26页，共51页，编辑于2022年，星期五弹塑性边界随扭矩变化的规律弹塑性边界随扭矩变化的规律：或即或即弹塑性扭转后的卸载也相当于在反方向作用一个等值的弹性扭矩。仍以圆柱弹塑性扭转后的卸载也相当于在反方向作用一个等值的弹性扭矩。仍以圆柱体扭转为例，加载时的扭转角体扭转为例，加载时的扭转角可由（可由（6-1076-107）式求出为）式求出为而卸载时的回弹角是而卸载时的回弹角是因此，单位长度的残余扭转角为因此，单位长度的残余扭转角为也可写出回弹比与所加扭矩的关系为也可写出回弹比与所加扭矩的关系为五、卸载、回弹和残余应力五、卸载、回弹和残余应力(6-109)(6-110)(6-111)(6-112)第27页，共51页，编辑于2022年，星期五其中其中卸载后的残余应力分布可计算出为卸载后的残余应力分布可计算出为:其分布下图所示。其分布下图所示。(6-113)T加载加载卸载卸载残余应力残余应力第28页，共51页，编辑于2022年，星期五该问题可简化为平面应变问题，采用该问题可简化为平面应变问题，采用柱坐柱坐标标(r,z),则：则：在轴对称条件下：在轴对称条件下：应应力力边边界界条件条件为为:而筒两端的端面条件：而筒两端的端面条件：6.6 受内压的厚壁圆筒受内压的厚壁圆筒这这里里P是端面的是端面的轴轴向拉力。向拉力。一、研究对象和基本方程一、研究对象和基本方程考虑一个内径为考虑一个内径为 a，外径为，外径为b b的长圆柱厚壁筒在均匀内压的长圆柱厚壁筒在均匀内压 p 作用下的弹塑性变形。作用下的弹塑性变形。上式中上式中u u为径向位移。为径向位移。几何关系几何关系平衡方程平衡方程第29页，共51页，编辑于2022年，星期五在在弹弹性范性范围围内，本构关系上内，本构关系上Hooke定律定律:二、二、弹弹性解性解(6-123)（6-1196-119）至（）至（6-1236-123）式构成厚壁筒的弹性问题，其解为：）式构成厚壁筒的弹性问题，其解为：(6-124)第30页，共51页，编辑于2022年，星期五其中其中现在讨论在什么条件下现在讨论在什么条件下是中间主应力。由于是中间主应力。由于可知若要可知若要是中间主应力，以下条件应成立：是中间主应力，以下条件应成立：或即或即如果圆筒两端是自由的，则如果圆筒两端是自由的，则；如果圆筒两端是封闭的，则；如果圆筒两端是封闭的，则可见这两种情况都符合（可见这两种情况都符合（6-1266-126）条件，能保证）条件，能保证是中间主应力。是中间主应力。采用采用TrescaTresca屈服条件。当屈服条件。当r=ar=a 时屈服：时屈服：即屈服将首先发生在内壁，此时即屈服将首先发生在内壁，此时(6-126)(6-126)(6-125)(6-125)第31页，共51页，编辑于2022年，星期五相应的内压相应的内压即为厚壁筒的即为厚壁筒的弹性极限压力弹性极限压力 b b）当弹性无限空间内的圆柱形孔洞受到内压作用时（例如对于有压隧洞）当弹性无限空间内的圆柱形孔洞受到内压作用时（例如对于有压隧洞），其内表面开始屈服时的压力值，其内表面开始屈服时的压力值只与周围的材料的性质有关只与周围的材料的性质有关，而与孔洞的半，而与孔洞的半径无关。径无关。说明：说明：a)a)若在若在弹性范围弹性范围内设计内设计,对给定的对给定的a 值值,要提高筒所能承受的内压要提高筒所能承受的内压,就就必须必须增加壁厚增加壁厚,但但pe的值的值不可能超过不可能超过 。在设计高压圆筒（如炮管）时在设计高压圆筒（如炮管）时应采取其他措施（如下面将要介绍的经过局部塑性变形使之产生有利应采取其他措施（如下面将要介绍的经过局部塑性变形使之产生有利的残余应力，以及装配有预应力的套筒等）来加以增强。的残余应力，以及装配有预应力的套筒等）来加以增强。(6-127)(6-127)第32页，共51页，编辑于2022年，星期五当当时，筒的内壁首先屈服。当时，筒的内壁首先屈服。当时，塑性区便由时，塑性区便由r=a逐渐向外扩张。逐渐向外扩张。设弹性区和塑性区的交界处设弹性区和塑性区的交界处 r=c，下面分别对弹性区和塑性进行计算。下面分别对弹性区和塑性进行计算。（1）弹性区弹性区三、弹塑性解（理想塑性材料）三、弹塑性解（理想塑性材料）得出应力分布为得出应力分布为(6-129)将内层塑性区对外层弹性区的压应力将内层塑性区对外层弹性区的压应力 看作作用于内径为看作作用于内径为c外径为外径为b的的弹性圆筒上的内压力。弹性圆筒上的内压力。利用弹性解的结果：利用弹性解的结果：在在r=c处，材料刚达到屈服，对外层弹性筒来说，处，材料刚达到屈服，对外层弹性筒来说，(6-127)(6-127)中的中的 应为应为 。(6-124)(6-124)中的中的 应写成应写成第33页，共51页，编辑于2022年，星期五进而根据弹性区的本构方程求出进而根据弹性区的本构方程求出（2 2）塑性区塑性区平衡方程为平衡方程为同时，仍假定同时，仍假定为中间主应力，采用为中间主应力，采用TrescaTresca屈服条件：屈服条件：将（将（6-1326-132）代入（）代入（6-1316-131）式得）式得积分一次，并利用边界条件积分一次，并利用边界条件定常数，则定常数，则(6-130)(6-131)(6-132)第34页，共51页，编辑于2022年，星期五可见塑性区内的应力可见塑性区内的应力 只与厚壁筒内表面的边界条件有关，而与弹性区只与厚壁筒内表面的边界条件有关，而与弹性区的应力场无关。的应力场无关。从而从而确定确定c 与与p 的关系的关系:（3 3）弹塑性边界的确定弹塑性边界的确定)应满足应满足的连续条件，即的连续条件，即根据弹塑性区交界处根据弹塑性区交界处(6-133)(6-133)第35页，共51页，编辑于2022年，星期五将（将（6-1346-134）式代回（）式代回（6-1336-133）式得出）式得出当当c=b 时，塑性区扩展到整个圆筒，对应的外载时，塑性区扩展到整个圆筒，对应的外载 p 为为厚壁筒的厚壁筒的塑性极限压力塑性极限压力:塑性极限压力塑性极限压力 却是无限的，即却是无限的，即时时在塑性极限状态下，周向应力在塑性极限状态下，周向应力的最大值发生在筒外壁，它恰等于的最大值发生在筒外壁，它恰等于(6-135)可见，弹性极限压力可见，弹性极限压力是有限的，即是有限的，即时时（4 4）塑性极限状态塑性极限状态第36页，共51页，编辑于2022年，星期五(5)塑性区内的位移塑性区内的位移和应力和应力厚壁筒塑性区应力所在的屈服面是厚壁筒塑性区应力所在的屈服面是即即这说明，在全部筒壁内这说明，在全部筒壁内即即必是弹性的，且为常数必是弹性的，且为常数。在塑性区内求在塑性区内求和和是静定问题，但是要求是静定问题，但是要求和和，就必须用到本构关系。，就必须用到本构关系。于是，相关连的流动法则给出于是，相关连的流动法则给出范围内范围内于是在于是在下面用与下面用与Tresca屈服条件相关连的流动法则来解屈服条件相关连的流动法则来解和和第37页，共51页，编辑于2022年，星期五现在端面条件（现在端面条件（6-122）可以写成）可以写成将（将（6-130）和（）和（6-137）给出的）给出的和和代入得到代入得到i.开口圆筒开口圆筒ii.封闭圆筒，封闭圆筒，iii.无穷长圆筒，即平面应变情形，无穷长圆筒，即平面应变情形，此式与弹性解完全相同。此式与弹性解完全相同。这说明在完全卸去外载这说明在完全卸去外载P 和和p时，轴向残余应变必为零。时，轴向残余应变必为零。于是于是于是于是于是于是之一。例如：之一。例如：，根据圆筒的端面条件，总可确定其中，根据圆筒的端面条件，总可确定其中和和（6-138）式中有三个参量：）式中有三个参量：不难验证，当不难验证，当确是中间主应力。确是中间主应力。第38页，共51页，编辑于2022年，星期五故有故有积分得出积分得出其中常数其中常数C1可由可由 r=c 处的位移连续条件处的位移连续条件定出为定出为求位移时利用体积变化的弹性公式计算比较方便求位移时利用体积变化的弹性公式计算比较方便，即，即第39页，共51页，编辑于2022年，星期五可见刚达到可见刚达到 PS 时，筒的变形相对筒本身的几何尺寸还是小的时，筒的变形相对筒本身的几何尺寸还是小的其中其中设厚壁筒内压力增加到设厚壁筒内压力增加到后实行完全卸载，卸载应力可按后实行完全卸载，卸载应力可按弹性解计算，即弹性解计算，即四、卸载和残余应力四、卸载和残余应力(6-141)例如，取例如，取则在筒内壁则在筒内壁第40页，共51页，编辑于2022年，星期五(6-142)残余应力分布残余应力分布第41页，共51页，编辑于2022年，星期五在上式中在上式中p*与与c间的关系由（间的关系由（6-134）式确定，即）式确定，即上面计算残余应力的公式，只有在完全卸去载荷后，筒内处处都不在相反方向上面计算残余应力的公式，只有在完全卸去载荷后，筒内处处都不在相反方向发生塑性变形时才有效。下面来计算保证完全卸载后不出现反号塑料性变形条发生塑性变形时才有效。下面来计算保证完全卸载后不出现反号塑料性变形条件下的最大内压件下的最大内压为了为了不发生反向屈服不发生反向屈服，要求，要求(6-144)其最大值在内壁其最大值在内壁处，等于处，等于于是，从（于是，从（6-143）式得到）式得到(6-143)第42页，共51页，编辑于2022年，星期五可见，对一个反复受内压作用的圆筒来说，当则可见，对一个反复受内压作用的圆筒来说，当则 完全卸载后完全卸载后不会在相反方向引起新的塑性变形不会在相反方向引起新的塑性变形。解出解出但卸载时会发生反向屈服，在反复加载（如炮筒反复承受发射炮弹时的高压）的但卸载时会发生反向屈服，在反复加载（如炮筒反复承受发射炮弹时的高压）的条件下筒就会发生塑性循环（低周疲劳）破坏。因此，采用大于条件下筒就会发生塑性循环（低周疲劳）破坏。因此，采用大于2.22 的的 b/a 值实际值实际意义不大。意义不大。这时可以把工作内压这时可以把工作内压 p提高到提高到 之上而筒仍处于约束塑性状态，之上而筒仍处于约束塑性状态，另一方面，内压值另一方面，内压值 又不能大于塑料性极限压力又不能大于塑料性极限压力 ps。令：。令：安定状态安定状态第43页，共51页，编辑于2022年，星期五假设材料不可压，即假设材料不可压，即变形前后体积不变的条件可写成变形前后体积不变的条件可写成从而得出从而得出这说明，当计及几何尺寸改变时，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受内压的塑性极限这说明，当计及几何尺寸改变时，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受内压的塑性极限状态是不稳定的。状态是不稳定的。五、几何变形对承载能力的影响五、几何变形对承载能力的影响当筒壁很厚时，径向位移可能很大，以致不能忽略几何尺寸的影响。当筒壁很厚时，径向位移可能很大，以致不能忽略几何尺寸的影响。设变形后的内、外半径分别为设变形后的内、外半径分别为 ，相应的塑性极限压力为，相应的塑性极限压力为可见在内压可见在内压 作用下，作用下，单调增长时，单调增长时，是减小的。是减小的。(6-146)第44页，共51页，编辑于2022年，星期五6.7 6.7 旋转圆盘旋转圆盘等厚度的薄圆盘等厚度的薄圆盘考虑转盘从弹性状态开始由于转速增加而开始屈服的过程。转盘的单位考虑转盘从弹性状态开始由于转速增加而开始屈服的过程。转盘的单位，其中，其中为转盘材料的质量密度，为转盘材料的质量密度，为角速度，为角速度，体积力（离心力）为体积力（离心力）为r 为微元的径向坐标；则为微元的径向坐标；则平衡方程平衡方程为为我们在这里只讨论理想弹塑料性材料的旋转圆的解。我们在这里只讨论理想弹塑料性材料的旋转圆的解。一、研究对象一、研究对象二、弹性解二、弹性解由于圆盘很薄，在整个厚度上可取由于圆盘很薄，在整个厚度上可取，因此可作为平面应力问题。，因此可作为平面应力问题。或或设其半径为设其半径为 b，厚度为，厚度为 h，并以均匀角速度，并以均匀角速度 绕中心轴旋转。绕中心轴旋转。第45页，共51页，编辑于2022年，星期五引入引入应力函数应力函数则应力分量满足则应力分量满足 从柱坐标下的从柱坐标下的几何关系几何关系中消去中消去得变形协调方程得变形协调方程在弹性范围内，以在弹性范围内，以 Hooke 定律和（定律和（6-160）式代入（）式代入（6-161）式得到）式得到其解为其解为(6-160)(6-161)(6-162)(6-163)第46页，共51页，编辑于2022年，星期五代回（代回（6-160）式得出应力为）式得出应力为其中积分常数其中积分常数应由具体问题的边界条件确定。应由具体问题的边界条件确定。对于实心圆盘，因对于实心圆盘，因处应力为有限值，故处应力为有限值，故，另一常数，另一常数由盘边由盘边处处决定。其结果，实心圆盘的应力分量为决定。其结果，实心圆盘的应力分量为由于由于有有最大应力在盘心最大应力在盘心处：处：因此，因此，当转速增加时，转盘中心首先开始屈服当转速增加时，转盘中心首先开始屈服。(6-164)(6-165)第47页，共51页，编辑于2022年，星期五这时利用这时利用Mises条件和条件和Tresca条件给出同样结果：条件给出同样结果：其中其中是弹性极限状态时转盘的角速度，称为是弹性极限状态时转盘的角速度，称为弹性极限转速弹性极限转速，它为，它为当转速当转速时，转为时，转为部分塑性部分塑性，即，即内部区域为塑性区内部区域为塑性区，外部区域为弹性区。，外部区域为弹性区。（1）塑性区（塑性区（）由于由于，故，故Tresca屈服条件给出屈服条件给出以以代入（代入（6-159）设弹塑性交界线为设弹塑性交界线为的圆。的圆。三、弹塑性解三、弹塑性解（6-166）第48页，共51页，编辑于2022年，星期五积分，并利用盘心应力有界的条件定常数，则得塑性区内的应力分布为积分，并利用盘心应力有界的条件定常数，则得塑性区内的应力分布为:（2）弹性区弹性区（）应力分布仍由（应力分布仍由（6-164）式给出，但其中积分常数应由）式给出，但其中积分常数应由边条件边条件将（将（6-164）和（）和（6-168）式代入（）式代入（6-169）式，可解出）式，可解出此式与（此式与（6-164）式一起，给出了弹性区的）式一起，给出了弹性区的 。、弹塑性交界线上应力分量的连续条件弹塑性交界线上应力分量的连续条件来确定。来确定。和和(6-168)连续条件：当连续条件：当 r=a 时时(6-169)(6-170)第49页，共51页，编辑于2022年，星期五于是于是塑性极限转速塑性极限转速为为注意注意无关无关。当。当时，时，转速转速与弹塑性交界半径与弹塑性交界半径之间的关系。之间的关系。，得到，得到弹性极限转速弹性极限转速的表达式的表达式（6-166）。）。以以 代入代入利用利用处处，得，得（6-171）以以 代入，得到塑性代入，得到塑性极限转速极限转速 的表达式。的表达式。（6-172）可见这时转盘从开始屈服到全部屈服，其转速只能可见这时转盘从开始屈服到全部屈服，其转速只能增加增加12%左右左右。第50页，共51页，编辑于2022年，星期五 在转盘按额定转速使用前，先使之经历一个超在转盘按额定转速使用前，先使之经历一个超 速运转，使速运转，使 这样就能在盘中产生有利的残这样就能在盘中产生有利的残 余应力分布，从而余应力分布，从而扩大使用时的弹性范围扩大使用时的弹性范围。实际应用实际应用超速工艺超速工艺显然，转盘的超速工艺同厚壁筒的自紧在原理上是相似的。显然，转盘的超速工艺同厚壁筒的自紧在原理上是相似的。第51页，共51页，编辑于2022年，星期五