2013全部整合北师大版初级中学数学八上第二章实数全章导学案【snail提供】.doc

,第二章无理数（1）导学案【学习目标】：通过拼图活动感受无理数产生的实际背景和引入的必要性【学习重点】：如何说明一个数是有理数【学习难点】：对有理数不够用的理解【学习过程】：学习准备：1. 有理数的概念：-和-，统称为有理数2. 数的分类： 正整数 如- 整数 零 负整数 如- 有理数 正分数 如- 分数 负分数 如-也可以这样分类： - 如1，2.5有理数 - - 如-2，-3.5， 练习：把下列各有理数填在相应的大括号里 12，-3，+1，-1.5，0，0.2， ， 正数：（ ） 负数：（ ）整数：（ ） 分数：（ ）正分数：（ ） 负分数：（ ）解读教材：阅读教材第86页3. 活动做两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一个大正方形吗？画出你的做法：设大正方形的边长为a分米，a满足的条件为（ ）a是整数吗？（ ），理由：-a是分数吗？（ ），理由：-a是有理数吗？（ ），理由：-总结：在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是（ ）的数即时练习：将上述活动中的小正方形的边长变为2分米，大正方形的边长是有理数吗？为什么？ （ ）挖掘教材：4. 如下图，正方形ABCD的面积为（ ） 设它的边长为b,则b满足的条件为（ ）b是有理数吗（ ）21ABCD即时练习： 如下图，正三角形ABC的边长为2，高为h,则h满足的条件为（ ） h是有理数吗？（ ）2ABCh反思小结：5. 现实生活中，除了有理数之外，还存在着不是有理数的数，如：-，-达标检测：6. 长、宽分别为3、2的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？（ ）可能是分数吗？ （ ）7. 下图是4个边长为1的正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。请写出2条长度是有理数的线段：-、-请写出2条长度不是有理数的线段：-、-8. 请在方格纸上按照如下要求设计直角三角形并用字母表示：（1）使一边边长不是有理数（2）使两边边长不是有理数（3）使三边边长不是有理数资源链接：毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（约前580-约前500）为代表人物的一个学派。毕达哥拉斯学派有一个信条：一切现象都可以用有理数去描述。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用有理数来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。【学习课题】：2.1认识无理数（2）【学习目标】：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想2.会判断一个数是有理数还是无理数【学习重点】：1.无理数概念的理解 2.无理数的判断【学习难点】：无理数的估算【学习过程】：学习准备：1.整数可以表示成（ ）限小数如：3可以表示成小数3.02.分数可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数如：可以表示成小数0.5 可以表示成小数 总结： 有理数总可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数 练习：把下列各数表示成小数2=（ ） =（ ） =（ ） =（ ）解读教材：阅读教材第34-36页3.面积为2的正方形的边长a是多少？分析：由下图可知面积为1面积为4面积为211aa22面积：1 < 2< 4边长：( )<a<( ) 借助计算器探索a的整数部分、十分位、百分位分别是几？完成下列表格： 问：边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？答：假设a算到某一位时，它的平方恰好等于2，这时a是一个有限小数，那么它的平方一定也是一个（ ）限小数，而不可能是2，这与假设矛盾，故假设不成立。 所以a不可能是（ ）限小数。 所以还可以继续算下去，而且不循环，即 a是一个（ ）限（ ）小数，a=1.41421356挖掘教材：4.借助计算器估计面积为5的正方形的边长b的值 故b精确到十分位为（ ） 精确到百分位为（ ）事实上，b也是一个（ ）限（ ）小数，b=2.236067978即时练习： 借助计算器估计体积为2的正方体的棱长c=( )5.无限不循环小数叫做（ ） 如上面的数a,b,c =3.14159265是一个无限不循环小数，因此是一个（ ）理数 0.585885888588885（相邻的两个5之间8的个数逐次加1）是一个（ ）限（ ）小数，因此是一个无理数即时练习： 你能找到其它的无理数吗？你能举出一些有关无理数的实例吗？6.下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？(1)=3.14159265(2)=1.41421（3）1.21021002100021（相邻的两个21之间0的个数逐次加1）（4）是无限循环小数（4）0.=0.575757（5）=2 （4） 是有理数，（1）、（2）、（3）、（5）是无理数即时练习： 下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？（1）、（2）、（3）、（5）是无限不循环小数(1)3.14(2) (3) 0.1010001000001（相邻的两个1之间0的个数逐次加2） 是有理数， 是无理数反思小结：7.我们可借助计算器对无理数进行估算，并且在判断一个数是无理数还是有理数时须明确：(1)（ ）限小数或（ ）限循环小数是有理数 (2)（ ）限不循环小数是无理数【达标检测】：8.下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？(1)0.4583(2) 3.(3)(4)(5)18 是有理数， 是无理数11111【资源链接】：你能发现右图中各Rt三角形斜边的规律吗？ 【学习课题】 2.2平方根（一）【学习目标】1、了解算术平方根的概念。 2、会用根号表示一个数的算术平方根。 3、培养自主学习、合作交流、探索发现的学习方式【学习重点】了解算术平方根的概念和性质。【学习难点】对算术平方根意义的理解。【学习过程】一、学习准备：1、阅读教材P26二、解读教材（一）导入1、我们学了加减乘除四则运算，知道加法的逆运算是 、乘法的逆运算是 ，乘方有逆运算吗？如果有是什么运算？2、小颖家客厅是面积为64平方分米的正方形，这个正方形客厅的边长是多少？解答：设正方形客厅的边长为x分米，则可得方程： ，因为x>0，所以x= .3、思考：问题2可以归结为“已知一个数的平方,求这个数”吗？（二）、解读教材：平方根1、算术平方根概念阅读教材P26完成填空（1）已知一个正数x的平方等于a,即x2=a（a>0），那么这个正数x叫做a的 ，记为“”，读作“根号a”，此符号“”读作 ，与 x的关系是 x （填 ，），即() =a.（2） “0”的算术平方根是 ，即=。（）1= ，“1”的算术平方根是 ，即=。2、求一个正数的算术平方根阅读教材26例1完成填空【说明】（1）的意义是什么？ = 的意义是什么？= 的意义是什么？= 计算： =_; =_; =_; =_; =_3、例题解析例：自由下落物体下落的距离s（米）与下落时间t(秒)的关系为s=4.9t.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？（1） 在此题的计算过程中我们将“t”看着整体，先求出“t”的值，再求“t”的值。（2） 在此题中“t”表示的是时间，因此“t”必须为正数。解：s=19.6代入公式s=4.9t得：19.6=4.9tt=4t=t=2答：铁球到达地面需要2秒。三、挖掘教材： 一个负数有算术平方根吗？即（a0）= ？ 四、反思小结：1、什么叫着算术平方根，你记住了吗？2、“”表示什么意义？3、中的“a”取值范围？【达标检测】1、 求下列各数的算术平方根：81，36，17，0.81，10.2、 小颖家客厅是面积是64平方米，客厅地面正好由100块大小完全一样的正方形地砖铺成，每块地砖边长是多少米？解：【资源链接】“”的算数平方根因为2=4, 所以=2;3=9所以=3；等于多少？因为9>5>4, 所以2>>3, 的值是一个大于2且小于3的无限不循环小数因此我们在计算时一般不计算出它的值,即“”的算术平方根就是“ ”。【学习课题】 2.2 平方根（二）【学习内容】 平方根【学习目标】1.平方根的概念； 2.会进行有关平方根的计算； 3.理解算术平方根与平方根的联系与区别。 【学习重点】平方根的概念和性质。【学习难点】对平方根定义的理解。【学习过程】一、课前准备：1、算术平方根的概念2、阅读教材P27-28二、解读教材：（一）导入1、=4， 也就是4= 。还有其他的数的平方等于16吗？2、平方等于的数有几个？平方等于0.81的有几个？（二）平方根的有关概念请结合教材内容，完成以下内容：1.如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的 或叫做 。2.求一个数a的平方根的运算，叫做 ，其中a叫做 。三、挖掘教材：议一议1.一个正数有几个平方根？因为：（1）（+4）= ，（-4）= ，“16”的平方根有 、 ；（2）（+）= ，（-）= ，“ ”的平方根有 、 ；（3）（+0.9）= ，（-0.9）= ，“0.81”的平方根有 、 ；所以： 正数a有 （几个） 平方根，一个是a的 ，另一个是“ ”，它们互为 。这两个平方根合起来可以记作“ ”，读作“ ”。2.“0”有几个平方根 -= ，+= ，因此“0”有 （几个）平方根，它是 ;3.负数有没有平方根,即一个数的平方可能为负数吗？（+2）= ，0= ，（-2）= ，其他的数呢？因此， （有或没有）一个数的平方为负数，即负数没有平方根。4.（1）（）= ；（2）（）= ；（3）（）= ；（4）对于正数a 即a>0,（）= ； 四、反思拓展：1、平方根的有关概念：平方根、开平方？2、正数、0、负数关于平方根有什么性质？3、平方根与算术平方根有什么区别？填表并分析平方根与算术平方根的区别与联系 81049121（-0.25）211a（a0）361289算术平方根平方根两者的区别与联系是 【达标检测】1、求下列各数的平方根： 1.44，0，8，441，196，102、填空（1）25的平方根是 ；（2） = ； （3）()= .【资源链接】乘方的逆运算 二次乘方与开平方互为逆运算。【学习课题】 2.3 立方根【学习目标】1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 2、能运用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方根互为逆运算。【学习重点】立方根概念的理解。【学习难点】立方根的计算。【学习过程】学习准备： = = = = = = 解读教材：1、如果一个数的立方等于，即 ，那么这个数叫做的 ，记作 。注意，根指数“3”不能省略。2、正数有 个正的立方根，零的立方根是 ，负数有 个负的立方根。3、求一个数的 的运算叫做开立方。4、计算中常用的公式：= ， = 。挖掘教材：1、求下列各数的立方根。-64 0.216 0 1000 4 -9解:= = = = = = = .方法小结： （1）由于开立方运算与立方运算互为 运算，熟记常用的立方运算十分有益。 （2）中的是有理数的立方时，开立方的结果为 ，结果不带根号，当不是有理数的立方时，结果不是 ，如。2、求下列各式的值：= ， = ，= = ， = ， = 分析：用公式=或=，求解较为简便。即时练习：求下列各数的立方根。0.001 -1 8000 -512 问题思考:1、一个数总有平方根吗？总有立方根吗？2、一个正方体边长变为原来的2倍，体积变为几倍？体积变为变来的27倍，边长变为原来的几倍？1000倍呢？达标检测：一、填空：1、64的平方根是 ，立方根是 。2、-0.001的立方根是 , 25的立方根是 .3、已知一个数的立方是-0.027，则这个数为 。4、立方根等于它本身的数是 。二、判断1、一个数的立方根有两个，它们互为相反数。 （ ）2、负数没有立方根。 （ ）3、一个数的立方根与这个数同号。 （ ） 4、如果一个数有立方根，则它一定有平方根。 （ ）5、是27的立方根。 （ ）6、=。 （ ）7、互为相反数的两数的立方根互为相反数。 （ ）三、求下列各数的立方根-0.008 100 【资源链接】1、求下列各式中的。 2、若，求的立方根。【学习课题】： 2.4 估算【学习目标】：能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。【学习重点】：掌握无理数估算的方法。【学习难点】：掌握无理数估算的方法，并能比较两个数的大小。【学习过程】：学习准备：（）2= （a0），（）3= （a为任意实数）解读教材：1 完成下列空格：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2。（1） 公园的宽大约是多少？它有1000米吗？（2） 如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？解：设公园的宽为x米，则有x2=200000 ( )2 = 160000 < 200000 < 50024402= , 4502= < x < 误差小于10米 注意：误差小于10米是指估算到十位。 x应为 或 。（3） 该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？（误差小于1米）解：设圆形花圃的半径为R米，则R2=800，R2 254.7152= ，162 = < R < 误差小于1 注意：误差小于1是指估算到个位。 R应为 或 。练习1：下列计算结果是否正确，说明判断理由？ 0.066 96 60.4 0.6挖掘教材：2 估算下列数的大小：（1） （误差小于1）解： 93= ，103 < < 或 。（2） （误差小于0.1）解： 32= ，42= < < 3.62= ，3.72= < < 或 。3 比较下列数的大小与7.5解： （）2= ，7.52= 注意：将两数平方后比较大小 7.5 （填 < 或）4生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？ 练习2：比较下列各组数的大小： 2.5 -1 2 反思小结：5.估算无理数的方法是： 通过平方（立方）运算采用“夹逼法”，确定其值所在的范围。 根据问题中，误差允许的范围内取出近似值。6“误差小于”与“精确到”意义不同。如：精确到1米是四舍五入到个位，答案只有一个。本章中误差小于1米，就是估算到个位，误差小于10米，就是估算到十位，答案不惟一。达标检测：1 下列各题估算结果正确的是（ ）A 0.059 B. 2.6C. 35.1 D. 299.62估算下列数的大小。（误差小于1）（误差小于0.1）（精确到个位）2 比较下列各组数的大小 与 与 扩展：1.大于-且小于的整数有 。2.比较三个数：2.45，的大小？【学习课题】 2.6 实数【学习目标】1.了解无理数和实数的意义。 2.了解实数与数轴上的点成一 一对应关系。3.掌握实数性质和实数的绝对值。【学习重点】会按两种标准对实数进行分类；会求一个实数的相反数和绝对值。【学习难点】实数的分类。【学习过程】 学习准备1、 有理数包括 和 。2、任何一个有理数都可以写成 或者 小数的形式。3、任何有限小数或循环小数都是 。4、有理数的分类：（1）按定义分类: （2）按大小分类： 有理数 有理数5、无理数：无限不循环小数叫做 .无理数的小数位数是 ，而且是不 。解读教材1、（自学教科书38-39内容，并回答以下问题） （1）我们所学的数的范围扩大到了 范围。（2）_和_统称实数,数轴上的点与_一一对应.2、a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；如果a0,那么它的倒数为 即时练习1、下列各数中:1914526，0, _是有理数, _是无理数?挖掘教材例1:把下列各数写出相应的集合内:,0.259,0,0.325325325,-4.313313331.思路点拨：无理数几种常见的类型：（1）无限不循环小数；（2）及含的数；（3）有规律但不循环的无限小数；（4）带根号但开方开不尽的方根。解：（1）正实数集合 ;（2）负实数集合 ;（3）有理数集合 ;（4）无理数集合 .例2：求下列的各数的相反数及绝对值:（1） （2）3 例3：求下列各式中的实数x （1）|x|=； （2）|x|=即时练习1、把1.414, , ， 0。分别填入相应的括号中:分数: ;整数: ;负数: ;正数: ;有理数: ;无理数: 2、下列说法中正确的有（填序号）_.（1）无限小数都是无理数; （2）无理数都是无限小数; （3）有理数都是有限小数. （4）带根号的数都是无理数.（5）不带根号的数都是有理数. （6）无理数就是开方开不尽的数.（7）开方开不尽的数是无理数. （8）数轴上所有的点都表示实数;（9）0的相反数,倒数,绝对值都是0; （10）0是最小的实数;（11）0与都是无理数. （12）实数包括有限小数和无限小数.3、 若|X-|=，则x= .4、在数轴上与原点距离为的点所表示的数是 。【反思拓展】1、无理数几种常见的类型：(1) (2) (3) (4) 2、 （）即:一个正实数的绝对值是 ；一个负实数的绝对值是 ；0的绝对值是 。3、实数包括 和 。【达标检测】1、 选择题：（1）绝对值和算数平方根都等于本身的数是（ ） A.1或-1 B. 1或0 C.-1或0 D1、-1、0 （2）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A.-2与 B.-2与 C.-2与 D.|-2|与22、-的相反数是 ，绝对值是 。3、|x-1|=,则x= .4、已知a、b是实数，且+（3b-2)=0.求实数a+b的相反数的倒数的值。【资源链接】1、若数轴上表示x的点在原点的右边，则化简|3x+|的结果是（ ）A.-4x B.4x C.1-2X D.2x2、已知：是的整数部分，是的小数部分，求的平方根。【学习课题】 2.7 二次根式（1） 【学习目标】1、理解二次根式的意义，以及它的性质 。 2、会用不等式求二次根式的被开方数中字母的取值范围。 【学习重点】1、二次根式的意义【学习难点】1、二次根式有意义的条件；2、与的区别与联系.【学习过程】学习准备1、如果，那么叫做的 。 2、一个正数有 个平方根，其中正数的正的平方根，也叫做的 ，记作 ，如：5的算数平方根记作 。解读教材1、二次根式的定义：式子()叫做二次根式。如：、等都是二次根式。理解二次根式的定义应把握两点（1）含有二次根号“”；（2）字母可以表示数也可以表示代数式，但是它们必须是非负数，否则无意义。 即时练习：（1）、判断下列根式是否是二次根式： ； 分析：判定一个式子是否是二次根式，主要观察两方面，第一，被开方数是否非负；第二，是否有二次根号。2、当 时有意义；当 时无意义。 即时练习： 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1） （2） （3）解（1）：要使有意义，则X-30 即X3. （2）： （3）：3、形如b（0）的式子，也叫二次根式，它表示b与的乘积。如：2表示2，表示。特别提醒：如果b为带分数必须写成假分数的形式.如1应写成，而不能写成1.4、因为（a0）表示a的算数平方根，当然也是a的平方根，根据平方根的定义， 。所以 即时练习1、是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4）2、计算（1） （2） （3）（4） （5） 3、已知，求的平方根和立方根。【反思拓展】1、 二次根式（），它表示一个 的算数平方根，因此它一定是 ，也就是说，式子，包含两个非负数（1）被开方数 ，即；（2）本身 ，即 02、 表示的 的平方，因此只有在 时，它才有意义。而表示的是的 ，因为无论为任何实数，都是 数，所以总是有意义的。由此可见，只有当 时，才有= 。【达标检测】1、是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?（1） （2） （3） （4） （5） （6）2、计算:（1） （2） （3） （4） （5） 3、化简:4、 若求的值.【资源链接】若的小数部分为的小数部分为b，求的值。分析： 一个数的小数部分是指去掉整数部分后所余的大于0而小于1的部分.【学习课题】 2.7 二次根式（2） 【学习目标】1、理解积的算术平方根的性质，并会用这一性质化简被开方数不含分母的二次根式； 2、能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识。 3、会进行简单的二次根式的乘法运算。 【学习重点】1、非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 2、(a0,b0)【学习难点】理解式子 并运用它化简被开方数含字母的二次根式； 【学习过程】 学习准备（1）,（2）从计算结果中你发现了什么规律?请用式子表达出来.2、式子:对不对?不对,请说明理由.3.计算: 从计算结果中你发现了什么规律?请用式子表达出来. 解读教材1、 （1）= 成立的条件是_;=成立的条件是 。 （2） 成立的条件是_ 。2、化简（1） （2） （3） （4） （5） （6）3、计 算 （1） （2） （3） （4） （5）即时练习 1、填空: 成立的条件是_.2、化简:（1） （2） （3） 3、化简: （1） （2） （3） （4） （ ） 挖掘教材例：如果正方形的边长是,面积是,（1）如果=180,求; （2）如果=242,求;解：(1) 正方形的面积S=a, 又S=180 a=180 a=6 (2)【反思小结】1、=（ ），积的算数平方根，等于积中各因式的 的积。注意：a0 , b0是公式成立的条件。2、公式，将二次根式相乘转化为被开方数相乘，运算结果要尽量化简，将根号内能开得尽得因式移到根号外面。【达标检测】1、 化简: （1） （2） （3）（4） （5） （6）2、计算（1） （2） （3） （4） 3、解答（1）、若数轴上表示 的点在原点的左边，则化简（2）、 若 【资源链接】1、对于题目“化简求值”:其中,甲,乙两人的解答不同.甲的解答是: ;乙的解答是: .谁的解答是错误的?为什么?【学习课题】 2.7 二次根式(3)【学习目标】1、能够用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质乘法分配律熟练进行简单的二次根式的乘法运算； 2、会进行分母有理化。 3、通过及；=（）及的学习培养学生的逆向思维能力。 【学习重点】二次根式的乘法运算；理解同类二次根式，并会合并同类二次根式。【学习难点】分母有理化。【学习过程】 学习准备1、化简：（1） （2） （3） （4） （5）解读教材 1、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其关键是确定有理化因式。根据公式，可知的有理化因式是 ；根据平方差公式，可知的有理化因式是，的有理化因式是 。 2、计算（分母有理化）:（1） （2） （3）