图像傅立叶变换幻灯片.ppt
图像傅立叶变换第1页，共51页，编辑于2022年，星期五引言引言n图像变换的意义图像变换的意义n便于对图像进行分析便于对图像进行分析n通过对图像进行傅立叶变换，分析不同目标结通过对图像进行傅立叶变换，分析不同目标结构的频谱成分进行目标特征提取，图像匹配和构的频谱成分进行目标特征提取，图像匹配和图像识别图像识别n便于对图像进行处理便于对图像进行处理在频率域中的一些简单操作可以代替空间域在频率域中的一些简单操作可以代替空间域中的复杂操作，从而简化处理过程，提高运算中的复杂操作，从而简化处理过程，提高运算效率效率第2页，共51页，编辑于2022年，星期五引言引言图像变换的意义图像变换的意义剔除多个波段图像数据之间的相关性，减小存剔除多个波段图像数据之间的相关性，减小存储容量，提高各种大数据量图像传输的效率。储容量，提高各种大数据量图像传输的效率。图像变换是数字图像处理基础理论的重要图像变换是数字图像处理基础理论的重要组成部分，是图像复原、图像增强、图像组成部分，是图像复原、图像增强、图像编码、图像匹配和图像识别的重要数学基编码、图像匹配和图像识别的重要数学基础。础。第3页，共51页，编辑于2022年，星期五引言引言图像变换是图像处理过程中的一个过渡手图像变换是图像处理过程中的一个过渡手段，要求任何形式的图像变换均段，要求任何形式的图像变换均可逆可逆。经典的图像变换方法有：经典的图像变换方法有：n傅立叶变换傅立叶变换n余弦变换余弦变换n沃尔什变换沃尔什变换n哈达玛变换哈达玛变换nK-LK-L变换变换第4页，共51页，编辑于2022年，星期五傅立叶变换及其性质傅立叶变换及其性质 理论基础是理论基础是线性系统、卷积与相关线性系统、卷积与相关。实实质质是是将将图图像像函函数数展展开开成成具具有有不不同同空空间间频频率率的的正正余余弦弦函函数数的的线线性性组组合合，将将空空间间域域的的图图像像数数据据变变换换到到频频率率域域，对对图图像像数据实施不同频率成分的提取。数据实施不同频率成分的提取。建建立立在在所所处处理理的的信信号号是是平平稳稳信信号号的的假假设设基基础础上上。一一个个复复杂杂的的连连续续平平稳稳信信号号总总可可以以分分解解为为许许多多简简单单的的正正、余余弦信号的叠加。弦信号的叠加。第5页，共51页，编辑于2022年，星期五傅立叶变换及其性质傅立叶变换及其性质 将将图图像像灰灰度度值值形形成成的的空空间间域域与与其其频频率率域域联联系系起起来来，起起到到了了一一种种桥桥梁梁的的作作用用。（空空间间域域和和频率域来回切换）频率域来回切换）对对频频谱谱图图像像中中的的各各种种频频率率成成分分进进行行有有针针对对性性的分析和处理，可实现图像的滤波处理。的分析和处理，可实现图像的滤波处理。第6页，共51页，编辑于2022年，星期五傅立叶变换及其性质傅立叶变换及其性质 一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换二维傅立叶变换二维傅立叶变换二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质 第7页，共51页，编辑于2022年，星期五 一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换函数函数f f(x)(x)的一维的一维傅立叶变换傅立叶变换由下式定义：由下式定义：其中其中j j是虚数单位。是虚数单位。傅立叶变换是一个线性积分变换，它将一个有傅立叶变换是一个线性积分变换，它将一个有n n个个实变量的复函数变换为另一个有实变量的复函数变换为另一个有n n个实变量的复数个实变量的复数函数。函数。第8页，共51页，编辑于2022年，星期五 一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换n一维傅立叶一维傅立叶逆变换逆变换定义为：定义为：正、反傅立叶变换的唯一区别是幂的符号正、反傅立叶变换的唯一区别是幂的符号 正变换正变换第9页，共51页，编辑于2022年，星期五一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换傅立叶积分定理指出：傅立叶积分定理指出：也就是说变换是可逆的，即也就是说变换是可逆的，即 第10页，共51页，编辑于2022年，星期五一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换函数函数f(x)f(x)和函数和函数F(u)F(u)被称作一个傅立叶变被称作一个傅立叶变换对，用符号表示：换对，用符号表示：对对于于任任一一个个函函数数f(x)f(x)，其其傅傅立立叶叶变变换换F(u)F(u)是是唯唯一一的，反之亦然。的，反之亦然。第11页，共51页，编辑于2022年，星期五一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换在频谱分析中在频谱分析中F(u)F(u)也可称作也可称作f(x)f(x)的频谱函数。的频谱函数。对函数对函数f(x)f(x)做傅立叶变换实际上就是求它的频谱，即求做傅立叶变换实际上就是求它的频谱，即求各个频率分量及其所占的比重。各个频率分量及其所占的比重。频谱函数是一个复函数，在复平面坐标系中可以表示为：频谱函数是一个复函数，在复平面坐标系中可以表示为：第12页，共51页，编辑于2022年，星期五一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换n在复平面极坐标系中可表示为在复平面极坐标系中可表示为:其中其中：(f(x)f(x)振幅谱或傅立叶谱振幅谱或傅立叶谱)(f(x)f(x)的相位谱的相位谱)第13页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n傅立叶变换建立了原函数傅立叶变换建立了原函数f(x)f(x)与频谱函数与频谱函数F(u)F(u)之间的基之间的基本关系。本关系。n它具备一些基本性质。它具备一些基本性质。n位移性位移性n共轭性共轭性n线性叠加性线性叠加性n对称性对称性n比例性比例性n面积性面积性 n微分性微分性 n积分性积分性 第14页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n位移性位移性若若则则原函数的坐标位移，导致傅立叶变换的相原函数的坐标位移，导致傅立叶变换的相位改变。同样，傅立叶变换的相位发生改变，位改变。同样，傅立叶变换的相位发生改变，可以实现原函数的坐标位移可以实现原函数的坐标位移。第15页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n位移性证明如下位移性证明如下令 则有 以及 第16页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n共轭性共轭性 若若则则共轭性证明如下：共轭性证明如下：第17页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质在频谱面上对称点的值是共轭的。在计算实函在频谱面上对称点的值是共轭的。在计算实函数的频谱函数时，只要计算出频谱函数的一半，数的频谱函数时，只要计算出频谱函数的一半，则可利用对称共轭性，导出另一半则可利用对称共轭性，导出另一半。对于实函数来说，它的频谱函数的共轭函数的对于实函数来说，它的频谱函数的共轭函数的傅立叶变换就是实函数本身。利用这种共轭性，傅立叶变换就是实函数本身。利用这种共轭性，在实际运算中可以调用同一傅立叶变换程序进行在实际运算中可以调用同一傅立叶变换程序进行逆变换运算。逆变换运算。第18页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n线线性叠加性性叠加性 即两个函数的傅立叶变换或逆变换等于它们即两个函数的傅立叶变换或逆变换等于它们各自变换之和。各自变换之和。若则第19页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n对称性对称性 即傅立叶变换的奇偶性与原函数的奇偶性相同。即傅立叶变换的奇偶性与原函数的奇偶性相同。则，且若，且第20页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n比例性（又称定标性）比例性（又称定标性）若原函数伸展若原函数伸展a a倍，则傅立叶变换函数坐标倍，则傅立叶变换函数坐标收缩收缩a a倍，振幅也变换倍，振幅也变换1/|a|1/|a|倍。倍。若有常数若有常数a，且有，且有则则第21页，共51页，编辑于2022年，星期五一维傅立叶变换性质一维傅立叶变换性质n面积性面积性 即一个函数的面积等于它的傅立叶变换的中即一个函数的面积等于它的傅立叶变换的中心点的值。心点的值。若则第22页，共51页，编辑于2022年，星期五一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换n将将连续连续函数函数f(x)f(x)用用N N个互相个互相间间隔隔为为x x的采样方法进行离散化，可形的采样方法进行离散化，可形成一个离散序列：成一个离散序列：并规定：并规定：且取且取x x=0=0，1 1，2 2，N-1N-1，上述序列可表示为：，上述序列可表示为：第23页，共51页，编辑于2022年，星期五 一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换n经经采采样样后离散序列的离散傅立叶后离散序列的离散傅立叶变换对为变换对为：式中式中u u=0,1,2,N-1,=0,1,2,N-1,是与是与x x相对应的相对应的 第24页，共51页，编辑于2022年，星期五二维傅立叶变换二维傅立叶变换n二维傅立叶变换定义为二维傅立叶变换定义为 ：可以简化表示为：第25页，共51页，编辑于2022年，星期五二维傅立叶变换二维傅立叶变换NNNN数字图像二维离散傅立叶变换表示为：数字图像二维离散傅立叶变换表示为：逆变换为：逆变换为：第26页，共51页，编辑于2022年，星期五离散傅立叶变换n函数f(x,y)的傅立叶变换是f(x,y)积分的函数，因此计算每一个傅立叶变换值，原函数f(x,y)的每一个点都需要参予。第27页，共51页，编辑于2022年，星期五二维傅立叶变换二维傅立叶变换F(u,v)F(u,v)表示图像函数表示图像函数f(x,y)f(x,y)的频谱。其中的频谱。其中u,vu,v表示图像平面的表示图像平面的x x方向和方向和y y方向的空间频方向的空间频率。空间频率的值域叫做图像的率。空间频率的值域叫做图像的频率域频率域。图像傅立叶变换对，建立了图像空间位置函图像傅立叶变换对，建立了图像空间位置函数与空间频谱函数之间转换关系。利用这种数与空间频谱函数之间转换关系。利用这种关系，可以对图像进行频谱分析和处理。关系，可以对图像进行频谱分析和处理。第28页，共51页，编辑于2022年，星期五二维傅立叶变换二维傅立叶变换变换平移后，低频集中在中心位置，高频分散变换平移后，低频集中在中心位置，高频分散第29页，共51页，编辑于2022年，星期五离散傅立叶变换的显示经过置换以后，中心部分为低频成分，四周为高频成分经过置换以后，中心部分为低频成分，四周为高频成分第30页，共51页，编辑于2022年，星期五二维傅立叶变换性质二维傅立叶变换性质n二维傅立叶变换除具备一维傅立叶变换的二维傅立叶变换除具备一维傅立叶变换的线性迭加性、对称性、比例性、位移性、线性迭加性、对称性、比例性、位移性、共轭性等性质外，还具备共轭性等性质外，还具备：n可分性可分性 n旋转性旋转性 第31页，共51页，编辑于2022年，星期五二维傅立叶变换性质二维傅立叶变换性质n可分性可分性 若有若有 则有 二维函数的傅立叶变换（或逆变换），可二维函数的傅立叶变换（或逆变换），可以通过相应的两次一维傅立叶变换（或逆以通过相应的两次一维傅立叶变换（或逆变换）来实现。变换）来实现。第32页，共51页，编辑于2022年，星期五快速傅立叶变换快速傅立叶变换n离散傅立叶变换公式为：离散傅立叶变换公式为：具有可分性具有可分性和周期性和周期性第33页，共51页，编辑于2022年，星期五快速傅立叶变换快速傅立叶变换n将上式用矩阵表示为：将上式用矩阵表示为：每一频率分量，需N次复数乘和（N-1）次加运算。N点需N2次复数乘和N(N-1）次复数法。1965年，库利-图基提出了快速DFT(FFT)算法。第34页，共51页，编辑于2022年，星期五FFT 基本思想基本思想 充分利用复指数正交函数系的可分性和周充分利用复指数正交函数系的可分性和周期性，把原始的期性，把原始的N N点序列，依次分解成一系点序列，依次分解成一系列短序列，然后求出这些短序列的列短序列，然后求出这些短序列的DFTDFT，以，以此来减少乘法运算。此来减少乘法运算。第35页，共51页，编辑于2022年，星期五二维傅立叶变换算法二维傅立叶变换算法 利用可分性，二维利用可分性，二维DFT变换可以先让变换可以先让x保持保持不变，对不变，对y实行实行N点点FFT变换，得到变换，得到F(x,v)；然后对；然后对F(x,v)转置，进行转置，进行M点的点的FFT变换，变换，再转置，从而得到再转置，从而得到F(u,v)。二维二维DFT可以调用一维可以调用一维FFT子程序完成子程序完成。第36页，共51页，编辑于2022年，星期五交叉图形及其FFTFFT幅值谱图像 圆形及其FFTFFT幅值谱图像矩形旋转图像及其FFTFFT变换幅值谱图像矩形及其FFTFFT幅值谱图像不同图形及其不同图形及其FFTFFT变换幅值谱图像对比变换幅值谱图像对比第37页，共51页，编辑于2022年，星期五正交变换正交变换为什么要对图像进行正交变换？为什么要对图像进行正交变换？n图像中所包含的数据，相关性很强，直接处理图像中所包含的数据，相关性很强，直接处理难度和冗余度都很大。必须通过采取必要的手难度和冗余度都很大。必须通过采取必要的手段来消除相关性，使各像元的数据间或各个波段来消除相关性，使各像元的数据间或各个波段的数据间相对独立。段的数据间相对独立。n正交正交变换变换运算比运算比较简单较简单，数学描述容易，可，数学描述容易，可进进行正行正变换变换和逆和逆变换变换。第38页，共51页，编辑于2022年，星期五正交变换正交变换傅立叶变换的实质傅立叶变换的实质-把代表图像的图像函把代表图像的图像函数展开成具有不同空间频率的正、余弦函数展开成具有不同空间频率的正、余弦函数的线性组合，或者说用正、余弦正交函数的线性组合，或者说用正、余弦正交函数系来描述图像函数。数系来描述图像函数。除傅立叶变换是正交变换外，还有很多种除傅立叶变换是正交变换外，还有很多种正交变换方法，如正交变换方法，如WalshWalsh变换、变换、HadamardHadamard变变换和换和K-LK-L变换等正交变换。变换等正交变换。第39页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n图像变换的基函数形式除正弦型函数外，还图像变换的基函数形式除正弦型函数外，还有一些其他波形。沃尔什和哈达玛变换，其有一些其他波形。沃尔什和哈达玛变换，其基函数就是基于方波的。基函数就是基于方波的。n沃尔什和哈达玛变换的实质都是基于沃尔什沃尔什和哈达玛变换的实质都是基于沃尔什函数的，只是同一种方波的变形。函数的，只是同一种方波的变形。n将它们结合起来称为沃尔什哈达玛变换。将它们结合起来称为沃尔什哈达玛变换。第40页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换 n若用矩阵形式，可表示为：若用矩阵形式，可表示为：正变换正变换 逆变换逆变换 沃尔什哈达玛正反变换的公式形式是相同的，沃尔什哈达玛正反变换的公式形式是相同的，采用一个程序就可以完成。采用一个程序就可以完成。当输入图像矩阵时，就得到正变换结果，而当输入图像矩阵时，就得到正变换结果，而当输入变换结果时就得到反变换结果。当输入变换结果时就得到反变换结果。第41页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n对称的、可分离的正交变换，它的核矩阵中对称的、可分离的正交变换，它的核矩阵中只有只有1 1和和1 1元素。在图像处理中，矩阵的元素。在图像处理中，矩阵的阶数阶数N N一般取为一般取为N=2N=2n n，其中，其中n n是整数。是整数。n2222核矩核矩阵为阵为：第42页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n对对于于N2N2的情况，其核矩的情况，其核矩阵阵可以通可以通过块过块矩矩阵阵的形式的形式递递推推产产生：生：第43页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 对对于于N N8 8，其核矩，其核矩阵为阵为：第44页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n通过重新安排各行的次序来使得列率按行号递增，通过重新安排各行的次序来使得列率按行号递增，与傅立叶变换核的频率递增类似。与傅立叶变换核的频率递增类似。n当当N N8 8时，有序的变换核矩阵为：时，有序的变换核矩阵为：第45页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 n对对于均匀分布于均匀分布 的数字的数字图图像像 由于图像是由于图像是4444矩阵，则矩阵，则n n2 2，N N4 4，变换核矩，变换核矩阵为：阵为：第46页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 二二维维沃沃尔尔什哈达什哈达玛变换为玛变换为：具有能量集中的性质，原始图像数据越是均匀分布，具有能量集中的性质，原始图像数据越是均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上。应用二维沃尔变换后的数据越集中于矩阵的边角上。应用二维沃尔什哈达玛变换可以压缩图像信息。什哈达玛变换可以压缩图像信息。第47页，共51页，编辑于2022年，星期五沃尔什和哈达玛变换沃尔什和哈达玛变换 将一个函数将一个函数变换变换成取成取值为值为+1+1或或-1-1的基本函数的基本函数构成的构成的级级数，用它来逼近数字脉冲信号数，用它来逼近数字脉冲信号时时要要比傅立叶比傅立叶变换变换有利。有利。在在图图像像传输传输、通信技、通信技术术和数据和数据压缩压缩中中获获得了得了广泛的使用。广泛的使用。此此变换变换是是实实数数变换变换，对对一个一个给给定的定的问题问题，这这种种变换变换所要求的所要求的计计算机存算机存储储量比傅立叶量比傅立叶变换变换要少，运算速度也快。要少，运算速度也快。第48页，共51页，编辑于2022年，星期五离散离散K-LK-L变换变换 离散离散K-LK-L变换变换-霍特林霍特林变换变换（HotellingHotelling）、特征向量特征向量变换变换或或主成分主成分变换变换。K-LK-L变换变换以以图图像像统计统计性性质为质为基基础础。主要特征：主要特征：通通过选择过选择代表代表图图像特征的主分量，像特征的主分量，能消除能消除图图像数据像数据间间的相关性的相关性。主要主要应应用：用：遥感多光遥感多光谱图谱图像中的特征像中的特征选择选择及及图图像数据的像数据的压缩压缩等等。第49页，共51页，编辑于2022年，星期五离散离散K-LK-L变换变换 n主要特点：主要特点：n正交正交变换变换 n在在压缩压缩数据中数据中满满足均方差最小准足均方差最小准则则的的正交正交变换变换 第50页，共51页，编辑于2022年，星期五第一主分量第十二主分量第二主分量第三主分量第四主分量第九主分量第十主分量第十一主分量第五主分量第六主分量第七主分量第八主分量主分量变换的信息融合结果第51页，共51页，编辑于2022年，星期五
