第1节解析的概念与方程精选文档.ppt

第1节解析的概念与方程本讲稿第一页，共三十三页 Department of Mathematics第一节、解析函数的概念与第一节、解析函数的概念与 柯西柯西黎曼方程黎曼方程本讲稿第二页，共三十三页一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1.定义定义2.1本讲稿第三页，共三十三页在定义中应注意在定义中应注意:本讲稿第四页，共三十三页2.微分微分注注1:可导与可微等价。可导与可微等价。注注2:可导必连接可导必连接,但连续不一定可导。但连续不一定可导。本讲稿第五页，共三十三页例例1 解解本讲稿第六页，共三十三页本讲稿第七页，共三十三页二.解析函数的概念及其简单性质1.定义定义2.2注注1注注2区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.本讲稿第八页，共三十三页2.奇点的定义奇点的定义 但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该点处解析不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.定义定义2.3本讲稿第九页，共三十三页3.求导法则求导法则本讲稿第十页，共三十三页反函数求导法则反函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则本讲稿第十一页，共三十三页二、Cauchy-Riemann方程1.可微的必要条件可微的必要条件本讲稿第十二页，共三十三页证明证明则则存在存在存在存在存在存在本讲稿第十三页，共三十三页注注:定理条件是必要而非充分的定理条件是必要而非充分的证证例例2 本讲稿第十四页，共三十三页本讲稿第十五页，共三十三页2.可微的充要条件可微的充要条件本讲稿第十六页，共三十三页证证(1)必要性必要性.本讲稿第十七页，共三十三页本讲稿第十八页，共三十三页(2)充分性充分性.本讲稿第十九页，共三十三页证毕证毕本讲稿第二十页，共三十三页3.可微的充分条件可微的充分条件4.解析的充要条件解析的充要条件本讲稿第二十一页，共三十三页5.解析的充分条件解析的充分条件注注:柯西柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件主要条件本讲稿第二十二页，共三十三页例例3 解解本讲稿第二十三页，共三十三页例例4 解解本讲稿第二十四页，共三十三页四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数例例5 证明证明本讲稿第二十五页，共三十三页例例6 解解以上四个偏导数均连续以上四个偏导数均连续,即即本讲稿第二十六页，共三十三页例例7证证本讲稿第二十七页，共三十三页参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明:本讲稿第二十八页，共三十三页例例8 8证证根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,本讲稿第二十九页，共三十三页根据柯西黎曼方程得根据柯西黎曼方程得本讲稿第三十页，共三十三页作业P90习题(一)5(2);6(2);7;8(1),(2)本讲稿第三十一页，共三十三页本节结束谢谢！本讲稿第三十二页，共三十三页思考题思考题（1）复函数的解析性与可微性有何异同？（2）判断函数解性有那些方法？本讲稿第三十三页，共三十三页