传递现象基本方程PPT讲稿.ppt

传递现象基本方程1第1页，共63页，编辑于2022年，星期四二、不可压缩流体二、不可压缩流体流体的压缩性可以用体积的应变来描述，即流体的压缩性可以用体积的应变来描述，即V/V0，一般说来，当，一般说来，当V/V05%时，流体就可以视为不可压缩流体。时，流体就可以视为不可压缩流体。液体：可视为不可压缩流体液体：可视为不可压缩流体气体：只有在压力变化不大的情况下才可视为不可压缩流体气体：只有在压力变化不大的情况下才可视为不可压缩流体2022/9/212第2页，共63页，编辑于2022年，星期四三、描述流体流动的两种观点三、描述流体流动的两种观点1.拉格朗日观点拉格朗日观点以流体中的每一个质点作为研究对象，考察流体中的每一个质以流体中的每一个质点作为研究对象，考察流体中的每一个质点的运动状态和物理量随时间和空间位置的变化规律。这种方点的运动状态和物理量随时间和空间位置的变化规律。这种方法着眼于固定的流体质点，而不是空间中的固定场点。法着眼于固定的流体质点，而不是空间中的固定场点。采用拉格朗日观点研究流体流动时，流体的状态函数是流体质点的起采用拉格朗日观点研究流体流动时，流体的状态函数是流体质点的起始位置和时间的函数，例如要研究初始位置在始位置和时间的函数，例如要研究初始位置在x0，y0，z0 处的流体质点处的流体质点速度随时间的变化情况，这时速度速度随时间的变化情况，这时速度 u 可以表示为：可以表示为：注意：这里的注意：这里的x0，y0，z0是质点标号，是是质点标号，是 t=0时刻质点的位置，不是场时刻质点的位置，不是场点坐标。对于不同的流体质点点坐标。对于不同的流体质点x0，y0，z0有不同的数值。有不同的数值。2022/9/213第3页，共63页，编辑于2022年，星期四2.欧拉观点：欧拉观点：欧拉观点并不研究每个流体各个质点的运动规律，而是欧拉观点并不研究每个流体各个质点的运动规律，而是把着眼点放在空间中固定场点处的流体，考察流体质点在把着眼点放在空间中固定场点处的流体，考察流体质点在经过固定的空间点时运动状态和物理量随时间的变化规律。经过固定的空间点时运动状态和物理量随时间的变化规律。采用欧拉观点来研究流体流动时，流体质点的运动状态采用欧拉观点来研究流体流动时，流体质点的运动状态和相关物理量是时间和空间位置的函数。和相关物理量是时间和空间位置的函数。比如按照欧拉观点，空间中流体任一点的流速比如按照欧拉观点，空间中流体任一点的流速u可以写成可以写成 注意：这里的注意：这里的x，y，z 是场点坐标，即空间位置坐标。是场点坐标，即空间位置坐标。拉格朗日观点常用于微分动量方程和能量传递微分方程的推导，拉格朗日观点常用于微分动量方程和能量传递微分方程的推导，推导时研究对象选择的是空间中固定质量的流体微元，其位置推导时研究对象选择的是空间中固定质量的流体微元，其位置和体积可以变化的。此外，拉格朗日观点也常用于理论分析当和体积可以变化的。此外，拉格朗日观点也常用于理论分析当中。中。2022/9/214第4页，共63页，编辑于2022年，星期四欧拉观点常用于质量传递微分方程的推导。推导时，选取的流体微元体积、欧拉观点常用于质量传递微分方程的推导。推导时，选取的流体微元体积、位置固定，输入和输出流体微元的物理量则随时间而变。位置固定，输入和输出流体微元的物理量则随时间而变。不管采用那种观点，所得的结果都是相同的，只不过采用不同不管采用那种观点，所得的结果都是相同的，只不过采用不同的观点，解决问题的难易程度不同。的观点，解决问题的难易程度不同。2022/9/215第5页，共63页，编辑于2022年，星期四四、描述流体流动的两种几何方法四、描述流体流动的两种几何方法1.迹线迹线迹线为同一流体质点在不同时刻的运动轨迹，即该质点在不同时刻运动迹线为同一流体质点在不同时刻的运动轨迹，即该质点在不同时刻运动位置的连线位置的连线.显然迹线的概念与拉格朗日观点相对应。显然迹线的概念与拉格朗日观点相对应。流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线。它是某一时刻速度流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线。它是某一时刻速度场中的矢量线，即在该线上任意一点的切线方向与该点在这一时场中的矢量线，即在该线上任意一点的切线方向与该点在这一时刻的速度方向一致刻的速度方向一致.显然流线的概念和欧拉观点相对应。显然流线的概念和欧拉观点相对应。2.流线流线2022/9/216第6页，共63页，编辑于2022年，星期四五、描述流体流动的三种时间导数五、描述流体流动的三种时间导数根据连续介质模型，与传递现象有关物理量根据连续介质模型，与传递现象有关物理量(如温度、速度、浓度、压力如温度、速度、浓度、压力和密度等和密度等)均是时间和空间的连续函数，这些物理量随时间的变化率，是均是时间和空间的连续函数，这些物理量随时间的变化率，是传递过程的速率大小的量度。假设以传递过程的速率大小的量度。假设以代表某物理量，则其随时间和空间代表某物理量，则其随时间和空间位置的变化可以表示为位置的变化可以表示为 该物理量对位置和时间的全微分为该物理量对位置和时间的全微分为2022/9/217第7页，共63页，编辑于2022年，星期四这时，该物理量的全导数就变为这时，该物理量的全导数就变为2、随体导数、随体导数 如果全导数中的位置随时间的变化率等于流体在空间中的速度分量如果全导数中的位置随时间的变化率等于流体在空间中的速度分量即，即，随体导数，记为随体导数，记为3、偏导数、偏导数 偏导数是指在固定位置处某物理量对时间的导数，记为偏导数是指在固定位置处某物理量对时间的导数，记为 偏导数又称为局部导数或当地导数。偏导数又称为局部导数或当地导数。将上式中的各项同除以将上式中的各项同除以dt，则得到该物理量对时间的全导数，则得到该物理量对时间的全导数 1、全导数、全导数2022/9/218第8页，共63页，编辑于2022年，星期四偏导数的物理意义：空间中固定位置处观察到的某物理量随时间的变化偏导数的物理意义：空间中固定位置处观察到的某物理量随时间的变化率。率。全导数的物理意义：全导数的物理意义：当观察者以任意速度运动时，某物理量随时当观察者以任意速度运动时，某物理量随时间的变化率。间的变化率。随体导数的物理意义：当观察者随流体一起运动时，某物理量随时间随体导数的物理意义：当观察者随流体一起运动时，某物理量随时间的变化率。的变化率。三种导数的物理意义：三种导数的物理意义：2022/9/219第9页，共63页，编辑于2022年，星期四六、稳态过程和非稳态过程六、稳态过程和非稳态过程如果一个过程的各个物理量与时间无关，这个过程就是一个稳如果一个过程的各个物理量与时间无关，这个过程就是一个稳态过程。反之，就是一个非稳态过程。稳态过程的物理量仅仅态过程。反之，就是一个非稳态过程。稳态过程的物理量仅仅是空间位置的函数。如果以是空间位置的函数。如果以 x，y，z 来表示空间位置，以来表示空间位置，以 t 来来表示时间那么某个物理量表示时间那么某个物理量 就可以表示为就可以表示为 （x，y，z ）因为稳态过程因为稳态过程与时间无关，即与时间无关，即2022/9/2110第10页，共63页，编辑于2022年，星期四第第2节节 质量传递微分方程质量传递微分方程质量传递微分方程也称为连续性方程，常用欧拉观点来进行推导。质量传递微分方程也称为连续性方程，常用欧拉观点来进行推导。一、质量传递微分方程的推导一、质量传递微分方程的推导在流体场中的空间点在流体场中的空间点M(x,y,z)处取一处取一流体微元（长、宽、高分别为流体微元（长、宽、高分别为dx、dy、dz），设位于），设位于M点处的流体速度为点处的流体速度为u，密度为密度为，且，且u 和和均为时间和空间的函均为时间和空间的函数，那么在数，那么在M点处流体的质量通量就点处流体的质量通量就是是u？如果如果u在在x,y,z方向上的分速度分别为方向上的分速度分别为ux，uy和和uz，那么那么u 在在x,y,z三个坐标三个坐标轴上的分量分别为轴上的分量分别为ux，uy，uz。根据质量守恒定律，对所选取的微元控制体。根据质量守恒定律，对所选取的微元控制体进行微分质量衡算，有进行微分质量衡算，有2022/9/2111第11页，共63页，编辑于2022年，星期四（流入的质量流率）（流出的质量流率）（质量变化速率）（流入的质量流率）（流出的质量流率）（质量变化速率）x方向上流入的质量流率：方向上流入的质量流率：x方向上流出的质量流率：方向上流出的质量流率：在在x方向上的净质量流率为方向上的净质量流率为2022/9/2112第12页，共63页，编辑于2022年，星期四同理，在同理，在 y 方向和方向和 z 方向上的净质量流率分别为方向上的净质量流率分别为因为微元控制体内任一时刻流体的的质量为因为微元控制体内任一时刻流体的的质量为因此，微元体内质量变化速率为因此，微元体内质量变化速率为由于（流入的质量流率）（流出的质量流率）（质量变化速率）由于（流入的质量流率）（流出的质量流率）（质量变化速率）所以有所以有2022/9/2113第13页，共63页，编辑于2022年，星期四移项得，移项得，二、连续性微分方程的分析二、连续性微分方程的分析将连续性微分方程展开，得将连续性微分方程展开，得可以看出，上式的前四项为密度的随体导数，即可以看出，上式的前四项为密度的随体导数，即D/Dt引入汉密尔顿算符引入汉密尔顿算符:,则有则有连续性方程可以简化为连续性方程可以简化为2022/9/2114第14页，共63页，编辑于2022年，星期四将上式对时间求随体导数有将上式对时间求随体导数有定义定义 为比容，即单位质量的物体所占据的体积。从定义可为比容，即单位质量的物体所占据的体积。从定义可知知 和和 互为倒数，即互为倒数，即上式两边同除以上式两边同除以将其带入将其带入方程中，得方程中，得2022/9/2115第15页，共63页，编辑于2022年，星期四上式的左边上式的左边 表示流体微元的体积膨胀速率或变形速率表示流体微元的体积膨胀速率或变形速率上式的右边上式的右边表示速度的向量散度，它等于表示速度的向量散度，它等于流体微元在三个坐标轴方向上线性形变速率之和。流体微元在三个坐标轴方向上线性形变速率之和。在某些特定情况下，连续性方程还可以简化，例如对于稳态流动，在某些特定情况下，连续性方程还可以简化，例如对于稳态流动，所以，连续性方程可以简化为所以，连续性方程可以简化为2022/9/2116第16页，共63页，编辑于2022年，星期四对于不可压缩流体，由于密度是一个常数，所以连续性方程可简化为对于不可压缩流体，由于密度是一个常数，所以连续性方程可简化为写成向量形式为写成向量形式为在研究传递现象过程中遇到的流体大多为不可压缩流体，因此上式是传递现在研究传递现象过程中遇到的流体大多为不可压缩流体，因此上式是传递现象研究中最基本和最重要的方程之一。象研究中最基本和最重要的方程之一。2022/9/2117第17页，共63页，编辑于2022年，星期四柱坐标下的连续性方程柱坐标下的连续性方程r 为径向距离为径向距离为方位角为方位角z 为轴向距离为轴向距离2022/9/2118第18页，共63页，编辑于2022年，星期四球坐标下的连续性方程球坐标下的连续性方程r 为径向距离为径向距离 为余纬度为余纬度 为方位角为方位角2022/9/2119第19页，共63页，编辑于2022年，星期四三、多组分体系的连续性方程三、多组分体系的连续性方程前面讲的连续性微分方程是单组分的连续性方程，没有考虑多组分相互扩散前面讲的连续性微分方程是单组分的连续性方程，没有考虑多组分相互扩散的影响。当流体中存在多种组分的浓度梯度时，这时质量传递要用多组分连的影响。当流体中存在多种组分的浓度梯度时，这时质量传递要用多组分连续性方程来描述。续性方程来描述。与单组分的连续性方程不同的是在多组分连续性方程中，物质浓度的变化与单组分的连续性方程不同的是在多组分连续性方程中，物质浓度的变化除了由于流体流动造成的外扩散以外，还有由于分子热运动所导致的内扩除了由于流体流动造成的外扩散以外，还有由于分子热运动所导致的内扩散，以及体系内部由于可能出现的化学反应导致的物质的生成或消耗。散，以及体系内部由于可能出现的化学反应导致的物质的生成或消耗。因此，多组分连续性方程中要比单组分的连续性方程多出一个分子扩散项和因此，多组分连续性方程中要比单组分的连续性方程多出一个分子扩散项和化学反应项。化学反应项。1、多组分体系连续性方程的建立、多组分体系连续性方程的建立2022/9/2120第20页，共63页，编辑于2022年，星期四由分子扩散导致的由分子扩散导致的A组分浓度变化速率可用组分浓度变化速率可用 来表示来表示式中式中jA为为A组分的扩散通量，组分的扩散通量，为扩散通量随位置变量变化率的全微分，即扩散通量为扩散通量随位置变量变化率的全微分，即扩散通量的向量散度。的向量散度。考虑到分子扩散造成的质量传递速率的变化，对组分考虑到分子扩散造成的质量传递速率的变化，对组分A而言，其而言，其连续性方程就可以写作连续性方程就可以写作如果体系中还有如果体系中还有A参与的化学反应，参与的化学反应，则则A组分的连续性方程需要组分的连续性方程需要进一步改写为进一步改写为式中，式中，rA表示单位体积由于化学反应引起的表示单位体积由于化学反应引起的A的质量变化速率。的质量变化速率。这里规定这里规定A生成，生成，rA取正值；取正值；A消耗，消耗，rA取负值取负值2022/9/2121第21页，共63页，编辑于2022年，星期四将菲克扩散定律的表达式将菲克扩散定律的表达式 带入上式，有带入上式，有2、多组分体系连续性方程的简化、多组分体系连续性方程的简化对于不可压缩流体，若不存在化学反应，则上式可简化为：对于不可压缩流体，若不存在化学反应，则上式可简化为：若参与传质的介质不运动若参与传质的介质不运动(如固体或静止流体如固体或静止流体)，则随体导数变为偏导，则随体导数变为偏导数，于是上式可进一步简化为数，于是上式可进一步简化为此即为费克第二定律的数学表达式。此即为费克第二定律的数学表达式。2022/9/2122第22页，共63页，编辑于2022年，星期四在此基础上，若传质过程达到稳态，则上述方程可进一步简化为：在此基础上，若传质过程达到稳态，则上述方程可进一步简化为：此即为固体或静止流体稳态传质的拉普拉斯方程。此即为固体或静止流体稳态传质的拉普拉斯方程。3、多组分体系连续性方程的其它形式、多组分体系连续性方程的其它形式柱坐标系下多组分体系中柱坐标系下多组分体系中A组分的的质量传递微分方程为组分的的质量传递微分方程为 球坐标系下多组分体系中球坐标系下多组分体系中A组分的的质量传递微分方程为组分的的质量传递微分方程为 2022/9/2123第23页，共63页，编辑于2022年，星期四 流体的动量传递微分方程又称为运动方程，它是通过对流体微元进行动量流体的动量传递微分方程又称为运动方程，它是通过对流体微元进行动量微分衡算得到的，其依据为牛顿第二定律，即动量守恒定律，推导是采用的微分衡算得到的，其依据为牛顿第二定律，即动量守恒定律，推导是采用的观点是拉格朗日观点。观点是拉格朗日观点。一、动量传递微分方程的推导一、动量传递微分方程的推导（一）动量守恒定律在流体微元上的应用（一）动量守恒定律在流体微元上的应用 根据牛顿第二定律，作用在流体微元上的合外力可表示为根据牛顿第二定律，作用在流体微元上的合外力可表示为即流体微元所受到的合外力等于流体微元的动量随时间的变化率即流体微元所受到的合外力等于流体微元的动量随时间的变化率推导过程采用拉格朗日观点，从流场中选取一个推导过程采用拉格朗日观点，从流场中选取一个固定质量固定质量的的流体微元，考察该流体微元随周围流体一起流动时的动量变流体微元，考察该流体微元随周围流体一起流动时的动量变化情况。化情况。第三节第三节 动量传递微分方程动量传递微分方程2022/9/2124第24页，共63页，编辑于2022年，星期四在流场中选取一个长、宽、高分别为在流场中选取一个长、宽、高分别为dx,dy,dz 的流体微元，该微元体的体积的流体微元，该微元体的体积 dV=dxdydz,注意其体积和位置是可以随时间变化的，对该流体微元应用牛注意其体积和位置是可以随时间变化的，对该流体微元应用牛顿第二定律有，顿第二定律有，由于力和速度都是向量，上式为一向量方程，其在由于力和速度都是向量，上式为一向量方程，其在x,y,z 三个坐标轴三个坐标轴方向上的分量为方向上的分量为注意：这里为什么要用随体导数注意：这里为什么要用随体导数?2022/9/2125第25页，共63页，编辑于2022年，星期四（二）作用在流体微元上的外力分析（二）作用在流体微元上的外力分析1、体积力（、体积力（Body force）体积力是作用在物体整体上的外力，也称为质量力，它的大小与物体体积力是作用在物体整体上的外力，也称为质量力，它的大小与物体的质量成正比。体积力在本质上是一种非接触力，比如万有引力、电的质量成正比。体积力在本质上是一种非接触力，比如万有引力、电磁力等。体积力以磁力等。体积力以FB来表示。来表示。如果用如果用 fB 表示单位质量的流体受到的体积力，那么流体微元受到表示单位质量的流体受到的体积力，那么流体微元受到的体积力的体积力dFB为为若若 fB 在三个坐标轴上的分量分别为在三个坐标轴上的分量分别为X、Y、Z，则，则dFB在在x,y,z 三个坐标轴方向上的分量为三个坐标轴方向上的分量为 2022/9/2126第26页，共63页，编辑于2022年，星期四2、表面力（、表面力（Surface force）单位面积上的表面力定义为表面应力或机械应力，一般以单位面积上的表面力定义为表面应力或机械应力，一般以来表示。来表示。相应地表面应力也可分为压应力和剪应力。相应地表面应力也可分为压应力和剪应力。表面应力的表示方法：表面应力分量有两个下标，例如表面应力的表示方法：表面应力分量有两个下标，例如xy，第第一个下标表示与应力作用面相垂直的坐标轴，第二个下标一个下标表示与应力作用面相垂直的坐标轴，第二个下标表示应力的作用方向表示应力的作用方向。从对应力下标的定义可知，当两个下标。从对应力下标的定义可知，当两个下标相同时，相同时，表示的是压应力；当两个下标不同时，表示的是压应力；当两个下标不同时，表示的是表示的是剪应力。剪应力。作用在物体表面上的力，又称机械力，表面力本质上是一种接触力，以作用在物体表面上的力，又称机械力，表面力本质上是一种接触力，以FS来表示。表面力有两种，一种是垂直作用在物体表面上的力，称为正压来表示。表面力有两种，一种是垂直作用在物体表面上的力，称为正压力或法向力；另一种是平行作用在物体表面上的力，称为切向力或剪切力或法向力；另一种是平行作用在物体表面上的力，称为切向力或剪切力。力。2022/9/2127第27页，共63页，编辑于2022年，星期四下面以下面以x方向为例，考察流体微元受到的表面力方向为例，考察流体微元受到的表面力如右图所示，流体微元在如右图所示，流体微元在x方向上受方向上受到到6个表面应力的作用，其中个表面应力的作用，其中2个为压个为压应力，应力，4个为剪应力。以个为剪应力。以dFsx表示流表示流体微元在体微元在x方向上受到的表面力之和，方向上受到的表面力之和，那么那么2022/9/2128第28页，共63页，编辑于2022年，星期四（三）用应力表示的运动方程（三）用应力表示的运动方程由于作用在流体微元上的合外力为体积力和表面力之和，即由于作用在流体微元上的合外力为体积力和表面力之和，即而根据牛顿第二定律，而根据牛顿第二定律，所以有，所以有，上式即为上式即为x方向上以应力表示的运动方程。方向上以应力表示的运动方程。2022/9/2129第29页，共63页，编辑于2022年，星期四同理，可以推导出在同理，可以推导出在 y，z 方向上以应力表示的动量衡算方程分别为：方向上以应力表示的动量衡算方程分别为：y方向方向z方向方向上述上述3个方程中一共有个方程中一共有9个应力，分别为个应力，分别为xx、xy、yx、yy、xz、zx、zz、zy、yz。写成矩阵的形式为：写成矩阵的形式为：2022/9/2130第30页，共63页，编辑于2022年，星期四 可以证明，这个矩阵是对称阵，即可以证明，这个矩阵是对称阵，即证明如下：证明如下：取一个长宽高分别为取一个长宽高分别为dx,dy,dz流体微流体微元，以其中心作为坐标原点，考察在元，以其中心作为坐标原点，考察在xoy截面上，流体微元受到的剪应力状截面上，流体微元受到的剪应力状况，如右图所示，流体微团受到况，如右图所示，流体微团受到4个剪个剪应力的作用，在剪应力的作用下流体应力的作用，在剪应力的作用下流体微团将发生旋转。微团将发生旋转。（压应力由于通过流体微元的中心，因此不会使流体微团旋转）这里规定力矩逆时针为正，顺时针为负这里规定力矩逆时针为正，顺时针为负由力矩平衡可得：由力矩平衡可得：2022/9/2131第31页，共63页，编辑于2022年，星期四化简可得化简可得 同理在其它截面上有：同理在其它截面上有：由此可见在上述由此可见在上述9个表面应力中只有个表面应力中只有6个是独立的，但这个是独立的，但这6个独立变量都是未个独立变量都是未知量，而方程只有知量，而方程只有3个。因此要想使方程能够求解，需要知道它们与已知个。因此要想使方程能够求解，需要知道它们与已知量或与方程中其它未知量之间的关系。由于表面应力跟速度梯度有关系，量或与方程中其它未知量之间的关系。由于表面应力跟速度梯度有关系，因此应该将表面应力与速度梯度联系起来。因此应该将表面应力与速度梯度联系起来。2022/9/2132第32页，共63页，编辑于2022年，星期四（四）牛顿流体的应力速度梯度关系方程（四）牛顿流体的应力速度梯度关系方程 前已述及，对于牛顿型流体的一维流动，在平行于流动方向上的切向力与速前已述及，对于牛顿型流体的一维流动，在平行于流动方向上的切向力与速度梯度之间的关系为：度梯度之间的关系为：对于三维流动，每一切向力与其相应的两个方向上的速度梯度有关，其关系为对于三维流动，每一切向力与其相应的两个方向上的速度梯度有关，其关系为牛顿型流体剪应力牛顿型流体剪应力速度梯度关系方程速度梯度关系方程1、牛顿流体剪应力速度梯度关系方程、牛顿流体剪应力速度梯度关系方程2022/9/2133第33页，共63页，编辑于2022年，星期四2 2、牛顿型流体压应力速度梯度关系方程、牛顿型流体压应力速度梯度关系方程对于静止流体，压应力与静压力大小相等，方向相反。但对于流动流体，压应力除了对于静止流体，压应力与静压力大小相等，方向相反。但对于流动流体，压应力除了包括静压力以外，还有一部分压应力是由流体的粘性引起的，它使流体微元承受拉伸包括静压力以外，还有一部分压应力是由流体的粘性引起的，它使流体微元承受拉伸或压缩，发生线性形变。或压缩，发生线性形变。直角坐标系下，各压应力和流体的速度梯度关系如下：直角坐标系下，各压应力和流体的速度梯度关系如下：牛顿型流牛顿型流体压应力体压应力速度梯速度梯度关系方度关系方程程x方向方向y方向方向z方向方向2022/9/2134第34页，共63页，编辑于2022年，星期四现在把牛顿型流体的压应力和剪应力与速度梯度的关系带入到用应力表示的动现在把牛顿型流体的压应力和剪应力与速度梯度的关系带入到用应力表示的动量衡算方程中，经化简以后就得到了流体运动方程的最终形式：量衡算方程中，经化简以后就得到了流体运动方程的最终形式：x方向方向y方向方向z方向方向将以上三式写成向量形式为：将以上三式写成向量形式为：上式即为牛顿流体的运动方程，也称为奈维斯托克斯方程，该式对于上式即为牛顿流体的运动方程，也称为奈维斯托克斯方程，该式对于稳态流动或非稳态流动、可压缩流体或不可压缩流体、理想流体或非理稳态流动或非稳态流动、可压缩流体或不可压缩流体、理想流体或非理想流体均适用，但不适用于想流体均适用，但不适用于非牛顿流体？非牛顿流体？2022/9/2135第35页，共63页，编辑于2022年，星期四二、动量传递微分方程的简化二、动量传递微分方程的简化1、不可压缩流体的运动方程、不可压缩流体的运动方程由于不可压缩流体的连续性方程为由于不可压缩流体的连续性方程为所以运动方程所以运动方程2、理想流体的运动方程、理想流体的运动方程什么是理想流体？什么是理想流体？就可以简化为就可以简化为2022/9/2136第36页，共63页，编辑于2022年，星期四r方向方向方向方向z方向方向三、其它坐标系下的动量传递微分方程三、其它坐标系下的动量传递微分方程柱坐标下不可压缩流体的运动方程柱坐标下不可压缩流体的运动方程r 为径向距离为径向距离 为方位角为方位角z 为轴向距离为轴向距离与连续方程一样，在某些情况下采用柱坐标或球坐标表示的奈维斯托克斯与连续方程一样，在某些情况下采用柱坐标或球坐标表示的奈维斯托克斯方程更为简便、直观。方程更为简便、直观。2022/9/2137第37页，共63页，编辑于2022年，星期四球坐标系下不可压缩流体的奈维斯托克斯方程球坐标系下不可压缩流体的奈维斯托克斯方程r 为径向距离为径向距离 为余纬度为余纬度 为方位角为方位角r方向分量方向分量方向分量方向分量方向分量方向分量其中，其中，2022/9/2138第38页，共63页，编辑于2022年，星期四四、对动量传递微分方程的分析四、对动量传递微分方程的分析（一）方程的可解性（一）方程的可解性以直角坐标系下的奈维斯托克斯方程为例，对于等温流动以直角坐标系下的奈维斯托克斯方程为例，对于等温流动(=常数常数)，方，方程中共有程中共有5个未知数，而运动方程只有个未知数，而运动方程只有3个，加上一个连续性方程和一个流体流动状个，加上一个连续性方程和一个流体流动状态方程态方程f(,p)=0，这样，这样5个方程、个方程、5个未知数，因此，从理论上讲方程是可解个未知数，因此，从理论上讲方程是可解的。的。但实际上，由于方程组的非线性和边界条件的复杂性，到目前为止，还无法将奈但实际上，由于方程组的非线性和边界条件的复杂性，到目前为止，还无法将奈维斯托克斯方程的普遍形式的解求出，只能针对某些特定的简单情况才可能求维斯托克斯方程的普遍形式的解求出，只能针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。得其解析解。奈维斯托克斯方程描述的是任意瞬时流体质点的运动规律。原则上讲，方程既奈维斯托克斯方程描述的是任意瞬时流体质点的运动规律。原则上讲，方程既适用于层流也适用于湍流，但实际上，该方程只能直接应用于层流，而不能直接适用于层流也适用于湍流，但实际上，该方程只能直接应用于层流，而不能直接地用于求解湍流问题。地用于求解湍流问题。2022/9/2139第39页，共63页，编辑于2022年，星期四（二）方程中重力项的处理（二）方程中重力项的处理对于大多数的实际问题，流体受到的体积力只是重力，即对于大多数的实际问题，流体受到的体积力只是重力，即 fB=g。当流体为不可压。当流体为不可压缩流体时，重力这一体积力与流体的静压力有着密切的关系。缩流体时，重力这一体积力与流体的静压力有着密切的关系。对于静止的不可压缩流体，直角坐标系下的奈维斯托克斯方程对于静止的不可压缩流体，直角坐标系下的奈维斯托克斯方程当流体流动时，流体内部的压力除了静压力外，还有一项动压力，即推动流体向当流体流动时，流体内部的压力除了静压力外，还有一项动压力，即推动流体向前流动所需要的压力，用前流动所需要的压力，用pd来表示。这时，来表示。这时，将其带入奈维斯托克斯方程得将其带入奈维斯托克斯方程得ps流体的静压力流体的静压力可以简化为：可以简化为：2022/9/2140第40页，共63页，编辑于2022年，星期四这样，以动压力梯度表示的运动方程中将不出现重力项，从而简化了对方这样，以动压力梯度表示的运动方程中将不出现重力项，从而简化了对方程的求解。从物理意义上讲，静压力由重力引起，因此静压力与重力刚好程的求解。从物理意义上讲，静压力由重力引起，因此静压力与重力刚好相互抵消，这时运动方程中的各项就都只与流体流动有关。相互抵消，这时运动方程中的各项就都只与流体流动有关。引入动压力可以使方程中不出现重力项，但这并不意味着重力在任何情况下引入动压力可以使方程中不出现重力项，但这并不意味着重力在任何情况下都不会对流体流动产生影响。因为重力项虽然在方程中可能不出现，但在边都不会对流体流动产生影响。因为重力项虽然在方程中可能不出现，但在边界条件中有可能出现。这里分两种情形进行考虑：界条件中有可能出现。这里分两种情形进行考虑：（1）如果在边界条件中只包含有速度项而不含有压力项，直接利用上式求）如果在边界条件中只包含有速度项而不含有压力项，直接利用上式求解时将不会出现重力项。在此情况下可以认为重力的存在不会对流体的流动解时将不会出现重力项。在此情况下可以认为重力的存在不会对流体的流动造成影响，比如在封闭管道中流体流动问题。造成影响，比如在封闭管道中流体流动问题。（2）如果在边界条件中含有压力项，利用上式求解时将会出现重力项（即）如果在边界条件中含有压力项，利用上式求解时将会出现重力项（即 ps 项）项），这时重力项通过边界条件又重新出现了，它将对流体流动起作用，比如具有，这时重力项通过边界条件又重新出现了，它将对流体流动起作用，比如具有自由表面的流体流动问题。自由表面的流体流动问题。最后指出，以动压力梯度表示的流体运动方程仅适用于最后指出，以动压力梯度表示的流体运动方程仅适用于不可压缩流体不可压缩流体2022/9/2141第41页，共63页，编辑于2022年，星期四第四节第四节 能量传递微分方程能量传递微分方程一、能量传递微分方程的推导一、能量传递微分方程的推导能量传递微分方程又称能量方程，它是以热力学第一定律，即能量转化与守恒能量传递微分方程又称能量方程，它是以热力学第一定律，即能量转化与守恒定律为理论依据推导出来的。根据热力学第一定律，在某个过程中，系统总能定律为理论依据推导出来的。根据热力学第一定律，在某个过程中，系统总能量的变化等于系统所吸收的热与系统对环境所做的功之差，用公式表示为量的变化等于系统所吸收的热与系统对环境所做的功之差，用公式表示为 单位质量的流体所具有的动能单位质量的流体所具有的动能gz 单位质量的流体所具有的势能单位质量的流体所具有的势能U 单位质量的流体所具有的内能单位质量的流体所具有的内能 单位质量的流体所吸收的热单位质量的流体所吸收的热 单位质量的流体对环境所做的功单位质量的流体对环境所做的功2022/9/2142第42页，共63页，编辑于2022年，星期四下面采用拉格朗日观点推导能量传递微分方程。下面采用拉格朗日观点推导能量传递微分方程。按照拉格朗日观点，在流体中任选一具有固定质量的微元体，在整个流动按照拉格朗日观点，在流体中任选一具有固定质量的微元体，在整个流动过程中，令此微元体在流体中随波逐流，观察者随着流体微元一起运动，过程中，令此微元体在流体中随波逐流，观察者随着流体微元一起运动，考察在此过程中的能量转换情况。考察在此过程中的能量转换情况。由于流体微元在做随波逐流的运动，因此该流体微元与周围流体之间由于流体微元在做随波逐流的运动，因此该流体微元与周围流体之间没有相对运动，故动能变化为零，同时该流体微元与周围流体之间也没有相对运动，故动能变化为零，同时该流体微元与周围流体之间也无相对位置变化，因此位能变化也为零。故流体微元的总能量中只有无相对位置变化，因此位能变化也为零。故流体微元的总能量中只有内能发生了变化。流体微元对环境所做的功可以用表面应力对流体微内能发生了变化。流体微元对环境所做的功可以用表面应力对流体微元所做的功来表示，只不过这时需要在前面加一个负号。元所做的功来表示，只不过这时需要在前面加一个负号。这样将热力学第一定律应用于流体微元就有：这样将热力学第一定律应用于流体微元就有：（流体微元的内能增长速率）（流体微元的内能增长速率）（流入流体微元的热流率）（表面应力对流体微元的做功速率）（流入流体微元的热流率）（表面应力对流体微元的做功速率）2022/9/2143第43页，共63页，编辑于2022年，星期四W 表面力对单位质量的流体所做的功。表面力对单位质量的流体所做的功。流体微元的内流体微元的内能变化速率能变化速率加入流体微元的加入流体微元的热流速率热流速率表面应力对流体微元表面应力对流体微元的做功速率的做功速率注意：这里的导数为什么要用随体导数？注意：这里的导数为什么要用随体导数？下面分别对上式中各项能量传递速率加以分析：下面分别对上式中各项能量传递速率加以分析：1、流入流体微元的能量速率、流入流体微元的能量速率流入流体微元的能量有三种：一种为环境流体以导热方式传入流入流体微元的能量有三种：一种为环境流体以导热方式传入微元体的热流，另一种为流体微元的自身发热速率（比如有化微元体的热流，另一种为流体微元的自身发热速率（比如有化学反应或核反应等就会有能量变化），还有一种为辐射传热，学反应或核反应等就会有能量变化），还有一种为辐射传热，不过由于辐射传热在通常温度下一般很小，可以忽略不计。不过由于辐射传热在通常温度下一般很小，可以忽略不计。（1）以导热方式流入微元体的能量速率）以导热方式流入微元体的能量速率用公式可表示为用公式可表示为2022/9/2144第44页，共63页，编辑于2022年，星期四设沿三个坐标轴方向流入微元体的热通量分设沿三个坐标轴方向流入微元体的热通量分别为：别为：qx、qy、qz，并假定微元体的热传导是，并假定微元体的热传导是各向同性的，各向同性的，则沿则沿x方向流入微元体的热流率为方向流入微元体的热流率为沿沿x方向流出微元体的热流率为方向流出微元体的热流率为所以，沿所以，沿x方向输入微元体的净热流率为方向输入微元体的净热流率为同理，沿同理，沿y方向和方向和z方向输入微元体的净热流率为方向输入微元体的净热流率为和和2022/9/2145第45页，共63页，编辑于2022年，星期四所以，在三个方向上以导热方式输入流体微元的总热流率为所以，在三个方向上以导热方式输入流体微元的总热流率为（2）微元体自身的放热速率）微元体自身的放热速率以以q 来表示单位体积的流体微元内部放热速率，故流体微元的来表示单位体积的流体微元内部放热速率，故流体微元的放热速率为放热速率为所以，进入流体微元的热流率所以，进入流体微元的热流率如果是各向同性导热，将傅立叶导热定律如果是各向同性导热，将傅立叶导热定律 带入有带入有2022/9/2146第46页，共63页，编辑于2022年，星期四2、表面应力对流体微元所做的功、表面应力对流体微元所做的功表面应力有法向力和切向力两种，共表面应力有法向力和切向力两种，共9个力，在这些应力的作用下，流体个力，在这些应力的作用下，流体微元将发生体积变化（如膨胀和压缩）和形状变化（扭曲变形）。下面微元将发生体积变化（如膨胀和压缩）和形状变化（扭曲变形）。下面对法向应力和切向应力对流体微元做的功分别加以讨论。对法向应力和切向应力对流体微元做的功分别加以讨论。（1）法向应力对流体微元所做的功）法向应力对流体微元所做的功在法向应力的作用下，流体微元将发生膨胀和压缩，流体微元的体积应在法向应力的作用下，流体微元将发生膨胀和压缩，流体微元的体积应变速率可以用变速率可以用 来表示，根据连续性方程此膨胀速率来表示，根据连续性方程此膨胀速率u，因，因此压应力对流体微元所做的膨胀功为此压应力对流体微元所做的膨胀功为 ，此处的负号，此处的负号表示压力的方向与流体微元表面的压应力的方向相反。表示压力的方向与流体微元表面的压应力的方向相反。（2）切向应力对流体微元所做的功）切向应力对流体微元所做的功在切向应力的作用下，流体内部将产生摩擦热（切向力即摩擦剪应力，在切向应力的作用下，流体内部将产生摩擦热（切向力即摩擦剪应力，它是由流体的粘性引起的，因此