第八节函数的连续性与连续函数的运算PPT讲稿.ppt
第八节函数的连续性与连续函数的运算第1页，共62页，编辑于2022年，星期三一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量第2页，共62页，编辑于2022年，星期三第3页，共62页，编辑于2022年，星期三2.连续连续(continuous)的定义的定义定义定义1 1 设函数设函数 在在 内有定义，如内有定义，如果当自变量的增量果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函趋向于零时，对应的函数的增量数的增量 也趋向于零，即也趋向于零，即 或或 ,那末就称函数那末就称函数在点在点 连续，连续，称为称为 的连续点的连续点.第4页，共62页，编辑于2022年，星期三定义定义2 设函数设函数 在在 内有定义内有定义,如果如果函数函数 当当 时的极限存在时的极限存在,且等于它在且等于它在点点 处的函数值处的函数值 ,即即 那末就称函数那末就称函数 在点在点 连续连续.定义定义3设函数设函数 在在 内有定义内有定义,称函数称函数 在点在点 连续连续.第5页，共62页，编辑于2022年，星期三例例1 1证证第6页，共62页，编辑于2022年，星期三由定义由定义2可推得：可推得：例例第7页，共62页，编辑于2022年，星期三3.单侧连续单侧连续定理定理第8页，共62页，编辑于2022年，星期三例例第9页，共62页，编辑于2022年，星期三例例2 2解解第10页，共62页，编辑于2022年，星期三例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,第11页，共62页，编辑于2022年，星期三4.连续函数连续函数(continuous function)与连续区间与连续区间第12页，共62页，编辑于2022年，星期三在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间上称函数在该区间上连续，或者叫做在该区间上的连续，或者叫做在该区间上的连续函数连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.基本初等函数在其定义区间内是连续的基本初等函数在其定义区间内是连续的.重要结论重要结论基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值等于函数在该点处的值.第13页，共62页，编辑于2022年，星期三例例3 3证证第14页，共62页，编辑于2022年，星期三例例4 4解解第15页，共62页，编辑于2022年，星期三例例5 5解解第16页，共62页，编辑于2022年，星期三第17页，共62页，编辑于2022年，星期三二、函数的间断点二、函数的间断点第18页，共62页，编辑于2022年，星期三第19页，共62页，编辑于2022年，星期三(1)跳跃间断点跳跃间断点例例1 1解解1.第一类间断点第一类间断点第20页，共62页，编辑于2022年，星期三(2)可去间断点可去间断点例例2 2例例3 3第21页，共62页，编辑于2022年，星期三例例2 2解解第22页，共62页，编辑于2022年，星期三注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例2中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点如例如例3中中,第23页，共62页，编辑于2022年，星期三2.第二类间断点第二类间断点(1)无穷间断点无穷间断点例如例如第24页，共62页，编辑于2022年，星期三例例4 4解解第25页，共62页，编辑于2022年，星期三(2)振荡间断点振荡间断点例例5 5解解第26页，共62页，编辑于2022年，星期三注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第27页，共62页，编辑于2022年，星期三间断点的分类：间断点的分类：第一类第一类间断点间断点第二类第二类间断点间断点间断点间断点可去可去间断点：间断点：跳跃跳跃间断点：间断点：无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点第28页，共62页，编辑于2022年，星期三三、连续函数的运算三、连续函数的运算1、四则运算的连续性、四则运算的连续性定理定理1 1第29页，共62页，编辑于2022年，星期三例如例如,三角函数在其定义域内皆连续三角函数在其定义域内皆连续.第30页，共62页，编辑于2022年，星期三例例第31页，共62页，编辑于2022年，星期三2、反函数的连续性、反函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数反函数.例如例如,同理：同理：反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第32页，共62页，编辑于2022年，星期三3、复合函数的连续性、复合函数的连续性定理定理3 3例如例如,第33页，共62页，编辑于2022年，星期三意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;注意注意定理定理3是定理是定理4的特殊情况的特殊情况.定理定理4 4第34页，共62页，编辑于2022年，星期三例例1 1解解第35页，共62页，编辑于2022年，星期三例例2 2解解同理可得同理可得第36页，共62页，编辑于2022年，星期三4、初等函数的连续性、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)第37页，共62页，编辑于2022年，星期三4、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间.第38页，共62页，编辑于2022年，星期三例例1 1解解例例2 2解解1.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.注意注意第39页，共62页，编辑于2022年，星期三2.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一在其定义域内不一定连续定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在点在点x=0的邻域内没有定义的邻域内没有定义.求求 f(x)的连续区间的连续区间,就是求就是求 f(x)的定义区间的定义区间.第40页，共62页，编辑于2022年，星期三3.分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点处的连续性点处的连续性.第41页，共62页，编辑于2022年，星期三解解第42页，共62页，编辑于2022年，星期三第43页，共62页，编辑于2022年，星期三四、小结四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型 ,振荡型振荡型.间断点间断点第44页，共62页，编辑于2022年，星期三 连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.第45页，共62页，编辑于2022年，星期三思考题思考题第46页，共62页，编辑于2022年，星期三思考题思考题1解答解答且且第47页，共62页，编辑于2022年，星期三但反之不成立但反之不成立.例例但但第48页，共62页，编辑于2022年，星期三思考题思考题2解答解答是它的可去间断点是它的可去间断点第49页，共62页，编辑于2022年，星期三练练 习习 题题 一一第50页，共62页，编辑于2022年，星期三第51页，共62页，编辑于2022年，星期三练习题一答案练习题一答案第52页，共62页，编辑于2022年，星期三第53页，共62页，编辑于2022年，星期三练练 习习 题题 二二第54页，共62页，编辑于2022年，星期三第55页，共62页，编辑于2022年，星期三第56页，共62页，编辑于2022年，星期三练习题二答案练习题二答案第57页，共62页，编辑于2022年，星期三定理定理3 3证证第58页，共62页，编辑于2022年，星期三将上两步合起来将上两步合起来:第59页，共62页，编辑于2022年，星期三狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间断点且都是第二类间断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.第60页，共62页，编辑于2022年，星期三在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处处连续但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:第61页，共62页，编辑于2022年，星期三可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx第62页，共62页，编辑于2022年，星期三
