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连续型随机变量及其分布本讲稿第一页，共三十二页用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?a ab b本讲稿第二页，共三十二页1.6 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度 1.定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数，使对任意实数x，都有，都有则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量，f(x)为为X的的概率密概率密度函数度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为常记为X f(x),(-x+)本讲稿第三页，共三十二页2.密度函数的性质密度函数的性质 (1)非负性非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性归一性性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质；EX设随机变量X的概率密度为求常数a.本讲稿第四页，共三十二页(3)若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则EX设随机变量X的分布函数为求f(x)本讲稿第五页，共三十二页随机随机变变量量 X X 的分布函数的分布函数F(xF(x）于于密度函数密度函数的关系：的关系：如如果果随随机机变变量量X X的的密密度度函函数数为为f(x),f(x),分分布布函函数数为为F(x),则则对对任任意意的的a，b（ab），有），有 这这一一结结果的几何意果的几何意义为义为：X X 落在（落在（a a，b b中的概率恰中的概率恰好等于在区好等于在区间间（a a，b b上由曲上由曲线线 y yp p（x x）形成的曲）形成的曲边边梯梯形的面形的面积积（图图中阴影部分）。中阴影部分）。而而f(x)的的基基本本性性质质(2)表表明明:整整个个曲曲线线 y yf(x)f(x)以以下下(x 轴轴以以上上)的的面面积为积为 1。本讲稿第六页，共三十二页注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值强调强调 概率为0 的事件未必不发生本讲稿第七页，共三十二页例例 1.1.已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为(1)求求X的分布函数的分布函数F(x);(2)求求P0.5X1.5)本讲稿第八页，共三十二页EX设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为(1)(1)求求PX2,P0X3,P2Xe-0.1.PX2,P0X3,P2Xe-0.1.(2)(2)求概率密度求概率密度f(x)f(x)本讲稿第九页，共三十二页1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)则称则称X在在(a,b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a,b)X在在(a,b)内服从均匀分布内服从均匀分布,对任意实数对任意实数c,d(acd0的指数分布，记作的指数分布，记作X(),其分布函数为其分布函数为本讲稿第十四页，共三十二页1xF(x)0 xf(x)0本讲稿第十五页，共三十二页对于任意的 0 a 0，则称，则称X服从参数为服从参数为 ,2的的正态分布正态分布,记为记为N(,2)，可表为，可表为XN(,2).若随机变量随机变量本讲稿第二十一页，共三十二页(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；f()maxf(x).正态分布有两个特性正态分布有两个特性：本讲稿第二十二页，共三十二页(2)的大小直接影响概率的分布。的大小直接影响概率的分布。越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布本讲稿第二十三页，共三十二页可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；本讲稿第二十四页，共三十二页4.标准正态分布标准正态分布 参数参数 0，21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布，记作标准正态分布，记作XN(0,1)。本讲稿第二十五页，共三十二页分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为本讲稿第二十六页，共三十二页一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。的值。(P318附表附表2)如，若如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066 (2)若若XN(,2)，则，则注：注：(1)(x)1 (x)；本讲稿第二十七页，共三十二页例4 设X N(1.2,4)，求：，求：P(X1.5);P(|X|2);本讲稿第二十八页，共三十二页例例5 5 某地区某地区1818岁女青年的血压岁女青年的血压(收缩压收缩压)服从服从(110,12(110,122 2).).在在该地区任选一位该地区任选一位1818岁女青年岁女青年,测量她的血压测量她的血压,(1)(1)求求PX105,P100X120;PX105,P100Xx0.05本讲稿第二十九页，共三十二页注注:XN(110,122).本讲稿第三十页，共三十二页例例6 6 3 原理设 X N(,2),求解解一次试验中,X 落入区间(-3,+3)的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小本讲稿第三十一页，共三十二页几个常用的连续型随机变量几个常用的连续型随机变量均匀分布均匀分布正态正态分布分布指数分布指数分布无记忆性无记忆性PcXd两个参数的意义两个参数的意义本讲稿第三十二页，共三十二页
