2019_2020学年高中数学第4讲数学归纳法证明不等式第二课时用数学归纳法证明不等式练习新人教A版选修4_5.doc

第二课时用数学归纳法证明不等式基础达标1.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)第一步应验证A.n1B.n2C.n3 D.n4解析由题意知n3，应验证n3.故选C.答案C2.对于正整数n，下列说法不正确的是A.3212n B.0.9n10.1nC.0.9n10.1n D.0.1n10.9n解析由贝努利不等式(1x)n1nx，(nN，x1)，当x2时，(12)n12n，故A正确.当x0.1时，(10.1)n10.1n，B正确，C不正确.答案C3.设p(k)：1k(kN)，则p(k1)为A.1k1B.1k1C.1k1D.上述均不正确解析分母是底数为2的幂，且幂指数是连续自然增加，故选A.答案A4.用数学归纳法证明“1<n(nN*，n>1)”时，由nk(k>1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是A.2k1 B.2k1C.2k D.2k1解析增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.答案C5.试证明1<2(nN*).证明(1)当n1时，不等式成立.(2)假设nk(k1)时，不等式成立，即1<2.那么nk1时，<2<2.这就是说，当nk1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知不等式对nN*都成立.能力提升1.用数学归纳法证明1n(nN，n1)时，第一步应验证不等式A.12B.12C.13 D.13解析nN，n1，n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为，故选B.答案B2.设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出的一般结论为A.f(2n)>B.f(n2)C.f(2n) D.以上都不对解析f(2)，f(4)f(22)>，f(8)f(23)>，f(16)f(24)>，f(32)f(25)>，所以推测f(2n).答案C3.利用数学归纳法证明“”时，n的最小取值n0应为A.1 B.2C.3D.4答案B4.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f(n)种走法，则下面的猜想正确的是A.f(n)f(n1)f(n2)(n3)B.f(n)2f(n1)(n2)C.f(n)2f(n1)1(n2)D.f(n)f(n1)f(n2)(n3)答案A5.用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时，应得到A.12222k22k12k11B.12222k2k12k12k1C.12222k12k12k11D.12222k12k2k11解析当nk1时，左边应为12222k12k，右边应为2k11.故选D.答案D6.已知a11，an1>an，且(an1an)22(an1an)10，先计算a2，a3，再猜想an等于A.n B.n2C.n3 D.解析(an1an)22(an1an)10，(a21)22(a21)10，a24，或a20(舍去).同理a39，或a31(舍去).猜想ann2.答案B7.用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步的验证为_.解析当n1时，2111212，即44成立.答案21112128.用数学归纳法证明：当nN，12222325n1是31的倍数时，当n1时原式为_，从k到k1时需增添的项是_.答案1222232425k25k125k49.已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k1)f(2k)_.解析f(2k)1，f(2k1)1，故f(2k1)f(2k).答案10.求证：>(n2，nN*).证明(1)当n2时，左边>，不等式成立.(2)假设nk(k2，kN*)时，不等式成立，即>，则当nk1时，>>.所以当nk1时，不等式也成立.由(1)(2)，知原不等式对一切n2且nN*都成立.11.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式>成立.证明(1)当n2时，左边1，右边，左边>右边，不等式成立.(2)假设当nk(k2，kN)时，不等式成立，即>.那么当nk1时，>·>，当nk1时，不等式也成立.由(1)、(2)知，对一切大于1的自然数n，题设不等式都成立.12.数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.解析(1)a11，a2，a3，a4，由此猜想an(nN*)；(2)当n1时，a11，结论成立.假设nk(k1)时，结论成立，即ak，那么当nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1.所以2ak12ak，所以ak1.这表明当nk1时，结论成立.所以an(nN*).6