2022届高考数学一轮复习核心素养测评第9章9.3圆的方程含解析新人教B版.doc

核心素养测评 四十八圆 的 方 程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是()A.<m<1B.m<或m>1C.m<D.m>1【解析】选B.由D2+E2-4F=16m2+4-20m>0,解得:m>1或m<.2.(2020·太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.B.(1,+)C.D.1,+)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)2<4,所以-<a<1.3.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+(y-1)2=9【解析】选C.因为圆心(2,-1)到直线3x-4y+5=0的距离d=3,所以圆的半径为3,即圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.4.经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S=()A.B.2C.3D.4【解析】选D.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得所以圆的方程为(x-1)2+y2=4,所以圆的半径r=2,所以S=4.5.(2019·日照模拟)已知圆C:x2+y2-4x+3=0,则圆C关于直线y=-x-4的对称圆的方程是()A.(x+4)2+(y+6)2=1B.(x+6)2+(y+4)2=1C.(x+5)2+(y+7)2=1D.(x+7)2+(y+5)2=1【解析】选A.根据题意,设要求圆的圆心为C,其坐标为(a,b),圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,故其圆心为(2,0),半径r=1,C与C关于直线y=-x-4对称,则有解得则要求圆的圆心为(-4,-6),半径r=1,其方程为(x+4)2+(y+6)2=1.6.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6【解析】选ABD.圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确.ABD均正确.7.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为世纪金榜导学号()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2【解析】选B.由题意设圆心坐标为(a,-a),则有=,即|a|=|a-2|,解得a=1.故圆心坐标为(1,-1),半径r=,所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.圆x2+y2+2x-2y=0的半径为_. 【解析】由x2+y2+2x-2y=0,得(x+1)2+(y-1)2=2,所以所求圆的半径为.答案:9.若圆x2+y2+2ax-b2=0的半径为2,则点(a,b)到原点的距离为_.世纪金榜导学号 【解析】由半径r=2,得=2.所以点(a,b)到原点的距离d=2.答案:210.若a,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为_.世纪金榜导学号 【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的条件为a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,即3a2+4a-4<0,解得-2<a<.又a,所以仅当a=0时,方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0,即x2+y2=1表示圆.答案:1个(15分钟35分)1.(5分)(2020·临沂模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则y-x的最大值为_, x2+y2的最大值为_. 【解析】原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.令y-x=b,则y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±,所以y-x的最大值为-2+.x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4.答案:-2+7+42.(5分)如图,在等腰ABC中,已知|AB|=|AC|,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积为_.【解析】由已知|AB|=2|AD|,设点A(x,y),则(x+1)2+y2=4(x-2)2+y2,所以点A的轨迹方程为(x-3)2+y2=4(y0),设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0)知A(4-x,-y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4,即(x-1)2+y2=4(y0),所以点C的轨迹所包围的图形面积为4.答案:43.(5分)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角=_.世纪金榜导学号 【解析】由题意知,圆的半径r=1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan =-1,又0,),故=.答案:4.(10分)一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.世纪金榜导学号【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0.1+9-D+3E+F=0.解组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.5.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.世纪金榜导学号(1)求圆C的方程.(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有解得或由于点C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解得x=或x=0(舍去).所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长. - 7 -