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离散数学课件第五章代离散数学课件第五章代数结构数结构本讲稿第一页，共五十八页证明证明:1 1）充分性）充分性 a,ba,b G G，有，有(a a b)b)(a(a b)=(ab)=(a a)a)(b(b b)b)左端左端=a a(b b a)a)b b 右端右端=a*(a*b)*b=a*(a*b)*b 即即 a a(b b a)a)b=ab=a(a(a b)b)b b 由可约性得，用由可约性得，用a a-1-1左左 上式，再用上式，再用b b-1-1右右 上式，上式，得得 (a(a b)b)=(b b a)a)2 2）必要性）必要性 从从“G,是阿贝尔群是阿贝尔群”的结论出发的结论出发 ，推出，推出“(a a b)b)(a(a b)=(ab)=(a a)a)(b(b b)b)”。（证略）。（证略）本讲稿第二页，共五十八页补充：补充：元素的阶元素的阶（a a的阶，记为的阶，记为|a|a|）1 1元素元素a a的幂的幂的定义的定义定义：给定群定义：给定群G,a a G,G,若若n n N,N,则定义则定义:a a0 0=e,=e,a an+1 n+1=a=an n*a,a,a a-n-n=a=a-1-1*a a-1-1*a a-1-1=(a=(a-1-1)n n=(a=(an n)-1-1 对对m m用归纳法可证：用归纳法可证：a am m*a an n=a=am+n m+n (m,n(m,n I),I),对对k k用归纳法可证：用归纳法可证：(a(am m)k k=a=amk mk (m,k(m,k I)I)本讲稿第三页，共五十八页补充：补充：元素的阶元素的阶（a a的阶，记为的阶，记为|a|a|）2 2元素元素a a的阶的阶的定义的定义 设设G*是群，是群，a a G G能够使能够使 a am m=e=e的的最小正最小正整数整数m m，称为，称为a a的阶的阶。若。若m m不存在，则说不存在，则说a a是是无阶无阶的。的。例例1 1：在在整整数数加加群群中中，0 0的的阶阶是是1 1，其其余余元元素素均均无阶。无阶。例例2 2：在群：在群中，中，-1-1的阶是的阶是2 2，1 1的阶是的阶是1 1。例例3 3：在整数加群：在整数加群z 中，求各元素的阶：中，求各元素的阶：1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 6 3 2 3 6 1 6 3 2 3 6 1本讲稿第四页，共五十八页循环群与生成元循环群与生成元定定义义5-5.25-5.2 设设G,为为群群，如如果果在在G G中中存存在在元元素素a,a,使使得得G G中中的的任任何何元元素素都都可可表表示示为为a a的的幂幂（约约定定a a0 0=e,a=e,ak k=a*a*=a*a*a*a(k(k个个)）,称称G,为为循循环环群群，这这时时a a称称为为循循环环群群G G的的生生成元成元。例例1 1：整数加群：整数加群是循环群，其生成元为是循环群，其生成元为 。计算群的生成元是判别一个群是否为循环群的计算群的生成元是判别一个群是否为循环群的关键。关键。1 1和和-1-1本讲稿第五页，共五十八页循环群举例循环群举例例：循环群例：循环群0,60,120,180,240,300，0 0o o是该循环群的幺元。是该循环群的幺元。60 60o o是该循环群的生成元。是该循环群的生成元。(60(60o o)1 1=60=60o o,(60,(60o o)2 2=60=60o o6060o o=120=120o o,(60(60o o)3 3=60=60o o6060o o6060o o=180=180o o,(60,(60o o)4 4=240=240o o,(60,(60o o)5 5=300=300o o(60(60o o)6 6=0=0o o=e,(60=e,(60o o)7 7=60=60o o,(60,(60o o)8 8=120=120o o,a ab b表示平面图形连续旋转表示平面图形连续旋转a a和和b b得到的总旋转角度，并规得到的总旋转角度，并规定旋转定旋转360360等于原来的状态。等于原来的状态。300300也是生成元：也是生成元：300,240,180,120,60,0300,240,180,120,60,0本讲稿第六页，共五十八页循环群的性质循环群的性质定理定理 5-5.2 5-5.2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。任何一个循环群必定是阿贝尔群。证证 设设 G,是是一一个个循循环环群群，a a是是该该群群的的生生成成元元，则对于任意的则对于任意的x,yx,y G G，必有，必有r,sr,s I I，使得，使得 x=ax=ar r 和和 y=a y=as s 而且而且 x x y=ay=ar r a as s=a=ar+sr+s=a=as+rs+r=a=as s a ar r=y=y x x因此，运算因此，运算 可交换，是阿贝尔群。可交换，是阿贝尔群。本讲稿第七页，共五十八页循环群中生成元的阶（周期）循环群中生成元的阶（周期）定定理理 5-5.35-5.3 设设G,为为循循环环群群，a a G G是是该该群群的的生生成成元元，如如果果G G的的阶阶数数是是n n ，即即|G|=|G|=n n ，则则a an n =e e,且且 G=a,aG=a,a2 2,a,a3 3,.,a,.,an-2n-2,a,an-1n-1,a,an n=e=e其其中中，e e是是群群G,的的幺幺元元。n n是是使使得得a an n=e=e成成立立的的最小正整数最小正整数，称为元素，称为元素a a的阶或周期。的阶或周期。本讲稿第八页，共五十八页定理定理 5-5.3 5-5.3 的证明的证明证明思路证明思路:先证先证a a的阶为的阶为n n。设对于某个正整数设对于某个正整数m,mn,m,mn,有有a am m=e=e。那那么么，由由于于 G,是是一一个个循循环环群群，所所以以对对于于G G中中任任意意的的元元素都能写为素都能写为a ak k(k(k I),I),而且而且k=mq+r,k=mq+r,其中其中q q是某个整数是某个整数,0rm,0rm,则有则有 a ak k=a=amq+rmq+r=(a=(am m)q q a ar r=(e)=(e)q q a ar r=a=ar r 因因此此，G G中中每每一一元元素素都都可可写写成成a ar r，G G中中最最多多有有m m个个元元素素。与与|G|=n|G|=n矛盾。所以矛盾。所以a am m=e=e是不可能的。是不可能的。再用反证法证明再用反证法证明a a，a a2 2 ，.，a an n互不相同。互不相同。设设a ai i=a aj j，其其中中1 1ijn ijn，就就有有a aj-ij-i =e=e，而而且且1 1j-in j-in，这已经有上面证明是不可能的。，这已经有上面证明是不可能的。本讲稿第九页，共五十八页循环群中生成元的阶循环群中生成元的阶例例1 1：循环群：循环群0,60,120,180,240,300，6060o o是是生生成成元元；e e=0=0o o；6 6是是使使(60(60o o)n n=e=e的的最最小小正正整整数数，故故6060o o的的周期周期(阶阶)为为6 6。例例2 2：5j|jI,+是无限循环群是无限循环群,其中其中-5,5-5,5是均生成元。是均生成元。同理，同理，300300的阶也是的阶也是6 6。本讲稿第十页，共五十八页例例3 3：循环群：循环群N，其中，其中N Nk k=0,=0,k-1,k-1，xx表示表示N N中的模中的模k k等价类，等价类，x+x+k ky=(x+y)mod ky=(x+y)mod k。求求N 的幺元、生成元，并求生成元的周期。的幺元、生成元，并求生成元的周期。解：解：任任意意xx N N4 4，必必有有x+x+4 40=x0=x，故故00为为该该群群的的幺元幺元；11和和33都是都是生成元生成元，周期周期都是都是4 4。(1)(1)1 1=1,(1)=1,(1)2 2=2,(1)=2,(1)3 3=3,(1)=3,(1)4 4=0=0(3)(3)1 1=3,(3)=3,(3)2 2=2,(3)=2,(3)3 3=1,(3)=1,(3)4 4=0=0思考：为什么思考：为什么22不是生成元？不是生成元？N 的生成元？的生成元？本讲稿第十一页，共五十八页例例4 4：设设G=G=,，*的的运运算算表表如如下下，证证是循环群。是循环群。*证：从运算表可验证证：从运算表可验证是群。是群。从表中可看出从表中可看出是幺元。是幺元。：2 2=,=,3 3=,=,4 4=：2 2=,=,3 3=,=,4 4=：2 2=,=,3 3=，4 4=故生成元为：故生成元为：，故故是循环群。是循环群。本讲稿第十二页，共五十八页练习练习1 1证明：循环群的任何子群必定也是循环群。证明：循环群的任何子群必定也是循环群。证证 设设是是循循环环群群，其其生生成成元元是是a a。设设是是 的的子子群群，且且SeSe。那那么么，存存在在最最小小正正整整数数m m，使使 得得 a am m S S，对对 于于 任任 意意 的的 a ai i S S，必必 有有 i=tm+ri=tm+r(t(t I I+，0rm0rm)，故故a ar r=a=ai-tmi-tm=a=ai i*(a*(amtmt)-1-1 S S。又又因因为为m m是是使使a am m S S的的最最小小正正整整数数，所所以以r r只只能能取取值值为为0 0，所所以以i=tmi=tm，即即a ai=i=(a(am m)t t。这这说说明明，S S中中任任一一元元素素都都是是a am m的乘幂。因此，的乘幂。因此，是以是以a am m为生成元的循环群。为生成元的循环群。本讲稿第十三页，共五十八页练习练习2 2设设是是一一个个独独异异点点，并并且且对对于于G G中中的的每每一一个个元元素素x x都都有有x*x=ex*x=e，其其中中e e是是幺幺元元，证证明明是是一一个个阿阿贝贝尔群。尔群。证证 1)1)证证G G中每个元素均有逆元。中每个元素均有逆元。任意任意x x G G都有都有x*x=ex*x=e，故，故x x-1-1=x=x。2)2)证运算满足交换律。证运算满足交换律。任意任意a,ba,b G G都有都有(a*b)(a*b)-1-1=a*b=a*b a*b=(a*b)a*b=(a*b)-1-1=b=b-1-1*a*a-1-1=b*a=b*a 运算满足交换律。运算满足交换律。综上所述，综上所述，是一个阿贝尔群。是一个阿贝尔群。本讲稿第十四页，共五十八页练习练习3 3设设G=1,2,3,4,5,6G=1,2,3,4,5,6，G G上上的的二二元元运运算算7 7 如如表表所所示示。问问G,是是循循环环群群吗吗？若若是是，求求其其生成元。生成元。7 7112233445566111122334455662222446611335533336622551144444411552266335555331166442266665544332211生成元为：生成元为：3,53,5本讲稿第十五页，共五十八页5-7 5-7 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理(群的分解群的分解)定定义义5-7.15-7.1 设设G,为为群群,A,BA,B(G)G),且且AA，BB，记记 AB=aAB=a b b a a A,bA,b B B 和和 A A-1-1=a=a-1-1 a a A A 分别称为分别称为A A，B B的的积积和和A A的的逆逆。定定义义5-7.25-7.2 设设H 为为G 的的子子群群，那那么么对对任任一一 a a G G，称称 aH=a*haH=a*h hHhH为为 H H的的 左左 陪陪 集集(left left cosetcoset),),记记为为aHaH;称称Ha=h*aHa=h*ahHhH为为H H的的右右陪陪集集(right cosetright coset),),记为记为HaHa。本讲稿第十六页，共五十八页陪集举例陪集举例例例1.1.求求出出N 关关于于子子群群0,3,+的的所所有有左左陪集陪集,右陪集。右陪集。解解:令令H=0,3,H=0,3,则则左陪集左陪集:右陪集右陪集:0H=0,3=3H H0=0,3=H30H=0,3=3H H0=0,3=H31H=1,4=4H H1=1,4=H41H=1,4=4H H1=1,4=H42H=2,5=5H H2=2,5=H52H=2,5=5H H2=2,5=H5从中可以看出：从中可以看出：0H,1H,2H0H,1H,2H是是G G的一个划分。的一个划分。本讲稿第十七页，共五十八页陪集的性质陪集的性质设设 是是 的的 子子 群群,a,ba,b G G则则 aH=bHaH=bH或或aHbH=aHbH=。证证:对于对于aHaH和和bHbH，只有两种情况：，只有两种情况：aHbH=aHbH=aHbHaHbH 对于第二种情况，设对于第二种情况，设 f f aHbHaHbH h h1 1，h h2 2 H H，使，使f=a*hf=a*h1 1=b*h=b*h2 2 a=b*h a=b*h2 2*h*h1 1-1-1 bHbH x x aHaH则则 h h3 3 H,x=a*hH,x=a*h3 3=b*h=b*h2 2*h*h1 1-1-1*h*h3 3 bHbH aHaH bHbH，同理，同理bHbH aHaH aH=bHaH=bH本讲稿第十八页，共五十八页拉格朗日定理拉格朗日定理定定理理5-7.1(5-7.1(拉拉格格朗朗日日定定理理)设设H 为为有有限限群群G 的的子子群群，|G|=n,|G|=n,|H|=m,|H|=m,那那么么|G|/|H|G|/|H|=n/mn/m是是整数，即整数，即m|n m|n。本讲稿第十九页，共五十八页拉格朗日定理的推论拉格朗日定理的推论推论推论1 1 任何质数阶的群不可能有非平凡子群。任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推推论论2 2 设设G,为为n n阶阶有有限限群群，那那么么对对于于任任意意a a G G,a a的的阶阶必必是是n n的的因因子子且且必必有有a an n=e=e,这这里里e e是是群群G,的的幺幺元元。如如果果n n为为质质数数，则则G,必必是是循循环环群。群。本讲稿第二十页，共五十八页拉格朗日定理推论拉格朗日定理推论2 2的证明的证明证证:若若a a G G的的阶阶是是r,r,则则e,a e,a a a2 2,a a3 3 ,a,ar-1r-1 是是G G的的子子群群且且该该子子群群的的阶阶为为r r，由由拉拉格格朗朗日日定定理理可可知知r r整整除除n n，所以所以a a的阶必是的阶必是n n的因子的因子。故。故n=rt(n=rt(t t I I+),),故故a an n=e=e。设设为质数阶群，则为质数阶群，则 a a G G 且且 a a e e，a a的的阶阶数数可可整整除除|G|,|G|,但但是是|G|G|为为质质数数,所所以以a a的的阶数等于群的阶数。阶数等于群的阶数。a,aa,a2 2,a,ar r=G=G 是循环群是循环群本讲稿第二十一页，共五十八页拉格朗日定理练习拉格朗日定理练习例例1.1.试证奇数阶群所有元素之积等于幺元。试证奇数阶群所有元素之积等于幺元。证证:设设是一个群是一个群,e,e为幺元为幺元,则则 在在G G中不存在这样的元素中不存在这样的元素a a：a a e e，a=aa=a-1-1 若若a=aa=a-1 -1 则则a a2 2=e=e 是是的子群的子群 又因为又因为|a,e|=2|a,e|=2，所以由拉格朗日定理可得：，所以由拉格朗日定理可得：2 2整除整除|G|G|，这与，这与G G是奇数阶群矛盾。是奇数阶群矛盾。所以，所以，aGaG，若，若ae,aae,a、a a-1-1总是成对出现总是成对出现 G=e,aG=e,a1 1,a,a1 1-1-1,a,a2 2,a,a2 2-1-1,a,an n,a,an n-1-1，其中，其中a ai i a ai i-1-1 e*a*ae*a*a1 1-1-1*a*an n*a*an n-1-1=e=e本讲稿第二十二页，共五十八页拉格朗日定理练习拉格朗日定理练习例例2.2.任任何何一一个个四四阶阶群群只只可可能能是是循循环环群群或或者者KleinKlein四四元群。（元群。（P211P211）证证 设设四四阶阶群群为为。其其中中e e是是幺幺元元。当当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。当当四四阶阶群群不不含含有有四四阶阶元元素素时时，则则由由推推论论2 2可可知知，除除幺幺元元e e外外，a,b,ca,b,c的的阶阶一一定定都都是是2 2（幺幺元元是是唯唯一一的的一一阶阶元元）。a*ba*b不不可可能能等等于于a,ba,b或或e e，否否则则根根据据消消去去律律，将将导导致致b=e,a=eb=e,a=e或或a=ba=b的的矛矛盾盾。所所以以a*ba*b只只能能等等于于c c。同同样样地地有有b*a=cb*a=c以以及及a*c=c*a=b,b*c=c*b=aa*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此，这个群是因此，这个群是KleinKlein四元群。四元群。本讲稿第二十三页，共五十八页四阶群（只有两个）四阶群（只有两个）KleinKlein四元群：四元群：e e a b c e e a b c e e e e a b c a b c a a a a e e c b c b b b c b b c e e a a c c b a c c b a e e四阶循环群：四阶循环群：e e a b c e e a b c e e a b c e e a b c a a b c e a a b c e b b c e a b b c e a c c e a bc c e a b本讲稿第二十四页，共五十八页练习：练习：P211-(5)P211-(5)1 1、证、证A A非空非空设设的幺元为的幺元为e e，则有，则有 e*H*e e*H*e-1-1=H=H故故 eA.eA.2 2、证、证 a,bA，a*b-1A =H,=H,故故a*b-1A a*b-1A 本讲稿第二十五页，共五十八页练习：练习：P211-(8)P211-(8)a ap pt-1t-1(a(ap pt-1t-1)p p本讲稿第二十六页，共五十八页5-8 5-8 同态与同构同态与同构定定义义5-8.15-8.1 设设A,和和B,是是两两个个代代数数系系统统，f f是从是从A A到到B B的一个映射，的一个映射，a a1 1,a,a2 2 A A，有有 f(af(a1 1aa2 2)=f(a)=f(a1 1)f(af(a2 2)（先算后映（先算后映=先映后算）先映后算）则则称称f f为为由由代代数数结结构构A,到到B,的的同同态态映映射射，称称A,同同态态于于B,，记记为为ABAB。称称f(A),为为的一个的一个同态象。同态象。其中其中 f(A)=x|x=f(a),a f(A)=x|x=f(a),a A A B B本讲稿第二十七页，共五十八页（G G，*)(S*)(S，o o)aba*bf(a)f(b)f(a)of(b)同态象同态象f f通过映射建立了两个代数系统之间的联系。通过映射建立了两个代数系统之间的联系。本讲稿第二十八页，共五十八页同构同构(同态双射同态双射)定定义义5-8.2 5-8.2 当当同同态态映映射射f f分分别别是是入入射射（单单射射）、满满射射、双双射射时时，分分别别称称f f是是单单一一同同态态、满满同同态态、同同构构映映射射。如如果果存存在在一一个个从从到到的的同同构构映映射射,则称则称代数系统代数系统与与同构同构,记作记作ABAB。定定义义5-8.35-8.3 设设是是一一个个代代数数系系统统，如如果果f f是是A,到到 的的同同态态,称称f f为为A A的的自自同同态态。如如果果是是到到的同构的同构,称称f f为为A A的的自同构自同构。本讲稿第二十九页，共五十八页同构举例同构举例例例：设设H=x|x=dn,dH=x|x=dn,d I I+,n,n I I,定定义义映映射射f:f:I-I-HH 为为对对任任意意I I ，有有f(n)=dnf(n)=dn ，那那么么，f f是是,+到到的一个同构，即的一个同构，即 I IH H。例：例：设设f fk k:I I I I,f,fk k(x)=kx(x)=kx，其中，其中I I为整数集合。为整数集合。ffk k(x(x1 1+x+x2 2)=k(x)=k(x1 1+x+x2 2)=k*x)=k*x1 1+k*x+k*x2 2=f=fk k(x(x1 1)+f)+fk k(x(x2 2)f fk k是从是从,+到到,+的的自同态自同态,若若k k 0,0,则则f fk k是是单一同态单一同态,若若k=k=1,1,则则f fk k是是,+到到,+的的自同构自同构。本讲稿第三十页，共五十八页同构举例同构举例证明：设证明：设f:Nf:NN Nk k(k0)(k0)，f(x)=x mod kf(x)=x mod k。证明证明f f是是到到N 的满同态。的满同态。证：证：设设x x1 1=lk+h=lk+h1 1,x,x2 2=mk+h=mk+h2 2 (h (h1 1,h,h2 2k)k)则则f(xf(x1 1+x+x2 2)=(x)=(x1 1+x+x2 2)mod k=(h)mod k=(h1 1+h+h2 2)mod k)mod k =h =h1 1+k kh h2 2=f(xf(x1 1)+)+k kf(xf(x2 2)f(xf(x1 1+x+x2 2)=f(x)=f(x1 1)+)+k kf(xf(x2 2)ff是同态。是同态。又因为又因为f f是满射是满射 f f是是到到N 的满同态。的满同态。本讲稿第三十一页，共五十八页同态象的性质同态象的性质定定理理5-8.2 5-8.2 设设f f是是由由A,到到B,的的一一个个同同态映射。态映射。（a a）如如果果A,是是半半群群，那那么么在在f f作作用用下下，同同态象态象 f(A),也是半群也是半群。（b b）如如果果A,是是独独异异点点，那那么么在在f f作作用用下下，同态象同态象 f(A),也是独异点也是独异点。（c c）如如果果A,是是群群，那那么么在在f f作作用用下下，同同态态象象 f(A),也是群也是群。本讲稿第三十二页，共五十八页定理定理5-8.25-8.2的证明的证明证明思路证明思路:先证（先证（a a）：）：f(A),是半群是半群n 证证 运算在运算在f(A)f(A)上封闭上封闭 设设A,是是半半群群，B,是是一一个个代代数数结结构构，如如果果f f是是由由A,到到B,的的一一个个同同态态。则则f(A)f(A)B B。对于任意的对于任意的a a，b b f(A)f(A)，必有，必有x,yx,y A A ，使得，使得 f(x)=a ,f(y)=b f(x)=a ,f(y)=b。在在A A中必有中必有z=xyz=xy,所以所以 a a b=b=f(x)f(x)f(y)=f(xy)=f(z)f(y)=f(xy)=f(z)f(A)f(A)本讲稿第三十三页，共五十八页n 证证 在在f(A)f(A)上满足结合律上满足结合律 对于任意的对于任意的a,b,ca,b,c f(A)f(A),必有必有x,y,zx,y,z A A,使得使得 f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c 因因 为在为在A A上是可结合的，所以上是可结合的，所以 a a(b b c c)=f(x)f(x)(f(y)f(y)f(z)f(z)=f(x)=f(x)f(yz)f(yz)=f =f(x(yz)x(yz)=f=f(xy)z(xy)z)=f =f(xyxy)f(z)f(z)=(f(x)f(x)f(y)f(y)f(z)f(z)=(a a b b)c c 故故 f(A),是半群。是半群。本讲稿第三十四页，共五十八页再证（再证（b b）：）：f(A),是独异点是独异点 设设A,是是独独异异点点,e e是是A A中中的的幺幺元元,那那么么f(e)f(e)是是f(A)f(A)中中的的幺幺元。因对于任意的元。因对于任意的a a f(A)f(A),必有必有x x A A,使得使得 f(x)=a f(x)=a 所以所以 a a f(e)f(e)=f(x)f(x)f(e)=f(xe)=f(x)=af(e)=f(xe)=f(x)=a =f(ex)=f(e)=f(ex)=f(e)f(x)=f(e)f(x)=f(e)a a 因此因此f(e)f(e)是是 f(A),中的幺元，中的幺元，f(A),是独异点。是独异点。本讲稿第三十五页，共五十八页最后证（最后证（c c）：）：f(A),是群是群 设设是群是群,对于任意的对于任意的a a f(A)f(A),必有必有x x A A,使得使得 f(x)=a f(x)=a 因因为为是是群群,所所以以对对于于任任意意的的x x A A,都都有有逆逆元元x x-1-1 A A，且且f(xf(x-1 1)f(A)f(A),而而 f(x)f(x)f(xf(x-1-1)=f(xx)=f(xx-1-1)=f(e)=f(x)=f(e)=f(x-1-1x)x)=f(x =f(x-1-1)f(x)f(x)所以，所以，f(xf(x-1-1)是是f(x)f(x)的逆元。即的逆元。即 f(x f(x-1-1)=)=（f(x)f(x)）-1-1 因此因此 f(A),中的任意元素都有逆元中的任意元素都有逆元,f(A),是群。是群。综合上述综合上述(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)三步，定理证毕三步，定理证毕本讲稿第三十六页，共五十八页同态核同态核定定义义5-8.45-8.4 如如果果f f为为代代数数结结构构G,到到G 的的一一个个同同态态映映射射，G G中中有有么么元元e e，那那么么称称下下列列集合为集合为f f的的同态核，同态核，记为记为K(f)K(f)。K(f)=x K(f)=x x x Gf(x)Gf(x)e e 本讲稿第三十七页，共五十八页同态核的性质同态核的性质定定理理5-8.35-8.3 设设f f为为群群G,到到群群G 的的同同态映射，态映射，那么那么f f的同态核的同态核K K是是G G的子群。的子群。证证明明思思路路:设设e e是是G,的的幺幺元元，e e=f(e),=f(e),故故e e K K。证证运算运算在在K K上封闭上封闭。设设k1,k2k1,k2 K,K,则则 f(k1k2)=f(k1k2)=f(k1)f(k1)f(k2)=f(k2)=e e e e =e e 故故k1k2k1k2 K K，运算运算在在K K上封闭。上封闭。证证K K中的元素有逆元中的元素有逆元。对任意的对任意的k k K,f(kK,f(k-1-1)=f(k)=f(k)-1-1=e=e-1-1=e=e 故故k k-1-1 K K。结论得证。结论得证。本讲稿第三十八页，共五十八页同态核举例同态核举例例例:f:f:N,x x N,f(x)=x mod 5N,f(x)=x mod 5则则 x,yx,y I,f(x+y)=(x+y)mod 5I,f(x+y)=(x+y)mod 5 =x mod 5+=x mod 5+5 5y mod 5y mod 5 =f(x)+=f(x)+5 5f(y)f(y)f f是从是从到到N5,+的同态的同态ker(f)=x|xker(f)=x|x I I f(x)=0=0,5,-5,10,-10,f(x)=0=0,5,-5,10,-10,本讲稿第三十九页，共五十八页代数结构的划分代数结构的划分同余关系同余关系 显显然然整整数数集集合合I I上上的的模模k k余余数数相相等等关关系系R R是是等等价价关关系系。容容易易证证明明，对对于于 a,b,c,da,b,c,d I I，R R对对整整数数上上的的加运算满足性质：加运算满足性质：若若xy(mod k)xy(mod k)且且zw(mod k),zw(mod k),则则(x+z)(y+w)(mod k),(x+z)(y+w)(mod k),称这种特殊的等价关系为称这种特殊的等价关系为同余关系同余关系。将将上上述述同同余余关关系系推推广广，则则得得到到代代数数结结构构上上一一般般意义的同余关系。意义的同余关系。本讲稿第四十页，共五十八页同余关系与同余类同余关系与同余类定义定义5-8.55-8.5 设设R R为为中中A A上的等价关系，上的等价关系，若若 R,R,R R R R则称则称R R为为A A上关于二元运算上关于二元运算的的同余关系同余关系。由由这这个个等等价价关关系系将将集集合合划划分分成成的的等等价价类类就就称称为为同余类同余类。例：例：1 1、前例、前例上的模上的模k k余数相等关系就是同余关系。余数相等关系就是同余关系。2 2、上的恒等关系上的恒等关系R R是同余关系；是同余关系；本讲稿第四十一页，共五十八页例：例：，在，在I I上定义上定义R:R:R R|x|=|y|,R|x|=|y|,R是是的同余关系吗的同余关系吗?解解:1):1)自反性：自反性：x x I,|x|=|x|I,|x|=|x|R R 2)2)对称性：对称性：x,yx,y I,I,若若 R R 则则|x|=|y|x|=|y|R R 3)3)传递性：传递性：x,y,zx,y,z I I，若，若 R,R,R R 则则|x|=|y|=|z|x|=|y|=|z|R R R R是一等价关系是一等价关系 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2 I I，若，若 R,R,R R，但但 R R不一定成立。不一定成立。例例,R R，但，但 R,R,R R不是同余关系不是同余关系本讲稿第四十二页，共五十八页同余关系与划分同余关系与划分 类类似似于于集集合合论论中中等等价价关关系系及及其其相相应应的的划划分分，同同余余关关系系所所得得到到的的等等价价类类称称为为同同余余类类，同同余余类类的的集集合合是同余关系所诱导的一个划分。是同余关系所诱导的一个划分。例例：课课本本P218P218例例6 6。代代数数系系统统,A A上上的的运运算算见表见表5-8.55-8.5，在，在A A上定义的等价关系上定义的等价关系R R见表见表5-8.65-8.6。（1 1）R R是是A A上关于上关于的同余关系。如何验证？的同余关系。如何验证？R,R,R R R R（2 2）R R将将A A划分为同余类：划分为同余类：a,ba,b、c,dc,d（3 3）R R诱导的一个划分为：诱导的一个划分为：a,b,c,d a,b,c,d 本讲稿第四十三页，共五十八页abcdaaadcbbacdccdabdddbaabcdabcd本讲稿第四十四页，共五十八页练习练习P222(11):P222(11):设设f f和和g g都都是是群群G 到到群群G,*的的同同态态，证明证明G,是是G 的一个子群，其中的一个子群，其中 G=x|x G=x|x G G1 1 且且 f(x)=g(x)f(x)=g(x)本讲稿第四十五页，共五十八页证：证：(1)(1)证证G G是是G G1 1的非空子集的非空子集 设群设群G 的幺元为的幺元为e e，则，则f(e)f(e)是群是群G,*的幺元，同的幺元，同时时g(e)g(e)也是群也是群G,*的幺元，故的幺元，故f(e)=g(e)f(e)=g(e)，故，故e e G G。(2)(2)证任意证任意a,ba,b G,G,有有a ab b-1-1 G G 任意任意a,ba,b G,G,有有a ab b-1-1 G G1 1，f(a f(ab b-1-1)=f(a)*f(b)=f(a)*f(b-1-1)=g(a)*g(b =g(a)*g(b-1-1)=g =g(a(ab b-1-1)故故a ab b-1-1 G G。综上所述，综上所述，G,是是G 的一个子群。的一个子群。本讲稿第四十六页，共五十八页5-9 5-9 环与域环与域定定义义5-9.15-9.1 设设A,是是一一个个代代数数系系统统，如如果满足果满足 （1 1）是阿贝尔群是阿贝尔群 （2 2）A,是半群是半群 （3 3）乘运算）乘运算 对加运算对加运算可分配，即对任意元素可分配，即对任意元素a,b,c a,b,c A A ，a a(bc)=(a bc)=(a b)(a b)(a c)c)(bc)(bc)a=(b a=(b a)(c a)(c a)a)称称代代数数结结构构A,为为环环（ringring）。一一般般将将称称为为加加运运算算，记记为为“+”，将将 称称为为乘乘运运算算，记记为为“”。本讲稿第四十七页，共五十八页例例1.1.1)1)整整数数集集、有有理理数数集集、实实数数集集和和复复数数集集关关于于普通的加法和乘法构成环。普通的加法和乘法构成环。2)2)实系数多项式对于多项式加法实系数多项式对于多项式加法,乘法是个环。乘法是个环。本讲稿第四十八页，共五十八页环的性质环的性质定定 理理 5-9.15-9.1 设设 A,为为 环环，那那 么么 对对 任任 意意a,b,ca,b,c A A，有有 （1 1）a=aa=a =(加加法法幺幺元元必必为为乘乘法法零零元元)（2 2）a a(-b)=(-a)-b)=(-a)b=-(ab=-(a b)b)（3 3）(-a)(-a)(-b)=a-b)=a b b （4 4）a a (b-c)=(a b-c)=(a b)-(a b)-(a c)c)（5 5）(b-c)(b-c)a=(b a=(b a)-(c a)-(c a)a)其其中中 是是加加法法幺幺元元,-a-a表表示示a a的的加加法法逆逆元元,并并将将a+a+(-b)-b)记为记为a-ba-b。本讲稿第四十九页，共五十八页特殊的环特殊的环定定义义5-9.25-9.2 当当环环 中中 运运算算满满足足交交换换律律时时,称称 为为交交换换环环；当当 运运算算有有幺幺元元时时,称称A A为为含幺环。含幺环。两者都含有时，称两者都含有时，称A A为为含幺交换环。含幺交换环。本讲稿第五十页，共五十八页特殊的环（续）特殊的环（续）定定义义5-9.3 5-9.3 设设 是是一一个个代代数数系系统统，如如果果满满足：足：(1)(1)是阿贝尔群是阿贝尔群 (2)(2)A,是是可可交交换换独独异异点点，且且无无零零因因子子，即即对任意的对任意的a,ba,b A,aA,a,b,b,必有必有a a bb。(3)(3)运算运算 对于运算对于运算+是可分配的。是可分配的。则称则称 A,+,为为整环。整环。若若 A,+,既是交换环、含幺环既是交换环、含幺环,也是无零也是无零因子环因子环,则称则称R R是整环。是整环。例：例：1)I,+,1)是整环是整环 2)N 2)不是整环不是整环(有零因子）有零因子）本讲稿第五十一页，共五十八页整环的性质整环的性质定理定理5-9.25-9.2 在整环在整环A,+,中的无零因子条件中的无零因子条件等价于消去律等价于消去律(即对于即对于cc 和和c c a=ca=c b b,必有必有a=ba=b)。本讲稿第五十二页，共五十八页域域定定义义5-9.45-9.4 设设 是是一一个个代代数数结结构构,如如果果满满足：足：1.1.是阿贝尔群。是阿贝尔群。2.2.A-是阿贝尔群。是阿贝尔群。3.3.运算运算 对于运算对于运算 +是可分配的。是可分配的。则称则称 A,+,为为域（域（fieldsfields）。例：例：Q,+,是一个域是一个域,其中其中Q Q为有理数集合；为有理数集合；R,+,是一个域，其中是一个域，其中R R为实数集合；为实数集合；C,+,是一个域，其中是一个域，其中C C为复数集合；为复数集合；I I为为整整数数集集，I,+,不不是是域域。(I,(不不是是群群)本讲稿第五十三页，共五十八页定定义义5-9.55-9.5 设设 和和 B,是是两两个个代代数结构数结构,如果一个从如果一个从A A到到B B的映射的映射f f，满足如下条件：，满足如下条件：对于任意的对于任意的