2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用章末达标测试新人教A版选修2_2.doc

第一章 导数及其应用(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导正确的是A.B(xex2)ex2·(12x2)C(6cos x)6sin x D(ln x)解析按导数的运算法则，结合基本初等函数的导数公式计算可知答案为D.答案D2曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于A2e BeC2 D1解析yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y|x12.答案C3f(x)ax32，若f(1)4，则a的值等于A. B.C. D1解析f(x)3ax2，f(1)3a14，a1.答案D4设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是A奇函数，且在(0，1)上是增函数B奇函数，且在(0，1)上是减函数C偶函数，且在(0，1)上是增函数D偶函数，且在(0，1)上是减函数解析由得1<x<1，则函数的定义域为(1，1)又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，f(x)为奇函数f(x)，当x(0，1)时，f(x)>0，故f(x)在(0，1)上为增函数故选A.答案A5若函数f(x)满足f(x)x3f(1)·x2x，则f(1)的值为A0 B2C1 D1解析f(x)x22f(1)x1，所以f(1)12f(1)1，则f(1)0.答案A6函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为A1<a<2 B3<a<6Ca<1或a>2 Da<3或a>6解析f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，所以f(x)3x22axa60有两个不相等的实数根由(2a)24×3×(a6)4(a23a18)>0，解得a<3或a>6.答案D7函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是A3，) B3，)C(3，) D(，3)解析f(x)3x2a.令3x2a0，则a3x2，x(1，)，a3.答案B8若f(x)，则f(x)dxA0 B1C2 D3解析f(x)dx(x3sin x)dx2dx0(2x)422.答案C9已知函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)<0，设af(0)，bf()，cf(3)，则a、b、c的大小关系为Aa<b<c Bc<a<bCc<b<a Db<c<a解析由f(x)f(2x)知函数f(x)图象关于x1对称当x<1时，由(x1)f(x)<0知f(x)>0，即x<1时，f(x)单调递增af(0)，bf()，cf(3)f(1)，1<0<，c<a<b，故选B.答案B10已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)2，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)<1(xR)，则不等式f(x)<x1的解集为A(1，) B(，1)C(1，1) D(，1)(1，)解析不等式f(x)<x1可化为f(x)x<1，设g(x)f(x)x，由题意g(x)f(x)1<0，g(1)f(1)11，故原不等式g(x)<g(1)，故x>1.答案A11已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)解析利用f(x)3ax26x结合题意，可利用特殊值法求解f(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)>0；x时，f(x)<0；x时，f(x)>0，注意f(0)1，f>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示图(1)不符合题意，排除A、C.图(2)当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)<0，x时，f(x)>0，x(0，)时，f(x)<0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所示不符合题意，排除D.答案B12某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2.最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析设毛利润为L(P)，由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以，L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13(2019·全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke0×33，切线方程为y3x.答案y3x14已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析先求f(x)，再求字母a的值f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案315曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_解析如图，阴影部分的面积即为所求由得A(1，1)故所求面积为S(xx2)dx.答案16已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_解析解法一yxln x，y1，y2.曲线yxln x在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.解法二同解法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，y2ax0(a2)由解得答案8三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解析(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a·2·0，解得a.经检验，a符合题意.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x<4时，g(x)<0，故g(x)为减函数；当4<x<1时，g(x)>0，故g(x)为增函数；当1<x<0时，g(x)<0，故g(x)为减函数；当x>0时，g(x)>0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1，0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数18(12分)曲线C：y2x33x22x1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积解析设切点P0(x0，y0)，则y6x6x02.切线l：y(2x3x2x01)(6x6x02)(xx0)过P.(2x3x2x01)(6x6x02)·，x0(4x6x03)0，x00，y01，A(0，1)l切：y12(x0)，2xy10，B.S(3x22x3)dx.19(12分)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值20(12分)某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解析(1)由题意，每年销售Q万件，共计成本为(32Q3)万元销售收入是(32Q3)·150%x·50%，所以年利润y(年收入)(年成本)(年广告费)(32Q3)x(32Q3)x·(32Q3x)(x0)，所以所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损(2)由yf(x)(x0)可得f(x).令f(x)0，则x22x630，所以x9(舍去)或x7.又x(0，7)时，f(x)>0；x(7，)时，f(x)<0，所以f(x)极大值f(7)42.又因为在(0，)上只有一个极值点，所以f(x)maxf(x)极大值f(7)42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大21(12分)已知f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)>0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a>0，则当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a>0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f>2a2等价于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0，1)22(12分)(2018·全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.解析(1)当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)单调递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，)只有一个零点()当a0时，h(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0，2)时，h(x)0；当x(2，)时，h(x)0.所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增故h(2)1是h(x)在0，)的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一个零点；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0，2)有一个零点由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2，4a)有一个零点因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.11