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量子理论拾贝本讲稿第一页，共五十五页（4）不确定关系 位置和动量 能量和时间 角动量和角位移 （6）斯特藩-波尔茨曼定律 球体：（为散射角）（5）康普顿效应：光子撞上自由电子后发生散，且散射光子的波长增大的现象。本讲稿第二页，共五十五页 1。入射光以入射角i射到一不透明的物质表面（如图），入射光的能流密度为I，设该物质表面对入射光的能量反射率为R，求单位表面积受到的光压和切向力。，XKKYi本讲稿第三页，共五十五页解：当入射光以入射角i射到一不透明物的表面时，一部分光子被反射，而另一部分光子被表面吸收，根据能流密度定义可以求得在单位时间内射到物体单位表面上的光子数 当光子被反射时，光子的动量发生变化，这是因光子受到表面的冲力所致，因此物体的表面也要受到光子给与的作用力。参考右图。根据动量原理可以求得在单位时间内，物体单位表面积上受到冲力KKXYi其中有NR个光子被反射，有N（1-R）个光子被表面吸收。本讲稿第四页，共五十五页，式中 ，分别表示入射光子和反射光子动量方向的单位矢量。F在表面法线方向的分量（即Y方向分量）就是单位表面积受到的光压，即 本讲稿第五页，共五十五页而F在表面且线方向的分量（即X方向分量）就是单位面积受到切向力，即 本讲稿第六页，共五十五页 2。求证：自由电子不可能吸收光子而产生光电效应。本讲稿第七页，共五十五页证明：不论自由电子处于静止状态还是运动状态，都不能吸收光子，因为这一过程不能同时满足能量守恒和动量守恒定律。证明如下：(1)静止的自由电子与光子碰撞，设碰后电子的速度为v，根据能量守恒定律，有由此解得电子的速度 根据动量守恒定律本讲稿第八页，共五十五页由此解得电子的速度式的结果与式不相等，说明静止的自由电子不能吸收光子。(2)运动的自由电子与光子碰撞，为简单起见，假设电子在碰撞前的运动方向与光子运动方向垂直，速度为v1，质量碰撞后电子吸收光子沿方向运动，速度为v2，质量本讲稿第九页，共五十五页按能量守恒定律，有由此解得电子的速度根据动量守恒定律，有，解上述两方程得本讲稿第十页，共五十五页即显然式结果与式不相等。这说明上述过程不能发生，光子只有与束缚在固体中（或原子中）、具有一定的束缚能得电子相碰撞时，才能被吸收而产生光电效应。根据能量守恒定律即当时，得其中A为逸出功，这就是爱因斯坦方程。本讲稿第十一页，共五十五页 3。试求：动能等于电子静止能量的电子及质子的德布罗意波长。电子：1.410-3nm；质子：4.00610-5nm。本讲稿第十二页，共五十五页解(1)电子得，故(2)质子，本讲稿第十三页，共五十五页，得 本讲稿第十四页，共五十五页 4。（1）一根长为l0横截面积为s的匀质圆柱体，在地面上静止时测得其密度为0。当圆柱体沿轴线方向以速度v=0.9c相对于地面做匀速运动时，相对地面上的观测者再计算其密度等于多少。(c为光速)（2）有一个电子，已知它的德布罗意波(物质波)是波长为、向x的正方向传播的平面波。它的动量px等于多少?它的坐标x如何?本讲稿第十五页，共五十五页解：（1）对于地面上的观察者，圆柱体沿运动方向上的长度为圆柱体的质量为 圆柱体的密度为 式中V为圆柱体的体积，垂直于运动方向上的横截面积S在运动过程中不变，因此 所以本讲稿第十六页，共五十五页（2）根据德布罗意关系现在px=0，根据不确定关系xpxh，即电子的坐标x取各种值都有可能，坐标x值不确定。本讲稿第十七页，共五十五页 5。人们曾经认为原子核是由质子和中子组成的，若电子存在于原子核中，试用不确定关系估算核中电子的动能。124MeV本讲稿第十八页，共五十五页因为只估计数量级，取动量近似等于它的不确定量，即解：按不确定关系 取下限来估算，若电子存在于原子核中，它的位置不确定量就是核的直径，即，电子动量的不确定量由于电子速度很高，用相对论处理，能量与动量关系即本讲稿第十九页，共五十五页式中；解得实验测得原子核衰变中放出电子的能量仅有1MeV左右，可见电子不可能是原子核的组成成分。本讲稿第二十页，共五十五页 6 某原子因受到激发跃迁到激发态能级，若在激发态能级停留10-8s时间，试根据不确定关系估算该激发态能级的宽度。设电子从上述激发态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV，试确定辐射光子的波长的最小不确定量。本讲稿第二十一页，共五十五页解：按不确定关系式该激发态能级的宽度辐射光子的波长故波长的最小不确定量本讲稿第二十二页，共五十五页 7。在康普顿效应中，求：（1）反冲电子获得的最大动能Ekmax与入射光子能量h的关系式；（2）入射光子的能量在什么范围内，康普顿效应才能显著？（2）反冲电子的动能占入射光子能量的83%以上。本讲稿第二十三页，共五十五页解：(1)根据康普顿散射公式当散射角，即光子和电子作对心碰撞时，光子被弹回。在这种情况下，被散射的光子波长最长，能量最小，此时反冲电子获得的动能最大当 时反冲电子的动能最大值与入射光子能量h0存在如下关系本讲稿第二十四页，共五十五页(2)所谓康普顿效应显著，指的是散射光子的波长有显著增大，即在光子和电子作用过程中光子传递给电子的能量越多，康普顿效应就越明显。从式得电子的静止能量从式可以看出，只有当入射光子的能量可与电子的静止能量相比拟时，才能明显地观察到康普顿效应。例如对于可见光，光子的能量，因此，几乎观察不到康普顿效应。本讲稿第二十五页，共五十五页对于的X射线，光子的能量 即反冲电子获得的最大动能占入射光子能量的83%，入射光子丢失了绝大部分能量，散射光子波长有显著增大，能明显观察到康普顿效应。本讲稿第二十六页，共五十五页 8。试估算太阳质量由于热辐射而耗失1%所经历的时间。（太阳半径R=7.0108m,质量M=2.01030kg，太阳光波长m=480nm）1011年本讲稿第二十七页，共五十五页解：将太阳视为黑体，由维恩位移定律得太阳的温度根据斯蒂藩-波尔兹曼定律，可求得太阳热辐射功率为（其中）根据质能关系太阳由于热辐射在单位时间损失的质量可知太阳的质量由于热辐射而损失1%时，所经历的时间 本讲稿第二十八页，共五十五页 9。有一个小灯泡功率为1W，辐射的光波的波长为10-8m，试求：（1）对应于该波长的一个光子的能量、质量、动量；（2）在离灯泡10km处，单位时间落在垂直于光线的1m2面积上的光子数。（1）1.9910-17J，2.2kg，6.6310-26kg.m/s；（2）4.0103m2/s本讲稿第二十九页，共五十五页解：(1)(2)单位时间落在垂直于光线的1cm2面积上的光能量光子数 本讲稿第三十页，共五十五页 10。若光子的波长和电子的德布罗意波长都为=0.2nm，求：（1）光子和电子的动量之比；（2）光子和电子的能量之比。（1）1；（2）164.8本讲稿第三十一页，共五十五页解：(1)波长为的电子和光子，其动量均为因此二者的动量之比为1。(2)光子的能量电子的能量二者能量之比 本讲稿第三十二页，共五十五页 11。动能为1000eV的质子射向原来静止的氦原子时发生弹性碰撞，散射角为900。求：散射的质子在远离氦原子核时的德布罗意波的波长。10-3nm。1.57本讲稿第三十三页，共五十五页解：由能量守恒定律得式中M为氦原子核的质量。由动量守恒定律得0=mv+MVy解式、可得德布罗意波长取M=2m，则有本讲稿第三十四页，共五十五页 12。在室温下将一个氢原子放置在一个立方体盒中，此盒如此之小以至于它的能量至少有10%的确定性，此盒必须有多大？a=5.010-8m本讲稿第三十五页，共五十五页解：设此立方体盒的边长为a，氢原子的位置不确定两为根据不确定原理，动量的不确定量因，氢原子的能量不确定量 设，得本讲稿第三十六页，共五十五页按题意故本讲稿第三十七页，共五十五页 13。一束波长为0.20nm的光入射到一个散射物体上，由于康普顿效应，散射光频率改变了0.04%，试求：（1）散射光所对应的散射角；（2）散射光子的能量。（1）14.750；（2）9.94110-16J本讲稿第三十八页，共五十五页解：由题意知因光子的频率和波长的关系为故由此得出即由康普顿散射公式 得。本讲稿第三十九页，共五十五页散射角(2)散射光子的能量本讲稿第四十页，共五十五页 14。在康普顿散射中，入射光子的波长为0.0024nm，测得反冲电子的速率为0.7c，求：（1）反冲电子的动能；（2）散射光子的波长；（3）散射角；（4）反冲电子的运动方向。（1）0.205MeV；（2）3.9710-3nm；（3）69012；（4）和光子原运动方向成35036。本讲稿第四十一页，共五十五页解：(1)反冲电子的动能(2)散射光子的波长本讲稿第四十二页，共五十五页(3)由，得 于是，得，(4)参见右图，散射以前光子的动量，自由电子的动量散射以后光子的动量电子的动量本讲稿第四十三页，共五十五页系统在Y方向动量守恒得。本讲稿第四十四页，共五十五页 15。一位物理学家用一个尽可能大的物体来论证不确定原理，他认为能以类似于可见光波的精度来测量位置，并希望用至少1m/s的速率能测量到百万分之一的精度，若此是令人信服的，试估计试验物体的质量为多大？1.210-21kg本讲稿第四十五页，共五十五页解：位置不确定量为（黄绿光波长），而动量不确定量 根据不确定关系得本讲稿第四十六页，共五十五页 16。试用波尔理论计算处于基态的氢原子中电子的（1）轨道半径，（2）角动量，（3）总能量、动能、势能。（1）5.3110-11m，（2）1.05610-34kg.m2/s，（3）-13.6eV、13.6eV、-27.2eV本讲稿第四十七页，共五十五页解：(1)轨道半径当n=1时(2)轨道角动量当n=1时本讲稿第四十八页，共五十五页(3)动能 势能总能量本讲稿第四十九页，共五十五页 17。如图所示，波长为0的A光子与一个运动的自由电子相碰，碰后电子静止，A光子消失，产生一个波长为1 的B光子，B光子的运动方向与A光子的运动方向成=600角。B光子又与一个静止的自由电子相碰，碰后B光子消失，同时产生一个波长2=1.2510-10m的C光子。C光子的运动方向和B光子的运动方向成=600角。试求第一个运动电子碰撞前的德布罗意波长。1.2410-10mBAeeAB本讲稿第五十页，共五十五页解：只要求出运动电子碰撞前的动量pe，根据德布罗意关系时，即可求得德布罗意波长e。发生两次碰撞均遵守能量守恒和动量守恒。即 式中Ee为碰撞前电子总能量，pe为碰前电子动量。电子的动量与能量关系 将式、改写为本讲稿第五十一页，共五十五页、二式得将式代入式得解、二式得第二次碰撞相当于第一次碰撞的逆过程，式和式同样适用，只需用2代替0即可，得本讲稿第五十二页，共五十五页比较、式，由于=，因此 代入式，得 代入式，得即 代入0、1的值，得 本讲稿第五十三页，共五十五页 18。白帜灯工作时的温度为2400K，灯丝可以看作黑体，如果灯的功率为100W，则灯丝的表面积多大？5.310-5m2本讲稿第五十四页，共五十五页解：根据斯蒂藩-波尔兹曼定律式中灯的功率联立式和，得灯丝的表面积本讲稿第五十五页，共五十五页