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测量学第三章本讲稿第一页，共三十六页 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：系统误差、偶然误差和粗差三类系统误差、偶然误差和粗差三类系统误差、偶然误差和粗差三类系统误差、偶然误差和粗差三类 。1.1.1.1.系统误差系统误差系统误差系统误差(system errorsystem error)定义：定义：定义：定义：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统系统系统系统误差误差误差误差”。二二 测量误差的分类与处理原则测量误差的分类与处理原则 特点：特点：特点：特点：具有具有具有具有积累性积累性积累性积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。一定的观测方法加以消除。一定的观测方法加以消除。一定的观测方法加以消除。例如：钢尺尺长误差、例如：钢尺尺长误差、例如：钢尺尺长误差、例如：钢尺尺长误差、水准仪视准轴误差。水准仪视准轴误差。水准仪视准轴误差。水准仪视准轴误差。本讲稿第二页，共三十六页 定义：定义：定义：定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。2.2.2.2.偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差 (accident erroraccident error)特点：特点：特点：特点：（1 1 1 1）具有一定的范围。）具有一定的范围。）具有一定的范围。）具有一定的范围。（有界性有界性）（2 2 2 2）绝对值小的误差出现概率大。）绝对值小的误差出现概率大。）绝对值小的误差出现概率大。）绝对值小的误差出现概率大。（占优性占优性）（3 3 3 3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。（对称性）对称性）（4 4 4 4）数学期望等于零。数学期望等于零。数学期望等于零。数学期望等于零。（抵偿性抵偿性）即：即：即：即：本讲稿第三页，共三十六页正态分布曲线正态分布曲线特性：有界性，占优性，对称性，抵偿性。有界性，占优性，对称性，抵偿性。-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x=y误差分布频率直方图误差分布频率直方图本讲稿第四页，共三十六页3.3.粗差粗差粗差粗差(gross errorgross error)定义：定义：定义：定义：由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为粗差粗差粗差粗差。如瞄错目标、读错大数等如瞄错目标、读错大数等如瞄错目标、读错大数等如瞄错目标、读错大数等4)4)误差处理原则误差处理原则粗粗 差差重复观测重复观测严格检核严格检核计算中发现计算中发现 发现后舍弃或重测发现后舍弃或重测 系统误差系统误差采用适当的观测方法采用适当的观测方法校正仪器校正仪器计算加改正计算加改正系统误差补偿系统误差补偿 偶然误差偶然误差 :采用测量平差的方法采用测量平差的方法 为了防止错误的发生和提高观测成果的精度，在测量工作中，为了防止错误的发生和提高观测成果的精度，在测量工作中，一般需要进行多于必要的观测，称为一般需要进行多于必要的观测，称为“多余观测多余观测”。本讲稿第五页，共三十六页 第第第第二节二节二节二节 衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标衡量精度的指标 精度的概念精度的概念精度的概念精度的概念：所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，也所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，也所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，也所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度，也就是指离散程度的大小。就是指离散程度的大小。就是指离散程度的大小。就是指离散程度的大小。假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的假如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精精精精度相同度相同度相同度相同；反之，若误差分布不同，则；反之，若误差分布不同，则；反之，若误差分布不同，则；反之，若误差分布不同，则精度也就不同精度也就不同精度也就不同精度也就不同。在相同的在相同的在相同的在相同的观测条件下观测条件下观测条件下观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值同精度观测值同精度观测值同精度观测值。本讲稿第六页，共三十六页 结论：结论：结论：结论：第一组比第二组第一组比第二组第一组比第二组第一组比第二组误差分布较为集中，或离误差分布较为集中，或离误差分布较为集中，或离误差分布较为集中，或离散度小。散度小。散度小。散度小。本讲稿第七页，共三十六页1.1.中误差中误差中误差中误差(mean square error)可以用标准差可以用标准差为统一衡为统一衡量在一定观测条件下观测结量在一定观测条件下观测结果的精度的指标。果的精度的指标。按有限的几次观测的偶然误差求得的标准差为按有限的几次观测的偶然误差求得的标准差为“中误差中误差”。在实际测量工作中，可以用中误差为衡量精度的指标，在实际测量工作中，可以用中误差为衡量精度的指标，用用m表示。表示。本讲稿第八页，共三十六页计算中误差的公式计算中误差的公式真误差真误差：标准差公式标准差公式：中误差公式为中误差公式为：本讲稿第九页，共三十六页举举 例例 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行门设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行门1010次观测，求得每次观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为：次观测所得的三角形内角和的真误差为：第一组：第一组：33，-2-2，-4-4，22，00，-4-4，-3-3，+2+2，-3-3，-1-1；第二组：第二组：00，-1-1，-7-7，+2+2，+1+1，+1+1，-8-8，+0+0，+3+3，-11。这两组观测值的中误差这两组观测值的中误差本讲稿第十页，共三十六页2.2.相中误差相中误差(relative errorrelative error)3.3.极限误差极限误差极限误差极限误差(limit errorlimit error)或容许误差或容许误差或容许误差或容许误差(tolerance）对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映出对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映出观测值的质量。观测值的质量。常以两倍或三倍中误差作为误差的常以两倍或三倍中误差作为误差的误差极限误差极限,称为称为称为称为“允许误差允许误差允许误差允许误差”，简称，简称，简称，简称“限差限差限差限差”。相对中误差相对中误差=本讲稿第十一页，共三十六页第三节第三节第三节第三节 算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差算术平均值及观测值的中误差 一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值一、算术平均值 在相同的观测条件下，对某个未知量进行在相同的观测条件下，对某个未知量进行在相同的观测条件下，对某个未知量进行在相同的观测条件下，对某个未知量进行n n次观测次观测次观测次观测 称为称为称为称为“最或是值最或是值最或是值最或是值”设某一个量的真值为设某一个量的真值为设某一个量的真值为设某一个量的真值为x x，各次观测值为，各次观测值为，各次观测值为，各次观测值为 ，其相，其相，其相，其相应应应应的真的真的真的真误误误误差差差差为为为为1 1，2 2，n n，则，则，则，则 ：本讲稿第十二页，共三十六页二、观测值的改正值二、观测值的改正值二、观测值的改正值二、观测值的改正值 一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。本讲稿第十三页，共三十六页三、按观测值的改正值计算中误差三、按观测值的改正值计算中误差三、按观测值的改正值计算中误差三、按观测值的改正值计算中误差(白塞尔公式白塞尔公式白塞尔公式白塞尔公式)简单的解释为：在真值已知的情况下，所有简单的解释为：在真值已知的情况下，所有简单的解释为：在真值已知的情况下，所有简单的解释为：在真值已知的情况下，所有n n次观测值均为多余次观测值均为多余次观测值均为多余次观测值均为多余观测；在真值未知的情况下，则有一次观测值是必要的，其余观测；在真值未知的情况下，则有一次观测值是必要的，其余观测；在真值未知的情况下，则有一次观测值是必要的，其余观测；在真值未知的情况下，则有一次观测值是必要的，其余(n(n1)1)次观测值是多余的。因此，次观测值是多余的。因此，次观测值是多余的。因此，次观测值是多余的。因此，n n和和和和(n(n1)1)是分别代表真值已知和未知两种是分别代表真值已知和未知两种是分别代表真值已知和未知两种是分别代表真值已知和未知两种不同情况下的多余观测数。不同情况下的多余观测数。不同情况下的多余观测数。不同情况下的多余观测数。由基本概念得：由基本概念得：由基本概念得：由基本概念得：本讲稿第十四页，共三十六页左右各取其总和左右各取其总和左右各取其总和左右各取其总和 取其平方和取其平方和取其平方和取其平方和 本讲稿第十五页，共三十六页本讲稿第十六页，共三十六页第四节第四节第四节第四节 误差传播定律误差传播定律误差传播定律误差传播定律 设函数设函数为独立观测值，为独立观测值，则有全微分则有全微分1.1.误差传播定律误差传播定律误差传播定律误差传播定律微分元素用中误差代替：微分元素用中误差代替：若对若对z观测了观测了n次，将次，将n个关系式平方后求和后：个关系式平方后求和后：本讲稿第十七页，共三十六页根据中误差定义，转换成中误差关系式即根据中误差定义，转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：当当 时时 两边除以两边除以n得：得：本讲稿第十八页，共三十六页1.倍数函数：倍数函数：2.和差函数：和差函数：3.线性函数：线性函数：2.常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式本讲稿第十九页，共三十六页举举 例例1.量得某圆形建筑物得直径量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差其中误差 ,求建筑物得圆周长及其中误差。求建筑物得圆周长及其中误差。解：圆周长解：圆周长中误差中误差结果可写成结果可写成本讲稿第二十页，共三十六页举举 例例2.水准测量从水准测量从A进行到进行到B,得高差得高差 ,中误差中误差 ,从从C到到B得高差得高差 ,中误差中误差 ,求求A,C两点间的高差及其中误差。两点间的高差及其中误差。本讲稿第二十一页，共三十六页3.用长用长30m得钢尺丈量了得钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长，求全长D及其中误差。及其中误差。举举 例例本讲稿第二十二页，共三十六页举举 例例4.丈量斜距丈量斜距s=50.00m,其中误差其中误差 并测得并测得倾斜角倾斜角 ,其中误差其中误差 ,求相应水求相应水平距离平距离D及其中误差及其中误差.解解:本讲稿第二十三页，共三十六页第五节第五节 广义算术平均值及权广义算术平均值及权n一、广义算术平均值如果对某个未知量进行n n次同精度观测，则其最或然值即为n n次观测量的算术平均值：次观测量的算术平均值：本讲稿第二十四页，共三十六页在相同条件下对某段长度进行两组丈量：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：n n第一组第一组：n n第二组第二组：算术平均值分别为算术平均值分别为本讲稿第二十五页，共三十六页其中误差分别为：其中误差分别为：本讲稿第二十六页，共三十六页n n全部同精度观测值的最或然值为全部同精度观测值的最或然值为：本讲稿第二十七页，共三十六页在在值的大小体现了值的大小体现了中比重的大小，中比重的大小，称称为为的权。的权。n n令令本讲稿第二十八页，共三十六页n n若有不同精度观测值若有不同精度观测值其权分别为其权分别为该量的最或然值可扩充为该量的最或然值可扩充为：称之为广义算术平均值。称之为广义算术平均值。本讲稿第二十九页，共三十六页n n当各观测值精度相同时当各观测值精度相同时本讲稿第三十页，共三十六页n n二二.权权定权的基本公式定权的基本公式：称为称为中误差中误差，为单位权观测值，为单位权观测值，当观测值当观测值称为单位权，称为单位权，单位权中误差。单位权中误差。本讲稿第三十一页，共三十六页n n权的特性权的特性1 反映了观测值的相互精度关系。反映了观测值的相互精度关系。值的值的 大小，对大小，对X值毫无影响。值毫无影响。23 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系。本讲稿第三十二页，共三十六页4 若若同类量的观测值，此时，权无单位。若同类量的观测值，此时，权无单位。若是不同类量的观测值，权是否有单位不能是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。一概而论，而视具体情况而定。本讲稿第三十三页，共三十六页例：已知例：已知例：已知例：已知的中误差分别为：的中误差分别为：设设若设若设若设若设本讲稿第三十四页，共三十六页n n三三.单位权中误差的计算公式单位权中误差的计算公式 在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差，然后根据 求出各观测值的中误差。以推导计算单位权中误差的公式为本讲稿第三十五页，共三十六页本讲稿第三十六页，共三十六页