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电路基础：第二章电阻电路的一般分析方法本讲稿第一页，共二十五页 一、网络(电路)的拓扑图2.1 2.1 图与电路方程 将电路中每一条支路画成抽象的线段所形成的一个节点和支路集合称为拓扑图，简称为图，记为G。图中的线段就是图的支路（也称为边），线段的连接点是图的节点（也称为顶点），用黑点表示。图(b)的图有四个节点(a、b、c、d)和6条支路(1，2，3，4，5，6)下一页前一页第 2-2 页返回本章目录1、图的定义：本讲稿第二页，共二十五页2.1 2.1 2.1 2.1 图与电路方程图与电路方程(1)连通图：全部节点都被支路所连接的图，否则称为非连通图。(3)有向图：全部支路都有方向的图，否则称为无向图。(2)子图：如果有一个图G，从图G中去掉某些支路和某些节点所形成的图H，称为图G的子图。(4)平面图：能够画在平面上，并且除端点外所有支路都没有交叉的图称为平面图，否则称为非平面图。变形下一页前一页第 2-3 页返回本章目录2、图的有关术语：一、网络(电路)的拓扑图本讲稿第三页，共二十五页(1)回路：任何一个闭合路径，(3)割集：把连通图分割为两个连通子图所需移去的最少支路集。若从图G中移去或割断属于S的所有支路，则图G恰好被分成两个分离的部分，但只要少移去其中的一条支路，则图仍然连通。(4)树：包含连通图G中的所有节点，但不包含回路的连通子图，称为G的树。同一个图有许多种树。组成树的支路称为树支，不属于树的支路称为连支。一个有n个节点，b条支路的连通图G，其任何一个树的树支数T=n-1，连支数L=b-T=b-n+1。(2)网孔：内部不含节点和支路的回路。下一页前一页第 2-4 页返回本章目录1、回路、割集、树的概念：2.1 2.1 2.1 2.1 图与电路方程图与电路方程本讲稿第四页，共二十五页(1)基本回路（或单连支回路）：仅包含一条连支（其余为树支）的回路。全部单连支回路组成了基本回路组。一个有n个节点，b条支路的连通图，一个基本回路组中有且仅有L=b-n+1个基本回路。基本回路的方向通常取为与连支的方向一致。(2)基本割集（或单树支割集）：仅包含一条树支（其余为连支）的割集，称为基本割集。全部单树支割集组成基本割集组。一个有n个节点，b条支路的连通图，一个基本回路组中有且仅有T=n-1个基本割集。基本割集的方向通常取为与树支的方向一致。下一页前一页第 2-5 页返回本章目录4、基本回路和基本割集：2.1 2.1 2.1 2.1 图与电路方程图与电路方程本讲稿第五页，共二十五页三、KCL和KVL的独立方程 图示为某电路的拓扑图，对于节点a、b、c、d列出KCL方程为：(设流出电流取“+”)对节点a:i1+i2+i4=0 (1)对节点b:-i4+i5+i6=0 (2)对节点c:-i1+i3 i5=0 (3)对节点d:-i2-i3-i6=0 (4)任意去掉一个方程，剩余三个方程就是独立的。结论1：对n个节点的连通图，有且仅有(n-1)个独立的KCL方程。任取(n-1)个节点列写的KCL方程相互独立；常将能列出独立KCL方程的节点称为独立节点。取(n-1)个基本割集列写的KCL方程相互独立。下一页前一页第 2-6 页返回本章目录1、KCL的独立方程：2.1 2.1 2.1 2.1 图与电路方程图与电路方程本讲稿第六页，共二十五页 图示为某电路的拓扑图，选回路列出KVL方程为：(支路电压与回路方向一致取“+”；支路电压与回路方向相反取“-”)对回路:u1 u5 u4=0 (1)对回路:u4+u6 u2=0 (2)对回路:u5+u3 u6=0 (3)对回路:u1+u3 u2=0 (4)以上4个方程并不独立，其中任意一个方程可通过其它三个方程相加减得到。任意去掉一个方程，剩余三个方程就是独立的。同学们还可以其它回路的KVL方程，均不独立。结论2：对具有n个节点、b条支路的连通图，有且仅有(b n+1)个独立的KVL方程。将能列出独立KVL方程的回路称为独立回路。常见的独立回路有：(1)(b n+1)个基本回路；(2)平面电路的(b n+1)个网孔。下一页前一页第 2-7 页返回本章目录2、KVL的独立方程：三、KCL和KVL的独立方程2.1 2.1 2.1 2.1 图与电路方程图与电路方程本讲稿第七页，共二十五页 2.2、2b法和b法 对于给定的电路，电路分析的任务就是求出未知的支路电流和支路电压。一、2b法2、方程的列写：在a、b、c点列出(n-1)=3个独立KCL方程；选网孔列写出(b-n+1)=3个独立KVL方程。i1+i2+i4=0 u1 u5 u4=0 -i4+i5+i6=0 u4+u6 u2=0-i1+i3 i5=0 u5+u3 u6=0 根据元件的伏安关系，每条支路又可列写出b=6个支路电压和电流关系方程。支路1：u1=R1i1支路2：u2=uS2+R2i2支路3：u3=2i4+R3i3支路4：u4=R4i4支路5：u5=uS5+R5i5支路6：u6=R6i6解上述2b=12个独立方程求出支路电流和电压。下一页前一页第 2-8 页返回本章目录1、2b法定义：以b个支路电压和b个支路电流为未知变量列写并求解方程的方法称为2b法。本讲稿第八页，共二十五页 二、b法2.22.2、2b2b法和法和bb法法2、求解思路：(以支路电流法为例说明)、选定个支路电流的参考方向；、对(n-1)个独立节点，列出独立KCL方程；、选定(b-n+1)个独立回路(基本回路或网孔)，指定回路绕行方向，根据KVL和OL列出回路电压方程。列写过程中将支路电压用支路电流来表示。、联立求解上述b个支路电流方程；、进而求题中要求的支路电压或功率等。下一页前一页第 2-9 页返回本章目录1、支路法定义：以支路电流（或电压）为未知变量列出方程，求解支路电流（或电压），称为支路电流（或电压）法。简称支路法。本讲稿第九页，共二十五页例题：用支路法求解下图所示电路中各支路电流及各电阻吸收的功率。解：(1)标出支路电流的参考方向，如图所示。(2)选定独立独立回路，这里选网孔，如图所示。(3)对无伴电流源的处理方法：在其设定一电压U；(4)对独立节点a，列KCL方程为：i2 i1 2=0 (1)(5)对两个网孔，利用KVL和OL列回路方程为：2 i1+U 12=0 (2)2 i2+2u1 U=0 (3)(6)上面三个方程，四个未知量。补一个方程：将受控源控制量u1用支路电流表示，有 u1=2i1 (4)(7)解式(1)(2)(3)(4)得支路电流为 i1=1A，i2=3A(8)求电阻吸收的功率为 P1=i122=2(W)，P2=i222=18(W)下一页前一页第 2-10页 返回本章目录3、举例说明：2.22.2、2b2b法和法和bb法法 二、b法本讲稿第十页，共二十五页 2.3 回路法与网孔法 2b法和支路法需要列写的方程往往太多，手工解算麻烦。能否使方程数减少呢？回路法就是基于这种想法而提出的改进。2、回路电流的概念 在每个独立回路中假想有一个电流在回路中环流一周，而各支路电流看作是由独立回路电流合成的结果。回路的巡行方向也是回路电流的方向。注意：回路电流是一种假想的电流，实际电路中并不存在。引入回路电流纯粹是为了分析电路方便。下一页前一页第 2-11页 返回本章目录1、回路法定义：以独立回路电流为未知变量列出并求解方程的方法称为回路法(loop analysis)。若选平面电路的网孔作独立回路，则这样的回路法又常称为网孔法(mesh analysis)。本讲稿第十一页，共二十五页 2.3 2.3 回路法与网孔法回路法与网孔法 如图电路，选网孔作独立回路，设定回路电流I、I、I如图所示。各支路电路看成是由回路电流合成得到的，可表示为 i1=I，i2=I ，i3=I ，R4支路上有两个回路电流I、I流经,且两回路电流方向均与i4相反，故 i4=-I-I R5支路上有两个回路电流I、I 流经，故 i5=-I+I R6支路上有两个回路电流I 、I 流经，故 i6=-I -I 对节点a列出KCL方程，有 i1+i4+i2=I+(-I-I)+I 0可见，回路电流自动满足KCL方程。下一页前一页第 2-12页 返回本章目录3、回路法方程的列写规律本讲稿第十二页，共二十五页 2.3 2.3 回路法与网孔法回路法与网孔法利用KVL和OL列出三个独立回路的KVL回路 R1i1 R5i5 uS5 R4i4=0回路 uS2+R2i2 R6i6 R4i4=0回路 uS5+R5i5+uS3+R3i3 R6i6=0 将支路电流用回路电流表示，并代入上式得()R1 I R5(-I+I)uS5 R4(-I-I)=0()uS2+R2 I -R6(-I -I)R4(-I-I)=0()uS5+R5(-I+I)+uS3+R3 I R6(-I -I)=0将上述方程整理得：回路()(R1+R4+R5)I +R4 I R5 I =uS5回路()R4 I +(R2+R6+R4)I +R6 I =uS2回路()R5 I +R6 I +(R5+R3+R6)I =-uS5-uS3R R1111R R2222R R3333R R1212R R1313R R2121R R2323R R3131R R3232(U(US S)1 1(U(US S)2 2(U(US S)3 3下一页前一页第 2-13页 返回本章目录本讲稿第十三页，共二十五页 2.3 2.3 回路法与网孔法回路法与网孔法Rii(i=,)称为回路i的自电阻=第i个回路所有电阻之和，恒取正；Rij称为回路i与回路j的互电阻=回路i与回路j共有支路上所有公共电阻的代数和；若流过公共电阻上的两回路电流方向相同，则前取“+”号；方向相反，取“-”号。(US)i 称为回路i的等效电压源=回路i中所有电压源电压升的代数和。即，当回路电流从电压源的“+”端流出时，该电压源前取“+”号；否则取“-”。下一页前一页第 2-14页 返回本章目录由电路直接列写回路方程的规律总结由电路直接列写回路方程的规律总结本讲稿第十四页，共二十五页 2.3 2.3 回路法与网孔法回路法与网孔法（2）以回路电流的方向为回路的巡行方向，按照前面的规律列出各回路电流方程。自电阻始终取正值，互电阻前的符号由通过互电阻上的两个回路电流的流向而定，两个回路电流的流向相同，取正；否则取负。等效电压源是电压源电压升的代数和，注意电压源前的符号。（3）联立求解，解出各回路电流。（4）根据回路电流再求其它待求量。（1）选定一组(b-n+1)个独立回路，并标出各回路电流的参考方向。下一页前一页第 2-15页 返回本章目录4、回路法步骤归纳如下：本讲稿第十五页，共二十五页 2.3 2.3 回路法与网孔法回路法与网孔法例1 如图电路，用回路法求电压UAB。解法一：选网孔为独立回路，如图所示。本电路有3个网孔，理应列3个网孔方程，但由于流过电流源IS1上的网孔电流只有一个i1，故i1=IS1=2A，这样可以少列一个网孔方程。对于两个网孔公共支路上的1A电流源，处理方法之一是先假设该电流源两端的电压U，并把它看作电压为U的电压源即可。由图得网孔方程为 9i2 2 IS1 4i3=16 U 4i2+9i3 =U 5补一个方程：i2 i3=1 解得 i2=2(A)，i3=1(A)。故 IA=IS1-i2=0，UAB=2 IA+16=16(V)。小结：如果流经电流源上的回路电流只有一个，则该回路电流就等于电流源电流，这样就不必再列该回路的方程。若多个回路电流流经电流源，则在该电流源上假设一电压，并把它看成电压源即可。下一页前一页第 2-16页 返回本章目录（1）、电流源的处理方法5、回路法中特殊情况的处理本讲稿第十六页，共二十五页 2.3 2.3 回路法与网孔法回路法与网孔法1 1、电流源的处理方法、电流源的处理方法 选基本回路为独立回路，如图(b)所示，图(c)是(b)对应的拓扑图，注意只有3个节点。选树时尽可能将电流源选为连支，图中绿线为树支。这样连支电流就是回路电流，即三个回路电流分别是IS1、IA和IS2。由于其中两个回路电流已知，故只需列一个回路方程即可。由图得该回路方程为 10 IA 8 IS1+5 IS2=5 16 10 IA 82+51=5 16 解得 IA=0(A)。故 UAB=2 IA+16=16(V)。说明：解法一选网孔作为独立回路，常称为网孔法，它只适用于平面电路；而解法二选基本回路作独立回路，常称为回路法，它更具有一般性和一定的灵活性，但列写方程不如网孔法直观。下一页前一页第 2-17页 返回本章目录解法二：本讲稿第十七页，共二十五页 2.3 2.3 回路法与网孔法回路法与网孔法例2 如图电路，用回路法求电压UAB。解：本例中含受控源(VCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。这样，该电路就有两个电流源，并且流经其上的回路电流均只有一个；故该电流源所在回路电流已知，就不必再列它们的回路方程了。如图中所标回路电流，可知：i1=0.1u，i3=4 对回路2列方程为 26i2 2 i1 20i3=12 上述一些方程中会出现受控源的控制变量u，用回路电流表示该控制变量，有 u=20(i3 i2)解得 i2=3.6(A)，u=8(V)。小结：对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，再补一个方程将控制量用回路电流表示。下一页前一页第 2-18页 返回本章目录（2）、受控源的处理方法本讲稿第十八页，共二十五页 2.4 割集法与节点法 割集法和节点法是为了减少方程个数、简便手工计算过程的又一类改进方法。下一页第 2-19页 前一页返回本章目录1、节点法定义：以节点电压为未知变量列出并求解方程的方法称为节点法。1、割集法定义：以树支电压为求解变量，列写基本割集的KCL方程，解方程先求得树支电压，进而求得所需要求的电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称为割集电压，简称为割集法。本讲稿第十九页，共二十五页2、节点电压的概念 在电路中任意选择一个节点为参考节点，其余节点与参考节点之间的电压，称为节点电压或节点电位，各节点电压的极性均以参考节点为“-”极。如图电路，选节点4作参考点，其余各节点的电压分别记为u1、u2和u3。支路电压可用节点电压表示为：u12=u1-u2，u23=u2-u3，u13=u1-u3，u14=u1，u24=u2，u34=u3，对电路的任意回路，如回路A，有 u13 u23 u12 =u1-u3(u2-u3)(u1-u2)0所以，节点电压自动满足KVL方程。节点电压的独立性和完备性。下一页第 2-20页 前一页返回本章目录 2.4 2.4 割集法与节点法割集法与节点法本讲稿第二十页，共二十五页 2.4 2.4 割集法与节点法割集法与节点法 如图电路,在节点1,2,3分别列出KCL方程：(设流出取正）i1+i2+iS2+i4 iS4=0 i3+i5 i2 iS2=0 i6+iS6 i1 i3=0利用OL各电阻上的电流可以用节点电压表示为 i1=G1(u1 u3)，i2=G2(u1 u2)，i3=G3(u2 u3),i4=G4 u1，i5=G5 u2，i6=G6 u3代入KCL方程，合并整理后得节点(1)(G1+G2+G4)u1 G2 u 2 G1 u 3=iS4 iS2节点(2)G2 u1 +(G2+G3+G5)u 2 G3 u 3=iS2节点(3)G1 u1 G3 u 2+(G1+G3+G6)u 3=-iS6G G1111G G2222G G3333G G1212G G1313G G2121G G2323G G3131G G3232(I(IS S)1 1(I(IS S)2 2(I(IS S)3 3下一页前一页第 2-21页 返回本章目录3、节点法方程的列写规律本讲稿第二十一页，共二十五页由电路直接列写节点方程的规律总结由电路直接列写节点方程的规律总结Gii(i=1,2,3)称为节点i的自电导=与节点i相连的所有支路的电导之和，恒取“+”；Gij称为节点i与节点j的互电导=节点i与节点j之间共有支路电导之和；恒取“-”。(IS)i 称为节点i的等效电流源=流入节点i的所有电流源电流的代数和。即，电流源电流流入该节点时取“+”；流出时取“-”。下一页前一页第 2-22页 返回本章目录 2.4 2.4 割集法与节点法割集法与节点法本讲稿第二十二页，共二十五页（2）按照规律列出节点电压方程。自电导恒取正值，互电导恒为负。（3）联立求解，解出各节点电压。（4）根据节点电压再求其它待求量。（1）指定电路中某一节点为参考点，并标出各独立节点的电压。下一页前一页第 2-23页 返回本章目录4、节点法步骤归纳如下：2.4 2.4 割集法与节点法割集法与节点法本讲稿第二十三页，共二十五页例1 列出图示电路的节点电压方程。小结：对有伴电压源将它等效电流源与电阻并联的形式；对于无伴电压源，若其有一端接参考点，则另一端的节点电压已知，对此节点就不用列节点方程了；否则在电压源上假设一电流，并把它看成电流源。解：设节点电压分别为u1、u2、u3。图中有三个电压源，其中电压源uS3有一电阻与其串联，称为有伴电压源，可将它转换为电流源与电阻并联的形式，如图。另两个电压源uS1和uS2称为无伴电压源。uS1有一端接在参考点，故节点2的电压u2=uS1已知，因此，就不用对节点2列方程了。对电压源uS2的处理办法是：先假设uS2上的电流为I，并把它看成是电流为I的电流源即可。列节点1和3的方程为 G1u1 G1u2=iS I (G2+G3)u3 G2u2=I+G3 u3对对uS2补一方程：补一方程：u1 u3=uS2 下一页前一页第 2-24页 返回本章目录（1）、电压源的处理方法 2.4 2.4 割集法与节点法割集法与节点法5、节点法中特殊情况的处理本讲稿第二十四页，共二十五页例2 如图(a)电路，用节点法求电流i1和i2。小结：对受控源首先将它看成独立电源；列方程后，对每个受控源再补一个方程将其控制量用节点电压表示。设独立节点电压为ua和ub,则可列出节点方程组为 (1+1)ua ub=9+1+2 i1 (1+0.5)ub ua=2 i1再将控制量用节点电压表示,即 i1=9 ua/1解得:ua=8V,ub=4V,i1=1A i2=ub/2=2(A)解：本例中含受控源(CCCS)，处理方法是：先将受控源看成独立电源。将有伴电压源转换为电流源与电阻的并联形式,如图(b)所示。下一页前一页第 2-25页 返回本章目录(2)、受控源的处理方法 2.4 2.4 割集法与节点法割集法与节点法本讲稿第二十五页，共二十五页