高等数学多元函数的极值及其求法精选文档.ppt
高等数学多元函数的极值及其求法1本讲稿第一页，共四十页一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;在点在点(0,0)无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.的某邻域内有的某邻域内有2本讲稿第二页，共四十页定理定理1(必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值取得极值,取得极值取得极值取得极值取得极值且在该点取得极值且在该点取得极值,则有则有存在存在故故3本讲稿第三页，共四十页4本讲稿第四页，共四十页 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：5本讲稿第五页，共四十页时时,具有极值具有极值定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数6本讲稿第六页，共四十页7本讲稿第七页，共四十页例例1.1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数8本讲稿第八页，共四十页在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;9本讲稿第九页，共四十页解解10本讲稿第十页，共四十页11本讲稿第十一页，共四十页12本讲稿第十二页，共四十页二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,为极小为极小 值值为最小为最小 值值(大大)(大大)依据依据13本讲稿第十三页，共四十页解解如图如图,14本讲稿第十四页，共四十页15本讲稿第十五页，共四十页16本讲稿第十六页，共四十页解解由由17本讲稿第十七页，共四十页18本讲稿第十八页，共四十页 对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。的存在性。例例5 5某公司在生产中使用甲、两种原料某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种已知甲和乙两种原料分别使用原料分别使用x x单位和单位和y y单位可生产单位可生产Q Q单位的产品，且单位的产品，且已知甲原料单价为已知甲原料单价为2020元元/单位，乙原料单价为单位，乙原料单价为3030元元/单位，单位，产品每单位售价为产品每单位售价为100100元，产品固定成本为元，产品固定成本为10001000元，求该元，求该公司的最大利润。公司的最大利润。解解 利润函数利润函数为为19本讲稿第十九页，共四十页（利润函数）（利润函数）解方程组解方程组求得唯一驻点（求得唯一驻点（5 5，8 8）所以所以 在（在（5 5，8 8）取得极大值）取得极大值20本讲稿第二十页，共四十页无条件极值：无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.21本讲稿第二十一页，共四十页三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如,转转化化22本讲稿第二十二页，共四十页方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设 记例如例如,故故 故有23本讲稿第二十三页，共四十页引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)函数函数.利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.24本讲稿第二十四页，共四十页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形约束条件的情形.设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件25本讲稿第二十五页，共四十页例例6 6抛物面抛物面 被平面被平面x+y+z=1x+y+z=1截成一个椭圆，求这个截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长与最短距离椭圆到坐标原点的最长与最短距离。解解 该问题即求函数该问题即求函数在条件在条件 及及x+y+z=1x+y+z=1下的最大值与最小值。下的最大值与最小值。求偏导得到可能的极值点：求偏导得到可能的极值点：26本讲稿第二十六页，共四十页由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值，其最大值与最小值为其最大值与最小值为27本讲稿第二十七页，共四十页解解则则28本讲稿第二十八页，共四十页例例8 8 某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收广告，根据统计资料分析可知，销售收入入R R（万元）与电台广告费（万元）与电台广告费x x（万元）、报纸广告费（万元）、报纸广告费y y（万元）有如下经验公式：（万元）有如下经验公式：R=15+14x+32y-8xy-2xR=15+14x+32y-8xy-2x2 2-10y-10y2 2（1 1）在广告费用不限的情况下，求使销售净收入在广告费用不限的情况下，求使销售净收入最大的广告策略；最大的广告策略；（2 2）若提供的广告费用为）若提供的广告费用为1.51.5万元万元,求相应的最优求相应的最优广告策略广告策略.29本讲稿第二十九页，共四十页解解(1)(1)销售净收入为销售净收入为L=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2xL=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2 2-10y-10y2 2由极值必要条件由极值必要条件L Lx x=13-8y-4x=0 ,L=13-8y-4x=0 ,Ly y=31-8x-20y=0=31-8x-20y=0 得驻点得驻点(x(x0 0,y,y0 0)=(0.75,1.25)=(0.75,1.25)由于由于 L Lxxxx=-40,L=-40,Lxyxy=-8,L=-8,Lyyyy=-20 =-20 得得B B2 2-AC=-160-AC=-160(x(x0 0,y,y0 0)=(0.75,1.25)=(0.75,1.25)为极大值点为极大值点,亦最大值点亦最大值点于是于是,电台广告费为电台广告费为0.750.75万元万元,报纸广告费为报纸广告费为1.251.25万元时万元时,销售净收入最大销售净收入最大,最大值为最大值为39.2539.25万元万元.30本讲稿第三十页，共四十页31本讲稿第三十一页，共四十页例例11 11 设产品的产量是劳动力设产品的产量是劳动力x x和原料和原料y y的函数的函数为为假定每单位劳动力花费假定每单位劳动力花费100100元，每单位原料原料花费元，每单位原料原料花费200200元，现元，现有资金有资金3000030000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大到最大.解解:该问题是在劳动力该问题是在劳动力x x与原料与原料y y满足条件满足条件100 x+200y=30000100 x+200y=30000的条件下，求目标函数的条件下，求目标函数 的最大值。的最大值。构造函数构造函数:38本讲稿第三十八页，共四十页求可能的极值点求可能的极值点得到唯一的驻点得到唯一的驻点x=225x=225，y=37.5y=37.5，=-4.44=-4.44，仅，仅有一个可能的极值点，由有一个可能的极值点，由问题本身可知最大值一定问题本身可知最大值一定存在，所以存在，所以x=225x=225，y=37.5y=37.5就是就是最优解最优解。39本讲稿第三十九页，共四十页 P61 3,4,8,9,10 作业40本讲稿第四十页，共四十页
