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高等数学多元函数高等数学多元函数的基本概念的基本概念本讲稿第一页，共二十三页一、区域一、区域 设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数与点P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻域，记为U(P0，d)或U(P0)，即邻域:U(P0，d)P|P P0|d P0dU(P0，d)去心邻域：P0本讲稿第二页，共二十三页 设E 是平面上的一个点集，P是平面上的一个点 如果存在点P 的某一邻域U(P)，使U(P)E，则称P为E 的内点，内点：E 如果点集E 的点都是内点，则称E为开集开集：P边界点、边界：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边点开集：E(x，y)|1x2+y20(无界开区域)；Ox yx+y0本讲稿第七页，共二十三页二多元函数概念二多元函数概念 设D是平面上的一个点集如果对于每个点P(x，y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为z=f(x，y)(或z=f(P)二元函数的定义：其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量例 函数z=ln(x+y)的定义域为 (x，y)|x+y0(无界开区域)；函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x，y)|x2y21(有界闭区域)Ox yx2y21本讲稿第八页，共二十三页值域：z|z=f(x，y)，(x，y)D二元函数的图形：点集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D称为二元函数zf(x，y)的图形 二元函数的图形是一张曲面例 z=a x+b y+c是一张平面，xyzOx0 y0M0本讲稿第九页，共二十三页 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f(x，y)有两个：由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f(x，y)是中心在原点，半径为a的球面它的定义域为D=(x，y)|x2y2 a 2Oxy本讲稿第十页，共二十三页三多元函数的极限三多元函数的极限二重极限的定义：设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数e 总存在正数d，使得对于适合不等式的一切点P(x，y)D，都有|f(x，y)A|e成立，则称常数A为函数f(x，y)当x x0，y y0时的极限，记为或f(x，y)A(r0)，这里r|P P0|本讲稿第十一页，共二十三页xyzOx0 y0M0P0APPPP本讲稿第十二页，共二十三页x2y2，则当时，总有本讲稿第十三页，共二十三页 必须注意：(1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在例当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时本讲稿第十四页，共二十三页xyzOP0本讲稿第十五页，共二十三页 解本讲稿第十六页，共二十三页四多元函数的连续性四多元函数的连续性则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续二元函数连续性定义：设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)D 如果 函数f(x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续：是指函数 f(x，y)在D内每一点连续此时称f(x，y)是D 内的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去本讲稿第十七页，共二十三页 若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f(x，y)的间断点 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点函数的间断点：f(x，y)例点(0，0)是f(x，y)的间断点；x2y21上的点是其间断点本讲稿第十八页，共二十三页xyzOP0本讲稿第十九页，共二十三页 多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数性质1(最大值和最小值定理)：在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值性质2(介值定理)：在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次本讲稿第二十页，共二十三页结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初等函数：是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的 例 如sin(x+y)是 由sin u 与u=x+y 复合而成的，它是多元初等函数本讲稿第二十一页，共二十三页 如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则用函数的连续性求极限：D(x，y)|x 0，y 0，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在(1，2)是连续的，所以它的定义域为本讲稿第二十二页，共二十三页 解本讲稿第二十三页，共二十三页