离散数学图论图的矩阵表示精选文档.ppt

离散数学图论图的矩阵表示本讲稿第一页，共二十二页2022/9/21第七章 图论7.3 图的矩阵表示v图的矩阵表示图的矩阵表示 图的数学抽象是三元组，其形象直观的表图的数学抽象是三元组，其形象直观的表示即图的图形表示。为便于计算，特别为便示即图的图形表示。为便于计算，特别为便于用计算机处理图，下面介绍图的第三种表于用计算机处理图，下面介绍图的第三种表示方法示方法图的矩阵表示。图的矩阵表示。利用矩阵的运算还可以了解到它的一些有关性质。内容：内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。重点：重点：1、有向图，无向图的关联矩阵，2、有向图的邻接矩阵。了解：了解：有向图的可达矩阵。本讲稿第二页，共二十二页7.3.1 图的矩阵表示邻接矩阵邻接矩阵 存储原则存储原则:存储结点集和边集的信息存储结点集和边集的信息.（1 1）存储结点集；）存储结点集；（2 2）存储边集：）存储边集：存储每两个结点是存储每两个结点是否有关系。否有关系。本讲稿第三页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵1.无向图的邻接矩阵无向图的邻接矩阵定义 1.6.2设 的顶点集为 ，用 表示 中顶点 与 之间的边数。称矩阵 为 的邻接矩阵。从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：(1)是一个对称矩阵；(2)若 为无环图。则 中第 行(列)的元素之和等于顶点 的度数；(3)(3)两个图 与 同构的充要条件是存在一个置换矩阵 ，使得(4)。对应的邻接矩阵例2下图所示 的邻接矩阵为：A(G)A(G)A(G)A(G)A(G)A(G)相当于将单位矩阵中相应的行与行，或者列与列互换的矩阵本讲稿第四页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵v同构图v判别定理：图G1，G2同构的充要条件充要条件是：存在置换矩阵P，使得：A1PA2P。v 其中A1，A2分别是G1，G2的邻接矩阵。v如何判断两图同构是图论中一个困难问题v1v2v3v4图G1vavbvcvd图G20 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0A11 2 3 40 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0A2a b c dv1vav2vbv3vcv4vd本讲稿第五页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵v在邻接矩阵A的幂A2，A3，矩阵中，每个元素有特定的含义。v定理:设G是具有n个结点集v1，v2，vn 的图，其邻接矩阵为A，则Al（l1，2，）的（i，j）项元素a(l)ij是从vi到vj的长度等于l的路的总数。证明:归纳法 当l1时，A1A，由A的定义，定理显然成立。若lk时定理成立，则当lk1时，A k+1 A Ak，所以 a aij ij(1)(1)等于等于等于等于GG中联结中联结中联结中联结vivi与与与与vjvj的长度为的长度为的长度为的长度为1 1的路径条数。的路径条数。的路径条数。的路径条数。n a aij ij (l+1)(l+1)=a aikik a akjkj (l)(l)k=1vkvivj长度长度=1长度长度=l共共共共a akj kj(l)(l)条条条条本讲稿第六页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵v结论：(1)如果对l1，2，n-1，Al的（i，j）项元素（ij）都为零，那么vi和vj之间无任何路相连接，即vi和vj不连通。因此，vi和vj必属于G的不同的连通分支。(2)结点vi 到vj（ij）间的距离d（vi，vj）是使Al（l1，2，n-1）的（i，j）项元素不为零的最小整数l。(3)Al的（i，i）项元素a(l)ii表示开始并结束于vi长度为l的回路的数目。本讲稿第七页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵例1 图G（V，E）的图形如图，求邻接矩阵A和A2，A3，A4，并分析其元素的图论意义。解 本讲稿第八页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵 (1)由A中a(1)121知，v1和v2是邻接的；由A3中a(3)122知，v1到v2长度为3的路有两条，从图中可看出是v1 v2 v1 v2和v1 v2 v3 v2。(2)由A2的主对角线上元素知，每个结点都有长度为的回路，其中结点v2有两条：v2 v1 v2和v2 v3 v2，其余结点只有一条。(3)由于A3的主对角线上元素全为零，所以G中没有长度为的回路。(4)由于a（）34a（）34a（）34a（）34，所以结点v3和v4间无路，它们属于不同的连通分支。(5)d（v1，v3）。对其他元素读者自己可以找出它的意义。本讲稿第九页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵设图，如下图所示讨论（1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，又称为布尔矩阵；（2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，进行行和行、列和列的交换，则得到相同矩阵。若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对某一矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。（3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵；（4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0；（5）在图的邻接矩阵中，行中1的个数就是行中相应结点的引出次数 列中1的个数就是列中相应结点的引入次数本讲稿第十页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵v矩阵的计算矩阵的计算：主对角线上的数表示结点i（或j）的引出次数。主对角线上的数表示结点i（或j）的引入次数。本讲稿第十一页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵表示i和j之间具有长度为2的通路数，表示i和j之间具有长度为3的通路数，表示i和j之间具有长度为4的通路数，本讲稿第十二页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵bij表示从结点vi到vj有长度分别为1，2，3，4的不同通路总数。此时，bij0，表示从vi到vj是可达的。本讲稿第十三页，共二十二页7.3.1 邻接矩阵2.有向图的邻接矩阵1、设有向图，的邻接矩阵，其中指邻接到的边的条数(非负整数)。本讲稿第十四页，共二十二页7.3.1 图的矩阵表示有向图的邻接矩有向图的邻接矩阵阵本讲稿第十五页，共二十二页7.3.2 邻接矩阵v例例1 有向图(下图所示)，求。解：解：本讲稿第十六页，共二十二页7.3.2 关联矩阵v关联矩阵多用于简单无向图v无向图的关联矩阵一个图 由它的顶点与边的关联关系唯一确定；定义定义 1.6.1 设 的顶点集和边集分别为 ，。用 表示顶点 与边 关联的次数(0，1或2)，称矩阵 为 的关联矩阵。本讲稿第十七页，共二十二页7.3.2 关联矩阵v例1下图所示 的关联矩阵为：对应的关联矩阵从图的关联矩阵的定义容易得出以下性质：(1)的每一列元素之和均为2；(2)的每一行元素之和等于对应顶点的度数。(3)若某行元素全为0，则对应的顶点为孤立点。(4)重边所对应的列完全相同。=本讲稿第十八页，共二十二页7.3.2 关联矩阵v有向图的关联矩阵1、设有向图有向图，的关联矩阵，其中本讲稿第十九页，共二十二页7.3.2 关联矩阵v例例2 有向图(下图所示)，求。解：解：A(D)A(D)本讲稿第二十页，共二十二页7.3.3 有向图的可达性矩阵v有向图的可达性矩阵。有向图的可达性矩阵。(了解了解)设为有向图，令，可达性矩阵其中元素可由求得：本讲稿第二十一页，共二十二页7.3.3 有向图的可达性矩阵 根据可达性矩阵，可知图中任意两个结点之间是否至少存在一条路以及是否存在回路。v利用有向图的邻接矩阵A，分以下两步可得到可达性矩阵。(1)令BnAA2An,(2)将矩阵n中不为零的元素均改为，为零的元素不变，所得的矩阵P就是可达性矩阵。当n很大时，这种求可达性矩阵的方法就很复杂。本讲稿第二十二页，共二十二页