2011年中考冲刺班数学证明题整编及答案解析.doc

,2011年中考冲刺班数学证明题集锦1.如图，两相交圆的公共弦AB为，在O1中为内接正三角形的一边，在O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。2.已知扇形的圆心角为1500，弧长为，求扇形的面积。3.如图，已知PA、PB切O于A、B两点，PO4cm，APB600，求阴影部分的周长。4.如图，已知直角扇形AOB，半径OA2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MPAO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分面积。5.如图，O内切于ABC，切点分别为D、E、F，若C900，AD4，BD6，求图中阴影部分的面积。 6.如图，在RtABC中，C900，O点在AB上，半圆O切AC于D，切BC于E，AO15cm，BO20cm，求的长。7.如图，有一个直径是1米圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为900的扇形ABC，求：（1）被剪掉（阴影）部分的面积；（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？8.如图，O与外切于M，AB、CD是它们的外公切线，A、B、C、D为切点，OA于E，且AOC1200。（1）求证：的周长等于的弧长；（2）若的半径为1cm，求图中阴影部分的面积。9.如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD=90,且AB=1，BC=2，tanADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDC=FBC，DE=BF，试判断ECF的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，BEC=135时，求sinBFE的值. 10.已知：如图，在ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G（1）求证：ADECBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论11.如图131，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图132，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；图131A( G )B( E )COD( F )图132EABDGFOMNC（2）若三角尺GEF旋转到如图133所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图133ABDGEFOMNC12.如图，已知O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD5。（1）若，求CD的长；（2）若 ADO：EDO4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。13.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是O的切线；（3）若FB=FE=2，求O的半径 14.如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），A的半径为2过A作直线平行于轴，点P在直线上运动（）当点P在O上时，请你直接写出它的坐标；（）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与A的位置关系，并说明理由.CABDOE15.如图，延长O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：ACB=OAC.16.如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角为求AO与BO的长；若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；如图，当A点下滑到A点，B点向右滑行到B点时，梯子AB的中点P也随之运动到P点若POP ，试求AA的长解析中,O=,=,OAB=，又4米， 17如图O的直径DF与弦AB交于点E，C为O外一点，CBAB，G是直线CD上一点，ADG=ABD，求证：ADCE=DEDF 说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来（要求至少写3步）（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明 CDB=CEB；ADEC；DEC=ADF，且CDE=90 18已知，如图，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EM>MC，连结DE，DE= （1）求EM的长；（2）求sinEOB的值 19如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线上一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB （1）求证：DE是O切线；（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长 20如图：O1与O2外切于点P，O1O2的延长线交O2于点A，AB切O1于点B，交O2于点C，BE是O1的直径，过点B作BFO1P，垂足为F，延长BF交PE于点G （1）求证：PB2=PGPE；（2）若PF=，tanA=，求：O1O2的长 21如图，P是O外一点，割线PA、PB分别与O相交于A、C、B、D四点，PT切O于点T，点E、F分别在PB、PA上，且PE=PT，PFE=ABP （1）求证：PDPF=PCPE；（2）若PD=4，PC=5，AF=，求PT的长 22如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5（1）求tanDCE的值；（2）求AB的长 23如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交A于F，CM=2，AB=4 （1）求A的半径；（2）求CE的长和AFC的面积24如图，正方形ABCD是O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连结ED （1）求证：直线ED是O的切线； （2）连结EO交AD于点F，求证：EF=2FO25. 如图8PA和PB分别与O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D连结OP，CB（1）求证：OPCB；（2）若PA12，DB：DC2：1，求O的半径26. 如图9在RtABC中，ABAC，BAC90，O为BC的中点。（1）写出点O到ABC的三个顶点 A、B、C（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并证明你的结论。27.如图9，已知ABC内接于O，直线DE与O相切于点ABDCA求证：ABDABCBD28.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4 cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合) (1)在DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由 请你分别完成上述三个问题的解答过程29.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO30.已知：如图 13，在ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得GFC.求证：BE=DG；若B=60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.ADGCBFE图 1331. 如图 14，以BC为直径的O交CFB的边CF于点A，BM平分ABC交AC于点M，ADBC于点D，AD交BM于点N，MEBC于点E，AB 2AFAC，cosABD，AD12求证：ANMENM；试探究：直线FB与O相切吗？请说明理由.证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S.ACBMDEONF图 1432.如图，已知正方形OABC在直角坐标系xoy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点O为坐标原点，等腰直角三角板OEF的直角顶点O在坐标原点，E、F分别在OA、OC上，且OA4，OE2，将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1，的位置，连接AE1、CF1（1）求证：AOE1OCF1；（2）将三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OECF，若存在，请求出此时E点的坐标，若不存在，请说明理由答案2011年中考冲刺班数学证明题集锦答案1. 解：设正三角形外接圆O1的半径为，正六边形外接圆O2的半径为，由题意得：，；O1的面积O2的面积13。2. 解：设扇形的半径为，则，1500， ， 。3. 解：连结OA、OBPA、PB是O的切线，A、B为切点PAPB，PAOPBORtAPOAPB300在RtPAO中，APOAPO2，PBAPO300，PAOPBORtAOB300，阴影部分的周长PAPBcm答：阴影部分的周长为cm。4. 解：连结OPAOOB，MPOA，MPOB又OMBM1，OPOA21600，2300PM而，设PM交半圆M于Q，则直角扇形BMQ的面积为 5.；6.；7.（1）平方米，（2）米；8.（1）证明：由已知得AO600，ABO为直角梯形，设O与的半径分别为、，则cos600，即，的周长为，而，的周长等于的弧长。（2）cm2。9. 解析 （1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tanADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，DECBFC所以，.所以，即ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以所以.10. 解析 （1）四边形ABCD是平行四边形，1C，ADCB，ABCD 点E 、F分别是AB、CD的中点，AEAB ，CFCD AECFADECBF （2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形四边形ABCD是平行四边形，ADBC AGBD ，四边形 AGBD 是平行四边形 四边形 BEDF 是菱形，DEBE AEBE ，AEBEDE 12，341234180，22231802390即ADB90 四边形AGBD是矩形11. （1）BM=FN 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ABD =F =45，OB = OF又BOM=FON， OBMOFN BM=FN （2） BM=FN仍然成立 （3） 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，DBA=GFE=45，OB=OFMBO=NFO=135又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN 12. （1）因为AB是O的直径，OD5所以ADB90，AB10 在RtABD中，又，所以，所以 因为ADB90，ABCD所以所以所以所以 （2）因为AB是O的直径，ABCD所以所以BADCDB，AOCAOD因为AODO，所以BADADO所以CDBADO设ADO4x，则CDB4x由ADO：EDO4：1，则EDOx因为ADOEDOEDB90所以所以x10所以AOD180（OADADO）100所以AOCAOD100 13. (1)证明：CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF，HEEC，BFFD (2)方法一：连接CB、OC，AB是直径，ACB90F是BD中点，BCF=CBF=90-CBA=CAB=ACOOCF=90,CG是O的切线-6方法二：可证明OCFOBF(参照方法一标准得分) (3)解：由FC=FB=FE得：FCE=FEC 可证得：FAFG，且ABBG由切割线定理得：（2FG）2BGAG=2BG2 在RtBGF中，由勾股定理得：BG2FG2BF2由、得：FG2-4FG-12=0解之得：FG16，FG22（舍去）ABBGO半径为214. 解: 点P的坐标是（2,3）或（6,3）作ACOP,C为垂足.ACP=OBP=,1=1ACPOBP 在中,又AP=12-4=8, AC=1.94 1.94<2OP与A相交. 15. 证明：连结OE、AE，并过点A作AFDE于点F， （3分）DE是圆的一条切线，E是切点，OEDC，又BCDE,OEAFBC. 1=ACB，2=3.OA=OE，4=3. 4=2. 又点A是OB的中点，点F是EC的中点. AE=AC. 1=2. 4=2=1. 即ACB=OAC.16. 米.米. - (3分)设在中, 根据勾股定理: - (5分) - (7分)AC=2x=即梯子顶端A沿NO下滑了米. - (8分)点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点， - (9分)- (10分) - (11分)- (12分)米. - (13分)17证明：连结AF，则ABD=F ADG=ABD，ADG=F DF为O的直径，DAF=90， ADF+F=90，ADG+ADF=FDG=90， DAF=CDE=90，CBAB， ADG+ADF=FDG=90， DAF=CDE=90，CBAB，CBE=90取EC中点M，连结DM、BM，则DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC为直径的圆上， ABD=DCE，DCE=F， DAFEDC， ADCE=DEDF，以下略；18（1）DC为O的直径，DEEC， EC=7 设EM=x，由于M为OB的中点， BM=2，AM=6，AMMB=x（7-x），即62=x（7-x）， 解得x1=3，x2=4，EM>MC，EM=4（2）OE=EM=4，OEM为等腰三角形，过E作EFOM，垂足为F，则OF=1，EF= sinEOB=19（1）连结CO，则AO=BO=CO， CAO=ACO，又EAC=CAO， ACO=EAC，AEOC， DE是O的切线 （2）AB=6，AO=BO=CO=3 由（1）知，AEOC， DCODEA， = 又AE=， 解得BD=2 AB是O的直径，ACB=90又EAC=CAB，RtEACRtCAB，即AC2=ABAE=6= 在RtABC中， 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-= BC>0，BC=20（1）BE是O1的直径，BPE=90 BFO1P，BPF+FBP=90 GPE+BPF=90，GPF=BPF O1E=O1P， E=GPF=PBF，又BPG=EPB=90， GPBBPE，PB2=PEPG （2）AB是O1的切线，O1BAB， O1BFO1AB，O1BF=A tanA=，tanO1BF= 设O1F=3m，则BF=4m 由勾股定理得：O1B=5m=O1P，PF=5m-3m=2m 又PF=，m=，O1B=O1P，BF=4=3 由tanA=，AF=4，AP=4-=， PO2= ，O1O2=+=521（1）连CD，因A、B、D、C四点共圆， DCP=ABP，而PFE=ABP， DCP=PFE，CDEF，即PDPF=PCPE （2）设PT长为x，PE=PT，由（1）结论得PF=x， 由PT2=PCPA得x2=5（x+），解之得x1=7，x2=-，PT=722（1）由已知得EC2=ED（ED+）， 解之得ED=2或ED=-（舍去） BC为直径，CDBE，由勾股定理得CD=，tanDCE= （2）连AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=，BC= 可证ADFBCF，= 设DF=2x，则CF=3x由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，DF=2，CF=3，BF= 由相交弦定理得AF=， AB= 23（1）由勾股定理，列方程可求AD=3（2）过A作AGEF于G，由勾股定理得CE=，由切割线定理得CF=，由BCEGAE，得AG= SAFC=24证明：（1）连结OD易得EDA=45，ODA=45，ODE=ADE+ODA=90，直线ED是O的切线 （2）作OMAB于M，M为AB中点， AE=AB=2AM，AFOM，=2，EF=2FO.25.26.27.证明： DE与O相切， C1， C BDCA，B 23 6分3O ABCBDA 9分21EDA 12分 ABDABCBD 28. 【答案】29. （1）由题意得B（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25-a，图1 此时E（2b，0）SOECO2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2图2此时E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3()（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图3由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知：，S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为30.证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD.AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.CGAD.AEB=CGD=90.AE=CG，RtABERtCDG.BE=DG. 3分当BC=AB时，四边形ABFC是菱形.ABGF，AGBF，四边形ABFG是平行四边形.RtABE中，B=60，BAE=30，BE=AB.BE=CF，BC=AB，EF=AB.AB=BF.四边形ABFG是菱形31.证明：BC是O的直径，BAC90又MEBC，BM平分ABC，AMME，AMNEMN又MNMN，ANMENM3分AB 2AFAC，又BACFAB90，ABFACBABFC，FBCABCABFABCC90FB是O的切线6分由得ANEN，AMEM，AMNEMN又ANME，ANMEMNAMNANM，ANAMAMMEENAN四边形AMEN是菱形7分cosABD，ADB90，设BD3x，则AB5x，由勾股定理，得AD4x，而AD12，x3BD9，AB158分MB平分AME，BEAB15，DEBEBD6NDME，BNDBME又NBDMBE，BNDBME， 10分设MEx，则ND12x，解得x = 11分S MEDE64512分32.（1）证明：四边形OABC为正方形，OCOA，三角板OEF是等腰直角三角形，OE1OF1，又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，AOE1COF1，OAE1OCF1；（2）存在，OEOF，过点F与OE平行的直线有且只有一条，并且与OF垂直，又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F与OF垂直的直线必是O的切线，又点C为O外一点，过点C与O相切的直线只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1和E2点，满足CF1OE1，CF2OE2，点切点F1在第二象限时，点E1在第一象限，在RtCF2O中，OC4，OF12，cosCOF1，COF160，AOE160，点E1的横坐标为2cos601，点E1的纵坐标为2sin60，E1的坐标为（1，），当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限，同理可求E2（1，），三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OECF，此时点E的坐标分别为E1（1， 或者E2（1，）