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本讲稿第一页，共二十四页一、分数的三类基本应用题一、分数的三类基本应用题1.求分率：求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）求分率：求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）a ab b比较量比较量单位单位1的量的量=分率分率对应对应2.求比较量：求一个数的几分之几（百分之几）是多少求比较量：求一个数的几分之几（百分之几）是多少单位单位1的量的量分率分率 单位单位1的量的量分率分率=比较量比较量3.求单位求单位1的量：已知一个数的几分之几是多少求这个数的量：已知一个数的几分之几是多少求这个数 比较量比较量对应分率对应分率=单位单位1的量的量本讲稿第二页，共二十四页二、利润问题二、利润问题 进价进价 成本成本 定价定价 售价售价 利润利润 折扣折扣成本利润率成本利润率=（售价（售价-成本）成本）成本成本销售利润率销售利润率=（售价（售价-成本）成本）售价售价100%成本成本利润率利润率 成本成本 =售价售价 （1利润率）利润率）售价售价 =成本成本 （1 1利润率利润率）售价售价 -成本成本本讲稿第三页，共二十四页 【例例1】某某种种商商品品每每件件成成本本是是120元元，按按比比进进价价提提高高30%定定价价，后后来来达达8折折出出售售。这这种种商商品品的的标标价价是是多多少少元元？出出售售后后可可获获利利多多少少元元？利利润率是多少？润率是多少？标价：标价：120（130%）=156（元）（元）利润：利润：15680%120=4.8（元）（元）利润率：利润率：4.8120=4%本讲稿第四页，共二十四页 【例例2 2】一一家家服服装装商商店店，同同时时卖卖出出两两套套售售价价都都是是150150元元的的服服装装。一一套套卖卖出出时时赚赚了了2525 ，另另一一套套卖卖出出时时赔赔了了2525。这这家家商商店店卖卖出出这两套服装，是赚钱还是赔钱？这两套服装，是赚钱还是赔钱？卖出后赚了卖出后赚了25的那套服装，的那套服装，售价比成本价多售价比成本价多25，售价是成本价的，售价是成本价的1+25%成本价是成本价是150（1+25）=120（元），（元），实际赚钱是实际赚钱是150-120=30（元）（元）卖出后赔了卖出后赔了25的那套服装的那套服装 售价比成本价少售价比成本价少25，售价是成本价的，售价是成本价的1-25%成本价是成本价是150（1-25）=200（元）（元）实际赔钱是实际赔钱是200-150=50（元）（元）卖出这两套服装，赔钱卖出这两套服装，赔钱50-30=20（元）（元）本讲稿第五页，共二十四页 【例例3】某某品品牌牌电电器器的的标标价价是是2500元元，打打八八折折出出售售仍仍可可获获得得相相当当于于进进价价的的25%的的利利润润。该该品品牌牌电电器器的的进进价价是是多多少少元元？若若按按原原来来的的标标价价出出售售，可可获获得得利利润润多多少少元元？若若按按六六折折出出售售，该该电电器器是是赚赚钱钱还还是赔本？是赔本？打八折后的价钱：打八折后的价钱：250080%=2000（元）（元）进价是：进价是：2000（1+25%）=1600（元）（元）2500-1600=900元元 若按原来的标价出售，可获得利润若按原来的标价出售，可获得利润900元元 25000.6=1500元元 1500元元1600元元 若按六折出售，该电器是赔本若按六折出售，该电器是赔本 本讲稿第六页，共二十四页【例例4 4】张张先先生生向向商商店店订订购购某某一一商商品品，共共订订购购6060件件，每每件件定定价价100100元元。张张先先生生对对商商店店经经理理说说：“如如果果你你肯肯降降价价，每每件件商商品品每每减减价价1 1元元，我我就就多多订订购购3 3件件。”商商店店经经理理算算了了一一下下，如如果果减减价价4%4%，由由于于张张先先生生增增加加订订购购数数量量，仍仍可可获获得得和和原来一样多的总利润原来一样多的总利润。问这种商品的成本是多少？。问这种商品的成本是多少？解：减价解：减价4%4%，即每件商品售价下降了，即每件商品售价下降了1004%=41004%=4（元）（元）因此张先生要多订购因此张先生要多订购43=1243=12（件）（件）原来订购原来订购6060件，每件减价件，每件减价4 4元，商家利润就减少元，商家利润就减少460=240460=240（元）（元）这要由多订购的这要由多订购的1212件所获得的利润来弥补件所获得的利润来弥补每件要获得利润每件要获得利润24012=2024012=20（元）（元）这种商品每件成本是这种商品每件成本是1001004 420=7620=76（元）（元）答：这种商品每件成本答：这种商品每件成本7676元。元。本讲稿第七页，共二十四页三、利率、税率问题三、利率、税率问题基本数量关系基本数量关系:利息利息=本金本金利率利率存期存期 【例例1】小小明明把把1000元元钱钱存存入入银银行行，存存期期为为两两年年，他他有有两两种种储储蓄蓄方方法法：一一种种是是存存两两年年期期，年年利利率率是是4.4%；另另一一种种是是先先存存一一年年期期，年年利利率率是是3.5%，到到期期后后把把本本金金和和利利息息合合在在一一起起再再存存一一年年。哪哪种种存存法法获获得得的的利利息息多多一一些些？多多多少？多少？10004.4%2=88(10004.4%2=88(元元元元)10003.5%1=35(10003.5%1=35(元元元元)(1000+35)3.5%1=36.22(1000+35)3.5%1=36.22（元）（元）（元）（元）35+36.22=71.22(35+36.22=71.22(元元元元)88-71.22=16.78(88-71.22=16.78(元元元元)本讲稿第八页，共二十四页 【例例2 2】20112011年年9 9月月1 1日起，个人收入所得税起征点上调至日起，个人收入所得税起征点上调至35003500元，元，月收入超过月收入超过35003500元的部分，按下面的标准征税：元的部分，按下面的标准征税：超出部分超出部分15001500元元15001500至至4500450045004500至至90009000税税 率率3%3%10%10%20%20%李叔叔的月工资是李叔叔的月工资是60006000元，扣除个人所得税后实际领到的工资是多元，扣除个人所得税后实际领到的工资是多少钱？少钱？解：李叔叔月工资超出起征点解：李叔叔月工资超出起征点解：李叔叔月工资超出起征点解：李叔叔月工资超出起征点6000-3500=25006000-3500=25006000-3500=25006000-3500=2500（元）（元）（元）（元）其中其中其中其中1500150015001500元按元按元按元按3%3%3%3%的税率缴纳税款的税率缴纳税款的税率缴纳税款的税率缴纳税款15003%=4515003%=4515003%=4515003%=45（元）（元）（元）（元）另外另外另外另外1000100010001000元按元按元按元按10%10%10%10%的税率缴纳税款的税率缴纳税款的税率缴纳税款的税率缴纳税款100010%=100100010%=100100010%=100100010%=100（元）（元）（元）（元）扣除个人所得税后实际领到的工资是扣除个人所得税后实际领到的工资是扣除个人所得税后实际领到的工资是扣除个人所得税后实际领到的工资是6000-6000-6000-6000-（45+10045+10045+10045+100）=5855=5855=5855=5855（元）（元）（元）（元）本讲稿第九页，共二十四页纳税问题纳税问题 【例例3】国家规定个人发表文章、出版图书所得稿酬应该缴纳个人国家规定个人发表文章、出版图书所得稿酬应该缴纳个人收入调节税。计算方法如下收入调节税。计算方法如下:(1)稿费不高于稿费不高于800元的元的,不纳税不纳税 (2)稿费高于稿费高于800元但不超过元但不超过4000元的元的,应交纳超过应交纳超过800元的那一部元的那一部分的分的14税款税款 (3)稿费高于稿费高于4000元的元的,应交纳全部稿酬的应交纳全部稿酬的11的税款的税款 问问:稿酬为稿酬为4000元应纳税多少元应纳税多少?稿酬为稿酬为4001元应纳税多少元应纳税多少?本讲稿第十页，共二十四页股票交易问题股票交易问题 【例例4】在在股股票票交交易易中中,每每买买进进或或卖卖出出一一种种股股票票,都都必必须须按按成成交交金金额额分分别别交交纳纳印印花花税税和和佣佣金金.老老王王1月月18日日买买进进1000股股科科技技股股票票,每每股股5元元;4月月5日日以以每每股股6元元的的价价格格卖卖出出.老老王王赚赚了了多多少少钱钱?(印印花花税税0.1,佣佣金金0.3)本讲稿第十一页，共二十四页四、浓度问题四、浓度问题(配比配比)把盐放入水中溶解后得到盐水，这里的盐水叫溶液，其中盐叫把盐放入水中溶解后得到盐水，这里的盐水叫溶液，其中盐叫把盐放入水中溶解后得到盐水，这里的盐水叫溶液，其中盐叫把盐放入水中溶解后得到盐水，这里的盐水叫溶液，其中盐叫溶质，水叫溶剂，盐的重量占盐水重量的百分比叫做盐水的百分比溶质，水叫溶剂，盐的重量占盐水重量的百分比叫做盐水的百分比溶质，水叫溶剂，盐的重量占盐水重量的百分比叫做盐水的百分比溶质，水叫溶剂，盐的重量占盐水重量的百分比叫做盐水的百分比浓度。浓度。浓度。浓度。溶液浓度溶液浓度=100%100%溶液溶液溶质溶质溶质溶质=溶液溶液溶液浓度溶液浓度溶液溶液=溶质溶质溶液浓度溶液浓度当浓度一定时，溶质与溶液成正比当浓度一定时，溶质与溶液成正比当溶质一定时，溶液与浓度成反比当溶质一定时，溶液与浓度成反比当溶液一定时，溶剂一浓度成正比当溶液一定时，溶剂一浓度成正比本讲稿第十二页，共二十四页【例例1】蜜蜂采的蜜蜂采的花蜜花蜜含有含有60%的水分，用这种花蜜酿成只含水分的水分，用这种花蜜酿成只含水分20%的的蜂蜜蜂蜜3.5千克，需这样的千克，需这样的花蜜花蜜多少千克？多少千克？分析：酿制过程中纯蜂蜜的重量不变分析：酿制过程中纯蜂蜜的重量不变解解1：3.5（1-20%）（1-60%）=7（千克）（千克）分析：由于纯蜂蜜的重量不变，根据溶质分析：由于纯蜂蜜的重量不变，根据溶质=溶液溶液溶液浓度溶液浓度 所以蜂蜜溶液与浓度成反比所以蜂蜜溶液与浓度成反比解解2 2：花蜜浓度与蜂蜜浓度的比是花蜜浓度与蜂蜜浓度的比是 40%40%：80%=1 80%=1：2 2 所以花蜜重量与蜂蜜重量的比是所以花蜜重量与蜂蜜重量的比是 2 2 ：1 1 所以需要蜂蜜所以需要蜂蜜3.52=73.52=7（千克）（千克）解解3：设需要这样的花蜜设需要这样的花蜜X千克千克 X(1-60%)=3.5(1-20%)X(1-60%)=3.5(1-20%)小结：紧紧抓住不变量是解本题的关键小结：紧紧抓住不变量是解本题的关键本讲稿第十三页，共二十四页练习练习1 有有40克盐水，若加入克盐水，若加入200克水，它的浓度就减少克水，它的浓度就减少10%，它原来的浓度，它原来的浓度是多少？是多少？溶质不变，溶液与浓度成反比溶质不变，溶液与浓度成反比溶液的比溶液的比 40 40：（40+20040+200）=1:6=1:6浓度的比浓度的比 6:16:1原来的浓度原来的浓度 10%10%（6-16-1）6=12%6=12%练习练习2 一个容器内装有浓度为一个容器内装有浓度为80%的酒精，如果加上的酒精，如果加上500克水，酒精浓度克水，酒精浓度就变为就变为60%，那么这个容器内含有纯酒精多少克？，那么这个容器内含有纯酒精多少克？设原有酒精溶液设原有酒精溶液X X克，则加水前后纯酒精质量不变克，则加水前后纯酒精质量不变 80%X=80%X=（X+500X+500）60%X=1500X=1500纯酒精纯酒精 1500150080%=1200（克）（克）本讲稿第十四页，共二十四页【例例2】甲甲容容器器中中有有8%的的盐盐水水300克克，乙乙容容器器中中有有12.5%的的盐盐水水120克克，往往甲甲乙乙两两个个容容器器中中分分别别倒倒入入等等量量的的水水，要要使使两两个个容容器器的的盐盐水水浓浓度度一一样样，各各需需倒倒入入多多少少克水？克水？方法方法1 1：由题可知稀释后两种溶液的浓度一样：由题可知稀释后两种溶液的浓度一样所以它们的盐重量的比与盐水重量的比相等所以它们的盐重量的比与盐水重量的比相等而盐重量比是而盐重量比是 （3003008%）：（）：（12012.5%）=8:5所以最后的盐水的重量比也是所以最后的盐水的重量比也是 8:58:5它们相差它们相差3 3份，而两种盐水相差份，而两种盐水相差300-120=180300-120=180（克）（克）由此可以求出一份的数由此可以求出一份的数 1801803=60（克）（克）所以甲盐水所以甲盐水 608=480608=480（克）（克）倒入的水倒入的水480-300=180480-300=180（克）（克）3008%12012.5%300+X120+X=方法方法2：设需倒入：设需倒入X克水，根据题意得克水，根据题意得本讲稿第十五页，共二十四页练习练习1 有浓度为有浓度为30%的溶液若干，加了一定数量的水稀释为浓度为的溶液若干，加了一定数量的水稀释为浓度为24%的溶液，如果再加入同样多的水，浓度将变为多少？的溶液，如果再加入同样多的水，浓度将变为多少？分析：稀释前后溶质没变，所以浓度与溶液成反比分析：稀释前后溶质没变，所以浓度与溶液成反比浓度比是浓度比是 30%30%：24%=5 24%=5：4 4 所以溶液比所以溶液比 4 4：5 5再加入同样多的水，溶液比就是再加入同样多的水，溶液比就是 4 4：6 6则浓度比就是则浓度比就是 6 6：4 4所以最后溶液的浓度是所以最后溶液的浓度是 30%64=20%30%64=20%练习练习2 瓶中水加入盐后浓度是瓶中水加入盐后浓度是25%，再加入，再加入400克水后浓度为克水后浓度为15%，那么瓶中，那么瓶中原有水多少克？原有水多少克？本讲稿第十六页，共二十四页四、趣味分数问题四、趣味分数问题 【例例1】古古希希腊腊著著名名数数学学家家丢丢番番图图，被被人人们们称称为为数数学学之之父父。在在他他的的墓墓碑碑上上刻刻着着一一首首诗诗：墓墓中中，长长眠眠着着一一位位伟伟大大人人物物丢丢番番图图！他他一一生生的的1/6是是幸幸福福的的童童年年；又又过过了了一一生生的的1/12,他他的的脸脸上上长长出出了了胡胡须须；再再过过一一生生的的1/7他他结结了了婚婚；婚婚后后5年年喜喜得得贵贵子子；可可惜惜儿儿子子只只活活到到父父亲亲生生命命的的一一半半；丧子后老人在悲伤中度过丧子后老人在悲伤中度过4年，也离开了人间年，也离开了人间.请问请问:他终年几岁他终年几岁?(5+4)(1-1/6-1/12-1/7-1/2)=84(5+4)(1-1/6-1/12-1/7-1/2)=84(5+4)(1-1/6-1/12-1/7-1/2)=84(5+4)(1-1/6-1/12-1/7-1/2)=84(岁岁岁岁)本讲稿第十七页，共二十四页毕达哥拉斯的弟子毕达哥拉斯的弟子 【例例2】毕达哥拉斯是古希腊有名的数学家，他在欧洲首先提毕达哥拉斯是古希腊有名的数学家，他在欧洲首先提出勾股定理，所以在西方勾股定理又称为毕达哥拉斯定理。出勾股定理，所以在西方勾股定理又称为毕达哥拉斯定理。有一次，当人们问起他有多少弟子时，毕达哥拉斯回答道：我的有一次，当人们问起他有多少弟子时，毕达哥拉斯回答道：我的弟子的一半在研究美妙的数学，四分之一在探索大自然的奥秘，七分弟子的一半在研究美妙的数学，四分之一在探索大自然的奥秘，七分之一终日沉默寡言深入思考，再加上三个女孩子，这就是我的全部弟之一终日沉默寡言深入思考，再加上三个女孩子，这就是我的全部弟子。求毕达哥拉斯有多少个弟子？子。求毕达哥拉斯有多少个弟子？33（1-1/2-1/4-1/71-1/2-1/4-1/7）=28=28（人）（人）（人）（人）本讲稿第十八页，共二十四页三子分牛三子分牛 【例例3】很久以前，印度有一位老人，他临死之前把三个儿子叫到很久以前，印度有一位老人，他临死之前把三个儿子叫到了面前，对他们说了面前，对他们说:“我快要死了，没有其他东西留给你们，只有我快要死了，没有其他东西留给你们，只有19头牛，头牛，你们分了吧！我的意思是老大得总数的你们分了吧！我的意思是老大得总数的1/2，老二得总数的，老二得总数的1/4,老老三得总数的三得总数的1/5”说完老人就去世了。可是怎样分呢？说完老人就去世了。可是怎样分呢？兄弟三人正束手无策时，一位老农牵了一头牛从门前经过，问明情况后兄弟三人正束手无策时，一位老农牵了一头牛从门前经过，问明情况后说：说：“这样吧，我把自己这头牛借给你们，凑成这样吧，我把自己这头牛借给你们，凑成20头。头。老大得：老大得：201/2=10（头）（头）老二得：老二得：201/4=5（头）（头）老三得：老三得：201/5=10（头）（头）最后还剩下最后还剩下1头刚好还给我。头刚好还给我。”本讲稿第十九页，共二十四页 阿拉伯人分银币阿拉伯人分银币 【例例4】古古时时候候有有2个个阿阿拉拉伯伯人人，一一个个叫叫哈哈桑桑，一一个个叫叫萨萨里里曼曼，他他们们一一起起去去麦麦加加朝朝圣圣。哈哈桑桑带带了了3只只面面包包，萨萨里里曼曼带带来来5只只面面包包，准准备备途途中中吃吃。这这时时迎迎面面来来了了一一位位过过路路人人，向向两两位位说说：“我我带带的的食食品品都都吃吃完完了了，请请分分一一点点食食品品给给我我吧吧，我我一一定定付付钱钱给给你你们们。”哈哈桑桑和和萨萨里里曼曼答答应应了了。于于是是他他们们把把8只只面面包包平平均均分分成成了了3份份，每每人人吃吃完完了了自自己己的的一一份份。临临别别时时，过过路路人人说说：“谢谢谢谢你你们们，这这8个个银银币币请请你你们们收收下下.”说说完完就就走走了了。过过路路人人走走后后，他他们们两两人人便便商商量量这这8个个银银币币该该怎怎样样分分。哈哈桑桑说说：“我我拿拿出出3只只面面包包，应应该该分分得得3个个银银币币，你你拿拿出出5只只面面包包，应应该该分分得得5个个银银币币。”请请问问怎怎样样分分合理吗？合理吗？8只只面面包包，平平均均分分成成3份份，每每份份8/3只只，那那位位过过路路人人吃吃了了8/3只只，付付了了8个个银银币币，平平均均每每个个银银币币能能买买1/3只只面面包包。哈哈桑桑拿拿出出3只只面面包包，自自己己吃吃掉掉8/3只只，剩剩下下的的1/3只只面面包包给给过过路人吃，所以应该得路人吃，所以应该得1个银币，萨里曼应分得个银币，萨里曼应分得7个银币个银币本讲稿第二十页，共二十四页合理分担出租车费合理分担出租车费 【例例5】甲、乙、丙三人合乘一辆出租车，事先商定，合理分甲、乙、丙三人合乘一辆出租车，事先商定，合理分担车费。甲在起点到终点的担车费。甲在起点到终点的1/3处下车，乙在起点到终点的处下车，乙在起点到终点的2/3处下车，处下车，丙乘车到终点，共付车费丙乘车到终点，共付车费36元。甲、乙、丙三人怎样分担车费比较合元。甲、乙、丙三人怎样分担车费比较合理？理？本讲稿第二十一页，共二十四页2.水结成冰体积要增加水结成冰体积要增加 ,冰化成水体积要减少几分之几冰化成水体积要减少几分之几?分析分析:把水的体积看作把水的体积看作1,结成冰后的体积就是结成冰后的体积就是 1+=冰融化成水减少的体积占冰的体积冰融化成水减少的体积占冰的体积 =所以冰融化成水体积减少所以冰融化成水体积减少1/11本讲稿第二十二页，共二十四页三、浓度问题三、浓度问题 基本概念：浓度指溶质占溶液的百分比；溶剂指用于溶基本概念：浓度指溶质占溶液的百分比；溶剂指用于溶解溶质的物质；溶质指能够被溶剂溶解的物质；溶液指溶剂解溶质的物质；溶质指能够被溶剂溶解的物质；溶液指溶剂与溶质的和。与溶质的和。浓度浓度=溶质质量溶质质量/溶液质量溶液质量100%【例例7】将浓度为将浓度为10%的盐水溶液的盐水溶液200克和浓度为克和浓度为5%的盐水溶液的盐水溶液300克混合后，倒出克混合后，倒出100克，再加入克，再加入100克的水，新盐水的浓度是多克的水，新盐水的浓度是多少？少？混合液的质量：混合液的质量：200+300=500（克）（克）混合液中溶质的质量：混合液中溶质的质量：20010%+3005%=35（克）（克）倒出的倒出的100克后溶液中所含的溶质质量克后溶液中所含的溶质质量（500-100）7%=28（克）（克）混合液的浓度：混合液的浓度：35500=7%又加入又加入100克水后，新盐水的浓度是：克水后，新盐水的浓度是：28500=5.6%本讲稿第二十三页，共二十四页浓度问题（公务员招考）浓度问题（公务员招考）【例例8】一容器内有浓度为一容器内有浓度为30%的糖水，若再加入的糖水，若再加入30千克水和千克水和6千克千克糖，则糖水的浓度变为糖，则糖水的浓度变为25%，问原来糖水中含糖多少千克？，问原来糖水中含糖多少千克？本讲稿第二十四页，共二十四页