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经济数学微积分第二节本讲稿第一页，共三十七页一、映射的概念1.1.定义一：定义一：设设X 与与 Y 是两个非空集合，若对是两个非空集合，若对 X中的每一个元素中的每一个元素 x，均可找到，均可找到 Y 中唯一确定的中唯一确定的元素元素 y 与之对应，则称这个对应是集合与之对应，则称这个对应是集合X 到集合到集合 Y 的一个映射，记为的一个映射，记为 f，或者更详细地写，或者更详细地写将将 x 的对应元的对应元 y 记作记作本讲稿第二页，共三十七页并称并称 y 为映射为映射 f 下下 x 的的像像，而，而 x 称为映射称为映射 f 下下 y 的的原像原像(或称为或称为逆像逆像).集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域，记作记作，而，而 X 的所有元素的像的所有元素的像f(x)的集合的集合称为映射称为映射 f 的的值域值域，记为，记为本讲稿第三页，共三十七页例例1 设设 A=商场中的所有商品商场中的所有商品，B=商场中商商场中商品九月份的销量品九月份的销量，则，则是一个映射，是一个映射，本讲稿第四页，共三十七页例例2 设设 A=1，2，3，B=4，5，6，7，则，则是一个映射，是一个映射，本讲稿第五页，共三十七页 有唯一有唯一确定的确定的 y=f(x)与之对应与之对应.概括起来，构成一个映射必须具备下列三个概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基基本要素本要素：需要指出的是：需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的）映射要求元素的像必须是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.(3)对应法则对应法则 f :本讲稿第六页，共三十七页2.2.定义二：定义二：设设 f 是集合是集合X 到集合到集合Y 的一个映射，的一个映射，若若 f 的逆像也是唯一的，即对的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两中的任意两个不同元素个不同元素 x1 x2，它们的像，它们的像 y1 与与 y2 也满也满足足 y1 y2，则称，则称 f 为为单射单射；如果映射如果映射 f 满足满足 Rf=Y，则称，则称 f 为为满射满射；如果映射如果映射 f 既是单射，又既是单射，又是满射，则称是满射，则称 f 为为双射双射（又称一一对应（又称一一对应）.本讲稿第七页，共三十七页二、逆映射与复合映射1.1.逆映射：逆映射：如果映射如果映射 f 既是单射，又是满射，则既是单射，又是满射，则 逆映射，逆映射，本讲稿第八页，共三十七页例例3 设设 A=1，2，3，B=4，5，6，则，则既是单射，又是满射，存在逆映射既是单射，又是满射，存在逆映射本讲稿第九页，共三十七页例例4 设设 A=0，B=1，1，则，则既是单射，又是满射，存在逆映射既是单射，又是满射，存在逆映射本讲稿第十页，共三十七页2.2.复合映射：复合映射：那就可以构造出一个那就可以构造出一个和和新的对应关系新的对应关系复合映射复合映射.本讲稿第十一页，共三十七页例例5因此不能构成复合映射因此不能构成复合映射但若将但若将 g 的定义域缩小，就有可能构成复合映射的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令比如令则可以构成复合映射则可以构成复合映射 本讲稿第十二页，共三十七页因变量因变量自变量自变量三、函数的概念D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df，即，即 Df=D.函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值域，记为：记为：本讲稿第十三页，共三十七页自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2.2.函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是使表达式有意义的自变量能取的定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值一切实数值.本讲稿第十四页，共三十七页定义定义:如果自变量在定义域如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数否则叫做多值函数是多值函数是多值函数本讲稿第十五页，共三十七页 (1)符号函数符号函数3.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo本讲稿第十六页，共三十七页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线显然显然:本讲稿第十七页，共三十七页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数本讲稿第十八页，共三十七页(4)取最值函数取最值函数yxoyxo本讲稿第十九页，共三十七页在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.本讲稿第二十页，共三十七页例例1 1本讲稿第二十一页，共三十七页解解本讲稿第二十二页，共三十七页综上，有综上，有:本讲稿第二十三页，共三十七页例例2 2解解本讲稿第二十四页，共三十七页四、函数的几种特性1函数的奇偶性函数的奇偶性(parity):偶函数偶函数yxox-x本讲稿第二十五页，共三十七页奇函数奇函数yxox-x本讲稿第二十六页，共三十七页2函数的周期性函数的周期性(periodicity):（通常说周期函数的周期是指（通常说周期函数的周期是指最小正周期最小正周期）.本讲稿第二十七页，共三十七页例例3 3解解由条件知：由条件知：故故是周期函数，且是周期函数，且是它的一个周期是它的一个周期.本讲稿第二十八页，共三十七页3函数的单调性函数的单调性(monotonicity):xyo本讲稿第二十九页，共三十七页xyo本讲稿第三十页，共三十七页M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX4函数的有界性函数的有界性(bounded):本讲稿第三十一页，共三十七页五、小结 思考题1.1.映射的有关概念：映射的有关概念：映射、逆映射、复合映射映射、逆映射、复合映射.2.2.函数的有关概念：函数的有关概念：函数、定义域、值域函数、定义域、值域.3.3.函数的几种特性：函数的几种特性：奇偶性、周期性、单调性、有界性奇偶性、周期性、单调性、有界性.本讲稿第三十二页，共三十七页思考题思考题已知已知 是一个奇函数，且满足是一个奇函数，且满足 ,则则 是不是一个周期函数？若是，请说明它的一个是不是一个周期函数？若是，请说明它的一个周期，若不是，请说明理由周期，若不是，请说明理由.本讲稿第三十三页，共三十七页思考题解答思考题解答是是.本讲稿第三十四页，共三十七页练练 习习 题题2.函数函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为的定义域为A，函数，函数 y=的定义域为的定义域为B，则，则AB=_ 1.已知已知A=N，映射，映射x ,则在则在 f 的作用下，的作用下，像像 的原像是的原像是_ 3.下列函数中，既是（下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是）上的增函数，又是以以 为周期的偶函数是（为周期的偶函数是（）A y=|sinx|B y=|cosx|C y=|sin2x|D y=cos2x 本讲稿第三十五页，共三十七页4.函函数数 的的单单调调递递增增区间是区间是 _ _ .5.5.已知函数已知函数 ，则则 是：是：（A）奇函数）奇函数 （B）既是奇函数又是偶函数）既是奇函数又是偶函数（C）偶函数）偶函数 （D）非奇非偶函数）非奇非偶函数 本讲稿第三十六页，共三十七页练习题答案练习题答案1.50 2.-2，-1）3.A 4.5.A本讲稿第三十七页，共三十七页
